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LIBRARY OF WELLESLEY COLLEGE

Préservation photocopied

with funds from the Barbara Lubin Goldsmith Library Préservation Fund

ŒUVRES

D K F E R VI AT.

HKlii l'AHIS. - IMI'HIMKKIK GAliTHIKH-VILLARS,

Qu.ii des Grands-Au^ii-'lins, SS.

ŒUVRES

DE FERMAT

PUBLIEES PAR LES SOINS DE

MM. PAUL TANNEUY et CHARLES HENRY

SUUS LES AUSPICES

DU MINISTERE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.

TOME QUATRIÈME.

Compléments par M. Charles HENRY :

SUITLKMENT A LA CORRESPONDANCE. APPENDICE. NoTES ET TaBLES.

QA

c

uKAC-e,

PARIS,

OAUTHIER-VILLAKS, LMPRIMELR-LIRRAIRE

DU BUREAU DK.S LONGITUDES, DE L'ÉCOLE P 0 L Y T E C H M I Q U E,

Quai des Grands-Augustins, 5i. M CM XII

\a'\V\t.inntQ-hcS-

/ 3

i

TABLE DES MATIÈRES

DU QUATIUÈME VOLUME.

Avertissement

Pajcs IX

SUPPLÉMENT A LA CORRESPONDANCE DE FERMAT.

LXIa.

1 avril

1645.

L.WTIIa.

i65i.

L-WIIIb .

i4 mars

1654.

LWnir, .

•'.I mars

1654.

LWIa.

•22 août

1654.

LXXIIIa .

29 août

i65i.

Uoberval à Fermât M j

Le Père Maignaii à Fermai M 11

Fermât au Président d'Augeard M iS

Format au Président d'Augeard M 17

Fermât au Président d'Augeard M 20

Fermai au Président d'Augeard M zt

i.

2. 3. i. 3. 6.

APPENDICE.

1. — La discussion sur la méthode « de MAXIMIS et JIINIMIS 1).

< i mars i658. > Descartes à Mydorgc D sS

< avril 1(338. > Robcrval contre Descartes D 3o

4 avril iG38. Desargues à Mersenne M 09

juin i6j8. Descaries à Hardy D 48

< 3 juin ifi'iS? > Descaries à Mersenne D 5 1

<29 juin i('>38. > Descartes à .Mersenne D 53

■xi août iG38. Descaries à Mersenne D Oo

11. — Les parties aliquotes.

Mersenne. — Nouvelles Pensées de Gatilre. 1639 fi5

Extrait des Coi^italn pliysicn-niatliematic/i 60

Extrait des Re//cctione( physicn-inathematicœ 67

IIL — Extraits dk la correspondance de Mersenne kt de Saint-Martin.

i3 juin ; 1640. > 'Mersenne à Saint-Martin M 69

< juin ir)4o. > Saint-Martin à Mersenne M 70

TABLE DES MATIÈRES.

1.

2. 3. 4. 5.

e.

7.

8.

9. 10. tl. 12.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 10. H. 1-2. 13. 14. lîî. 10. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

IV. — Extrait di; la correspondanck de Gavalieri avec Mersenne.

Pases

23 novembre i6.',i. Gavalieri à Mersenne M 71

V. — Extraits de la correspondance de Mersenne et de Torbicelli.

septembre 1643. Torricelli à Mersenne M 82

25 décembre ifi43. Mersenne à Torricelli r M 82

1 3 janvier 1644. Mersenne à Torricelli M 83

24 juin 1644. Mersenne à Torricelli M 83

juillet (?) 1644. Torricelli à -Mersenne M 84

2 5 décembre 1644. Mersenne à Torricelli M 85

10 janvier i645. Mersenne à Torricelli M 85

janvier 1645. Torricelli à Mersenne M 85

4 février if>i5. Mersenne à Torricelli M 86

février i645. Torricelli à Mersenne M 8f)

» » Mersenne à Torricelli M 86

26 août 1646. .Mersenne à 'l'orricelli M 87

VI. — Extraits des lettres de Torricelli à Carcavi.

8 juillet 1646. Torricelli à Carcavi M 88

< 1646. > Torricelli à Carcavi M 89

VII. — Extraits de la cokrespondance de Descartes.

< 25 mai 1637. > Descartes à Mersenne D 90

< fin décembre 163-?. > Descartes à Mersenne D yi

< janvier i638?. > Descartes à Mersenne D 91

< 23 janvier i638?. > Descartes à Mersenne D i)i

< 1 niars i(')38 . > Descartes à .Mydorge D 93

< i mars i638. > Descaries à .Mersenne D 99

< mars 1638. > Descartes à Huygens D 101

3i mars i638. Descartes à Mersenne I) 101

<i3 juillet i638. > Descartes à Mersenne D 102

27 juillet i638. Descartes à Mersenne D io3

23 août 1638. Descartes à Mersenne 1) 106

1 1 octobre i638. Descaries à Mersenne D 107

1 5 novembre 1 638. Descaries à Mersenne D loS

< décembre i638. > Doscarles à Mersenne D 109

20 février 1639. Descartes à M. de Beaune D 1 lo

20 février 1 639 . Descaries à Mersenne D 1 1 1

1 1 juin 1640. Desearles à Mersenne D 1 1 1

28 octobre 1640. Descaries à Mersenne D 1 ri

3 décembre 1G40. Descartes à Mersenne D 112

4 mars 1641 . Descartes à Mersenne D 1 13

18 décembre 1G48. Descartes à [Glerselier] D ii3

1 1 juin 1649. Descartes à Carcavi D 1 1 5

17 août i649- Descartes à Carcavi i) 1,3

TABLE DES iM ATI EU ES,

VII

VIII. — Extraits uiî la coiirëspondance oe Huygbns.

Huygeiis à Fr. Van Schonlen H

Fr. Van Sclioolen à Huygens II

Cl. Myloa à Hnygens II

Fr. Van Schoolen à Huygens ... H

P. de Carcavi à Huygens H

Huygens à Cl. Mylon H

Huygens à P. do Carcavi H

P. de Carcavi à Huygens II

Huygens à <(^.l. .Mylon > H

Huygens à J. Wallis H

Fr. Van Scliooten à Huygens H

Wallis à Huygens H

Huygens à P. de Carcavi ^ • . H

Huygens à J. Wallis ' . . H

P. de Cnrcavi a Huygens H

P. de Carcavi à Huygens H

Huygens à P. de Carcavi H

P. de Carcavi à Huygens H

Huygens à P. de Carcavi H

P. de Carcavi à Huygens H

Huygens à J. Wallis H

Huygens à P. de Carcavi H

J. Wallis à Huygens H

Carcavi à Huygens H

Huygens à [Lodewijk Huygens] H

P. Pelit à Huygens " "

Huygens à [Lodewijk Huygens] H

Huygens à [ Lodewijk Huygens ] H

P. Petit à [Huygens] H

J. Chapelain à Huygens "

J. Chapelain à Huygens H

Huygens à Const. Huygens père H

Huygens à P. de Carcavi H

Hiivgens à Leibniz H

1.

■26

mai

i655.

2.

'•9

mai

1 (> j ■) .

3.

i5

avril

i03G.

4.

3

mai

i6J6.

5.

20

mai

i6)(").

6.

< '

juin

it)3(). >

7.

I

juin

1650.

8.

22

juin

i65l').

9.

7

mars

i6")8.

10.

6

septembre iG38.

II.

19

septembre

i658.

12.

(

janvier

iG j().

13.

22

mai

iG5i)

11.

9 jui'i

i(')5().

lo.

14

août

iGSi).

16.

i3

septembre iGJij.

17.

20

février

1G60.

18.

G

mars

1660.

19.

27

mars

1660.

20.

25

juin

16G0. >

21.

< i5

juillet

iGGo.

22.

i5

juillet

1G60.

23.

10

septembre 1660.

24.

I

janvier

1GG2.

25.

6

mars

1GG2.

26.

8

mars

1GG2.

27.

19

avrd

1GG2.

28.

22

juin

1662.

29.

< 28

novembre

1662. >

30.

12

juillet

iGG/,.

31.

5

septembre

1664.

32.

5

février

iGG5.

33.

26

mars

i665.

34.

1

septembre 1691.

Pages

16 16

'7 17 18 18

19 20 21 21 22

23 23

24 24

25

26

27 28 ■29

3o 30 3i 3i

32

33 34

34 35 35

36 36 36

''1

IX.— EXTKXITS DE LA CORRESP0NDANi:E d'OzANAM AVEC LE P. DE BiLLY.

24 octobre 167G.

27 septembre 1677.

I novembre 1677.

Ozanam à de liilly M '^**

Ozanam à de Billy M ' ^9

Ozanam à de Billy M "K»

NOTES M.4THÉMATIQUES.

I . Sur la méthode •< de maximis et mmimis »

II. Pour le principe de la moindre action

III. Sur une translormation imaginée par Fermât, note de M. Gino Loria.

"13 146

147

v,„ TABLE DES MATIERES.

l'apcs

IV . La quadrature de la versiera ' ^ '

V. Le « dernier théorème » de Fermai '5?-

VI. Un problème de triangles rectangles numériques, notes de l'aiil

Tannery et de M. Samuel Roberts ''î*>

Vil. Théorèmes sur les nombres polygones ''^o

VUl. Problème de décomposition d'un rapport en un produit de k rapports

de môme forme ' ■■ ■ '**'■*

IX . Les problèmes de Statique • • ' ^4

X . Les nombres amiables '8^

XI. Les carrés magiques '8^'

XII. Proposition connue sous le nom de » théorème de Fermai» 19'

XIII. La série récurreiite de Fermai (nombres de la forme i"± i } 201

XIV. Les <i nombres de Fermai » {■i''"-^i) -"-Oi

XV. Problèmes do Fermai sur les triangles rectangles numériques '205

XVI. Méthode de décomposition des grands nombres ioS

XVII. Un problème de Frenicle sur les triangles rectangles en nombres 209

XVIII. L'équation dite de « Pell a'O

XIX. Un problème de Wallis '^i 1

X.X.. Sur un porisme de Fermai '•'•'■>

XXI. La méthode de la « descente infinie ou indéfinie »... -uy

XXII. Un théorème sur les nombres premiers de la forme iq -j- i 218

XXUI . Un théorème sur le nombre 7 220

XXIV . Varia 22 1

XXV. Sur riiistoire du calcul infinitésimal pendant les années i638 et 1039,

par M . A. Aubry 2>- >-

XXVI. Méthode de Fermât pour la quadrature des courbes, par M. A. Aubry. . n»

XXVII. Liste des piincipales inventions numériques de Fermai, par M. A. Aubry.. /.'.ii

XXVIII. Notes bibliographiques sur Fermât 2^7

ADDITIONS ET CORRECTIONS.

Tome 1 24 J

Tome II 244

Tome m 249

Tome IV 260

TABLES DES MATIÈRES ET DES AUTIÎURS CITÉS DANS LES TOMES I A IV.

Index des mallèies 257

Index des noms 265

FIN DK LA TABLE DES .MATlERtS DU TO.MK QUATRIE.ME.

AVERTISSEMENT.

Le présent fascicule est le complément des trois volumes de l'édi- tion de Fermât.

Il comprend cinq Parties :

1° Supplément à la Correspondance de Fermai ;

■2° Appendice, renfermant des extraits de publications et de manu- scrits divers concernant Fermât, textes émanant de ses contempo- rains ;

3° Xotex mathématiques, dans lesquelles sont reproduits, résumés ou indiqués les travaux récents qui peuvent être considérés comme des commentaires plus ou moins heureux de l'œuvre scientifique de Fermât (pour ce catalogue, qui ne saurait avoir la prétention d'être complet et qui s'arrête, en principe, à 1910, nous avons fait de larges emprunts au Jahrbuch uher die Forlschritte der Matliematik) ;

4° Additions et corrections ;

5** Tables des matières et des auteurs cités dans les Tomes I à IV.

Conformément aux décisions de la Commission de publication ('), nous avons réduit au minimum indispensable V Appendice et, en particulier, l'annotation des Chapitres VII et VIII de {'Appendice, extraits de la Correspondance de Descartes et de la Correspondance de Huygens, dont les éditions hautement critiques sont entre les mains ou à la disposition de tous les spécialistes.

Nous avons aussi scrupuleusement (jue possible respecté l'ortho-

(') M. Gasloii Uarboux, présiileiil: MM. Camille Jordan, (;.-A. Laisant, Cli. Henry, membres. Membres décédés : .MM. .I.-.A. Serrcl, Ed. Lucas, Joseph Bertrand, Paul Tannery.

X AVERTISSEMENT.

graphe et la poncUiatiou des pièces LX\^ du Supplément à ta Corres- pondance et 1, 3 de V Appendice, les deux documents importants de ce fascicule, ainsi que des lettres administratives de Fermât; vu leur petit nombre, nous avons mis en bas de page les mauvaises leçons du manuscrit de la première.

M""" Paullannery nous a remis la copie des pièces LXVIII,,, LXVIII^, LXXIj, LXXIIIj du Supplemen/ à la Correspondance et des pièces II, III et IV de ['Appendice : ce sont les seuls documents intéressant l'édition de Fermât qu'elle ait trouvés, après de minutieuses recherches — dont elle nous permettra de la remercier ici — dans les papiers de notre regretté collaborateur. Nous n'avons fait que de légÏM-es additions ou modifications au travail de Paul Tannery et nous avons publié intégra- lement l'annotation de la pièce IV, qui était destinée, dans la pensée de son auteur, à un article de revue demeuré inachevé.

M""" Paul Tannery a eu aussi l'heureuse pensée de nous communi- quer un exemplaire de l'édition de Fermât, sur lequel son mari avait transcrit en marge diverses corrections et additions. On trouvera dans les Additions et Corrections ces notes, complétées par nombre d'articles, en particulier par les intéressantes leçons de manuscrits de la Biblio- thèque impériale de Vienne que nous avons fait collationner à la suite des annotations « Ms. Vindoc. » que présentaient divers documents sur l'exemplaire de Paul Tannery.

Nous devons les plus vifs remercîments à M. le colonel Brocard qui, en dehors des contributions importantes qu'il a bien voulu appor- ter à ce fascicule, nous a aidé dans la correction des épreuves et de ses précieux conseils. M. le Professeur Antonio Favaro a eu l'obli- geance de faire collationner à Florence les documents V et VI de V Appendice, extraits de la Correspondance de Mersenne et de Torri- celli et de lettres de Torricelli à Carcavi.

Ch. Henry.

SUPPLÉMENT

CORRESPONDANCE DE FERMAT.

i'KiHIAT. — IV.

SUPPLÉMENT

A LA

COHRËSPONDANCE DE FERMAT.

ANNEE 1G45.

K013ERVAL A FERMAT.

l'^' A vil IL IGVo.

Proposilion de M. de /toherval. //ni sert à Lruiner les centres de gravité, c/n'oyée à M. Fermât . le i"' avril i6i)5.

(ISibl. Nat , Ms. lat. 72ili, f" 5'i, f" 0(1 veiso et I" 11.) (')•

Si (le t;ui( (11' poiiicts qu'on viuidra ddiiiior Ac [losition on ini'Jic autant de lignes droictes [larallrics entre idles vers un plan donné déposition et (|ue de ces pninis dimnés on en appelle un le i"', l'autre le :>'', l'autre le 3'", etc.; el les dioicles jiaralléles soient appellées premières

(') Celle pièce a Ole signalée par M. Cli. Henry ( Hcclierclies sur tes manuscrits de Feniint, \\. !iG ), c'est imc-cot)ic assez défecliieiise : prubahlemeiit, le débiil en fraurais a seul été envoyé à l'crinat; la suite en latin, dont nous donnons ci-après le texte el la traduc- tion, n'est i|u'un choix fait par Arixigait (Itilil. Nat., N. Acq. franl;ai^cs, n" 3280, P" iJy- 162), h titre d'éclaircissonient de ce début, dans un niorcean considérable sur les centres (le gravite. Au lond, dans le début, llobervàl traite une question, que l'on peut énoncer sous cette forme : « filant donnés plusieurs points A, tt, 0, . . . , K, L, auxcpiels on attribue des nombres n, h, c, .. ., k, /; de ces iioiuls on mène des parallèles jusqu'à leur rencontre avec un filan n ; on désii^ne par a, f!, y, • • ■ , >*-, ^'. les distances entre les points et le [ilan prises sur ces parallèles el an'ectées du si^'ne -^ ou — suivant que les points sont d'un c(Jté ou de l'autre du plan. Si l'on divise la droite Ali par le point Bj en deux [larlics telles

4. ŒUVhES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

des secondes ('), la ligne qui part du 2'' point sera appellée 2'*" des secondes (-), etc.

Soient aussy données de longueur autant de lignes droicfes qu'il y a de poincts donnés, qui soient entendues estre rapportées chacune à chacun des poincts donnez, en sorte que l'une d'icelles soit dite pre- mière, une autre 2'''', une autre, 3", etc., et tout ce genre de lignes soient dictes premières ('') lignes desquelles la première sera dicte i''*' des premières, la seconde sera dicte 2'' des premières (^), la 3*^ sera dicte 3*^ des premières.

Puis soient joincts le i*"'' et le 2" point par une ligne droicte que

j'appelle la balance (]ui soit divisée en deux parties ou bras, en sorte

' que le bras qui aboutit au i*''' poinct soit au bras qui aboutit au2''poinct

comme la 2'" des premières lignes est à la i'™ desdictes premières

lignes; le point de la division soit appelle i"^'' centre.

Semblablementsoient joincts le i^centre et le 3*^ point d'unedroicte que j'appelle 2" de balance qui soit divisée en deux bras tellement que celuy ([ui aboutit au i"' centre soit au bras qui aboutit au 3'^ point comme la 3*^ des premières lignes est à la somme de la i*"™ et de la 2® desdictes premières lignes; le point de la division soit dit 2'' centre.

De mesme soient joincts le 2'' centre et le 4'' point par la 3'' balance qui sera divisée en deux bras en sorte que celuy qui aboutit au 2<" centre

^•^1 ''' 1 1 •• n ,. 1 • . ,^ j • . 11 Cl 1*1 r

i|ue -rrr- = - , la uroilc BiC par le point Li en deux parues telles que -7— r = -r, etc.:

et si l'on continue celte opération jusqu'à ce qu'on arrive à un point 0, tel (|ue

OK, /

OL n + /> -t- c ^ . . . -H /, '

enfin, .si l'on désigne par w la distance algébrique du point 0 au plan prise sur une pa- rallèle aux droites précédentes, on a la relation

(a-hh-hc-h...-hk-h!)iû = ia-i-^lj+...-\-ll.

Quel que soit l'ordre dans lequel on a considéré les points A, B, G, ..., L, pourvu qu'on les considère tous et chacun une seule l'ois, le point 0 reste le même. » La ques- tion revient à déterminer les coordonnées du centre de gravité de différentes masses.

(') Ms : « premières ».

(*) .Ms : « premières ».

(') Ms : « secondes ».

LXlv — AVUH, lOio. 5

soit à celuy qui aboutit au 4'' point comme la 4" des preniirres lii^Mics est à la somme des i"'", 2" et 'V desdites premières lignes ; le point de division soit dit 3'' centre.

De mesme fai^on soient joincis le 3° centre et le 5'' p(nnct pour avoir la 4" balance, et en icelle le 4*^ centre qui divise la balance en deux bras réciproquement proportionnez à la 5" des premières et à la somme des I '■'■'■, 2'^, 3'' et 4'" desdictes premières lignes.

Et soit procédé de mesme jusqu'à ce qu'on soit parvenu au dernier point qui donnera la dernière balance et le dernier centre qui de mesme divisera la dernière balance en deux bras réciproquement propor- tionnez à la dernière des premières et à la somme desdictes premières lignes hormis la dernière. Dudit dernier centre soit menée vers. le plan donné de position une droicle parallèle aux secondes (') lignes.

Je dis que le rectangle t'ait de cette dernière balance ou droicte menée du dernier centre sur la somme de toutes les premières (-) lignes est égal à la dillérence d'entre la somme des rectangles qui sont l'aicts de cha- cune des premières qui sont d'un costé du plan donné de position sur chacune des secondes (*) lignes correspondantes (comme seroient les rectangles de la première des i"'"^ sur la i""' des 2'^% plus le rectangle de la 2'' (')des premi;'res <sur la 2"-" des secondes pourvu qu'ils> fussent d'un mesme costé dudit plan) et la somme des rectangles faicts de chacune des premières lignes qui sont de l'autre costé dudit plan sur chacune des 2''' lignes correspondantes; et la somme des rectangles du costé dudit dernier centre est plus grande que la somme des rectangles de l'autre costé.

D'où l'on infère que si le dernier centre est dans le plan donné de position alors le premier rectangle est égal à rien, et la somme des rectangles d'un costé dudit plan est égale à la somme des rectangles de l'autre costé.

Que si tous les poincts sont d'un costé, le susdit seul rectangle de

( ' ) .\ls : « |ircmièrcs ». ( ' ) Als : " secondes » . (') Ils : « premières ». {'•) Ms : « I-' ...

6 . ŒUVUES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

la droicte iiieiu'c du dernier centre sur l;i somme des premières (') est éi^al à la somme de tous les rectangles de chacune <les premières sur chacune des 2" correspondantes.

De plus, de ijuchiue ordre que soient pris ces poincts, on dénions- trera que le dernier centre est tousjours le mesme.

Ti:xri-: latin.

Unica enuiicialio talis essel :

Omni casii dillereiilia iiiler suiuniain rec- laiii;uloi-iini iiiiin fiiiiit a sini^iilis priorilins in sinijulas seciinilas oorrelalas ex unà parle plani ilali el suniniani icclan^'iilorinii quie fiunt ad allcras partes siinilitei' faclonini, est icctanj^iiliirn eoiiiprclicnsum sul) fulcio et summa onmiiini prioniin. lîxcessus autcin est ex parti' plani in quani cailit nltinuim ccntiuni, détectas e\ alteià parte.

Quod si iiUimum ecntrum cadit in pla- nuni, tune talis diircrcnlia niliil est, quia fulcruni est soluiu puiictum, el fpqualilas est intei' suuinias praMlictas ex ulràque parte plani. i)uiv onuiia [wlent.

mîOPOSlTIO f.

Ccntriiin ^nn'itntis srniicircuU pcr doclrinnm /ini'cri/cnlis tlicorcnmlis.

Seuiieirculi ACIt (f^. 1) centrum i,'ravi- tatis E, axeni C\), ita dividil ut uiinor por- tid DR i|u;c est versus dianieUuiu AB sit ad axem CD. ut axis (;i) ad très quadranles seiuieireuinferenlia; ACU, nefupe ad arcum ii5 graduuni.

Dividalur diaineler .\B in parles ;eqiiales indcfinitc AK, VV,, GII, IID, L)[, IK, KL cl

TRADUCTION.

L'énoncé unii]ue sérail celui-ci : Dans tous les cas, la dilVéreiice entre la suiunie des reclani;les (pn sont faits do cliacuno des premières el de chacune des secondes correspondantes (]ui sont d'un coté du |ihm donné et la soumie des rec- lani!;les qui sont laits de même fa(;()n des liijnes <pii sonl de l'autre côté est le rec- lani;l(' compris entre la balance el la somme de toutes les premières. I,'e\côs se trouve du coté du plan où tombe le dernier centre, le délaut de l'autre côté.

Si le dernier centre tombe sur le plan même, la dill'érenee se léduit à rien, car la balance se réduit à un-point el il y a éga- lité entre les sommes |)récitécs de part et {l'autre du plan. Toutes ces choses sont évidentes.

PROl'OSITIGN r°.

Centre (le f;rin'ité il Un ilemi-ccrctc (l n/irès lu (l<ietrine ilii théorème précédent.

Le centre de i;ravité E d'un demi- cercle A(;K coupe l'axe CD de telle façon (|uo la plus petite partie DE, qui confine au diamètre AB, .soil à l'axe CD comme CD est aux -r lie la demi-eirconlérence ACB, c'est-à-dire à l'arc de i35".

Soit divisé le diamètre AB en une infi- nité de parties égales, AE, EG, GII, IID,

( ' ) Ms : « secondes ».

LXIa. — AVRIL ICib

(lucanlur totidem pei'peiKliculares KM, GN, HO, de, IP, KQ, LU. Miuiifesluiii est centiiiiii graviliUis oinniiiiii |ior|i('i)ili('ii- lariiiin I"i\I, GN, etc., qiuid idem est ciini centro giavilatis scmiciiculi, esse in lineâ medii CI), quia quadraiis ADC similis est et a^qualis quadraïUi liDtK

DI, IK, KL et soient menées autant de pei- pendienlaiies FM, GN, IIO, DC, IP, KQ, LU. Il est inaniresl(; (pie le centre de gia- vilé de tontes les pcrpeiuliculaircs FM, GN, etc., qi)i est le même que le centre de gravité du deiui-ccicle, est sur la ligne médiane CD, parce (pic le quadrant ACli est semblalile et égal au (juadrant C.UD.

Jam ecntruni gravilatis rect;c FM est punclum médium S. Item ceiitrum gravi- talis ->.«' linea^ GN est punclum médium T; iungatur ST cl dividatur in piinclu 2, et sit ut S'2 ad 2T ita recta GN ad rectam F.M ; erit punctum ■_>, ceiitrum gravitatis dnaruin rectarum FM, GN. Similiter ccntrum gravi- tatis ipsius HO est punctum mcdiiiiii V et juncta libra 2 V si dividatur in puncto 1 ilà ut 2 4 sit ad 4 V ut recta 110 ad GN -h F.M, erit punctum 4 ceiitrum gravitatis irium rectarum F.M, GN, HO. Similiter si jiiii- gatur punctnm 4 cum puncto X i|uo(l est

Or le centre de gravité de la droite FM est son milieu S. De même le centre de gravité de la seconde ligne tiN est son mi- lieu T. .loignons ST cl divisons cette droite en -2, de telle surle que S-2 soit à ^T comme GN ù FM. Le point 2 sera le centre de gra- vite des deux droites FM, G.V. De même, le centre de gravité de 110 est son milieu V et si l'on joint la balance aV et (pi'on la divise par le point 4 de telle façon ipie 2 4 soit à 4 V comme HO à GNh- FM, le iioint 4 sera lo centre de gravité des trois droites FM, GN, HO. Joignons de même 4 à .\ ipii est

8

ŒUVHES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

centruni reelrE sc(|uenlis CD et dividatiir libra /i\ in piincto '), ita ul 4 5 sit ad jX, ul CD ad FM -+- GN -+- IIO, eril 5 ceiitiuin gravilatis lectarum FM, GN, HO, CD. Si conlimietui- talis eoiistiuctio in omnihus redis FM, (iN, HO, DC, IP, KQ: LR, etc., donec ad ultiiiiain pcrvcnialur, liabcbitur ultimum cenirum, qiiod eril cenlrum om- nium icctarum pntdictarum FM, GN, etc., sive ipsius semicirculi ACB, quod eiit in recta CD, ut inilio dictum est.

Esto E ultiniuni cenlrum, ergo ED erit fulcrum per doclriuaui superioris tlieore- matis. Data enim sunl positione (puelil)et puncta S, T, V, X, Y, Z (quae quidam omnia sunl in ()laiio semicirculi ACB), dalrc sunl item totidem lineae rectae singulis punclis eorrelatie FM, GN, JIO, OC, IP, KQ. LR, qu;B sunl priorcs linc;c Iheorema- tis; datum est etiiini et plaiium (pialc est qnodcumquo illnd quod cuni piano ACB facial communam séctioncm AB. Itcui a |)uiictis datis ductnc sunl totidcni liiiere SF, TG, VH, XD, etc., inter se iiarallclie, qun^ sunl i" liiie.T; tuiii ductie sunt libnc ad ulliniam; item inventa centra omnia usque ad ultimum E; item fulcrum ED.

Ergo per tlieorema snperius concludetur rectangulum ex DE fulcro in sumniam piio- rum linearum FM, GN, HO, CD, IP, KQ, ER, ;Equari sunnua; reclimguloium MFS + NGT H- OHV

+ CDX -+- PIY -I- OKZ -^ ULU.

Omnibus duplatis, rectangulum ex DE in M 7-+- N8-H O9, etc. ajquatur FM quadr. -1- GN (juad. -h HO quad. ■+- aie; et, omnibus quadruplatis, rectangulum ex 4 DE in M7 + N8 -1- Oç), etc. acquatur

M 7 quadr. -1- N8 (luad. -hOt) (juad. -t- etc.

le milieu de la droite suivante CD et divisons la balance .\\ au point fi de telle .sorte que

4 5 soit à iX connue CD à FM-i-GN-4-HO,

5 sera le centre de gravité des droites F.M, GX, HO, CD. Si l'on continue celte con- struction pour toutes las droites FM, GN, 110, DC, IP. KQ, LR. etc. jusqu'à la der- nière, on obtiendra nu dernier centre, qui sera le ce:itre de toutes les droites préci- tées FM, G\, etc. ou du deiiii-ccrcle ACB lui-même. Ce point se tionveia sur la droite CD. comme il a été dit au début.

Soit E le dernier centre, donc ED la ba- lance d'après la théorème précédent. On donne en effet un certain nombre de points S, T, V, X, Y, Z(qui sont t(uis dans le plan du denii-ccrcle A(;B) et autant de lignes droites correspondantes FM, GN, 110, DC, IP, KO. LR, qui sont les piemières lignes du lliéorème précédent; on domie aussi un plan qnelcomiuc et le plan ACB aura avec lui la section commune AB: par les points donnés on mène autant ilc lignes SF, TG, VU, XD, etc. parallèles entre elles, (pii sont les secondes lignes; puis on mène les balances de ces lignes, cl l'on trouve lous les centres jusqu'au dernier E, et la balance ED.

On conclut donc par le lliéorème précé- dent (lue le rectangle de DE et de la somme des lignes FM, GN, 110, CD, IP, KQ, LR égale la somme des rectangles

MF X FS + NG X GT -h 011 x HV -+- CD X DX -H PI X lY -hQKx KZ-!-RLx lu. Doublant tout, le rectangle de DE et de M7+N8-HO1J, etc. égale FM carré -1- GN carré -;- HO carré -i- etc.; el, quadruplant le tout, la rectangle de 4 DE et de .M 7 -t- N 8 -I- O9, etc. égale .\l 7 carre -<- NS carré ■+- 0<) caiTC -H etc.

L\I^. - AVH IL IGi.ï.

Sed oiiiiiia quadrilla M 7 -t-NS-nOg + etc. ad sumniam circulorum ex diameiris

M7-I- NS-+- 0;)+ Pic.

suiit ut quadraluiii i]iiiidcuiii]iie ad ciiculum iiisci'i|Uuin. Pedniiiiies linea: M7, N8, 0<). etc. eoiistiluuiU ciiculuiii .VC.Hio, pcr doctrinain iiidivisibiliuin, cui si delur alliliido iUE, constiliielur cvliiidius cujus basis est cir- eulus ABCio, altitiidu vero .IDE.

Similiter uiiines cireiili ex diaiiietris M 7, N8, Oi), etc. cuiisiiluuiit s|)li;cram ciijns diameter est AB.

Mais la somme des carrés M7+ NS-t-Og, etc. est à la somme des cercles ayant pour diaméircs .\l7 + N'8 -(- Oi), etc. comme un carré (|uelcon(|ue est au cercle inscrit. Or toutes les lii;nes .M 7, N8, O9, etc. consti- tuent le cercle ACBio, d'après la doctrine des indivisibles, et si on lui donne la liaulcur .i[)E*on obtient un cylindre de base ABCio et de lifuiteur \D\i.

De même tons les cercles avant pour diamètres .\l7, N8, Of), etc. constituent la splièrc de diamètre AB.

Ipilur prapdictus cvlindrus ad ])r:rdiclam spbseram ex AB est in ratione quadrali ad circulum inscriptum, sive ad cylitidiuui ex altitudine | radii CD in basim circu- lum ACBio. Ergo allitudo j DE ad altitu- dinem -J radii CD est in eadem ratione qua- drati ad circulum inscriptum; si\'c sumptis sub quadruplis, primic rationis DE ad j CD. Fermât. — IV.

Donc le cylindre susdit est à la splièrc susdite ou an cylindre de lianleur j CD et de base ACB 10 dans la raison du carré au cercle inscrit. Donc la hauteur 4 DE est à la hauteur ^ CD dans la même raison du carré au cercle inscrit; et il en est de même, en divisant tout par 4, de la raison de DE à i CD.

2

10

ŒUVRES DE FERMAT.

COMPLEMENTS.

Ergo, sumptis triplis consequentium, eril DE a CD, ita quadratum AB ad triplum cir- culi inscripti. Sed triplum circuli ACBio aeqiiale est rectangulo ex AB in 3 qua- diantem AC; ergo DE ad DC, ut qua- dratum ex AB ad rectangulum ex AB <et triplum > quadrantis AC ('), sive ut recta AB ad triplum quadrantis ACf, sive sumptis dimidiiSjUtDCad | semicircumferentiae ACB quae est i35 grad.

Quod erat demonstrandum.

Donc, en triplant les conséquents, DE est à CD comme le carré AB au triple du cercle inscrit. Mais le triple du cercle ACB lo est égal au rectangle de AB et de 3 fois le quadrant AC. Donc DE est à DC comme le carré de AB est au rectangle de AB et < du triple > de AC, ou comme AB au triple du quadrant AC, ou en divisant par deux, comme DC aux f de la demi-circon- férence ACB, c'est-.'i-dire à i35 degrés.

G. Q. F. D.

(') Ms : « AB in quadrantem ».

LWIII^. — 1G51. 11

ANNEE 1631.

LXVllU. LE PÈRE MAIGNAN A FERMAT.

( Uibliolhùquo de la Ville de Toulouse, Ms. n" 752, f" lUT-lGS) (')•

Le 23 jour d'avril iGoi, environ un quart d'heure après le soleil couché, l'air estant serein et sans aucun nuage, nous vismes en ce lieu de Magnas un tel météore qui a esté veu aussi en d'autres lieux voi- sins. La clarté qui demeure sur l'iiorison après le couché du soleil et qui paroit plus grande au dessus de luy, s'esleva au milieu peu à peu à angles droicts justjues à la Iroisiesme partie de l'espace qui est entre l'horison et le milieu du ciel. Nous remarquasmes (jue ceste clarté devenoit plus vive et plus lumineuse en montant sans prendre aucune autre coleur, elle paroissoit une ligne de lumière droite et esgalle, et après s'être eslevée à la hauteur que j'ai dict en un ([uart d'heure, elle diminua soudain par la partie supérieure et disparut en esgal tams.

(') Grâce à l'obligeance de M. Massip, Bibliolliécaire de la ville de Toulouse, nous avons pu retrouver ce document (copie) que Paul Tannery sii^nalait (l. 111, p. xii) ainsi, sans indication de source : « une lettre sans date, mais puslérieiire à i65i, adressée à Fermât par un M. de Magnas et décrivant une aurore boréale ». M. de Magnas n'existe pas: c'est à Magnas (Gers), le 23 avril iGii, que se produisit le pliénomène.

Sur le Père Maignaii, on peut consulter :

De viia, inorihut et scriptis H. Patris Eninnuelis Mii^nani Tolosntif . . . elogium qtiod conscribebat P. Jo. Sajiiens, Tolosoe, 1697;

Baylk, Diclinnnaire /listnriqiie et critique;

Le P. Lelq.ng, Bibliot/iéque hiitorique de la France (voir t. V, Table des Personnes) et la Biographie Toulousaine, au tome II.

1-2 (lîUVHES DE FEF{MAT. — COMPLEMENTS.

Cette apparence ne se forma point dans les parties de l'air pur, et tel que celuy (jui environne ordinairement la terre, elle ne seroit pas si rare; aussi ce météore ne l'ut pas formé dans une nuée espoisse, comme il arrive souvent que les nuées nous renvoient la lumière du soleil vive et raionnanle à plus (' ) près comme estoit celle-cy, ni dans la pluie tombante par l'espace de l'air comme il arrive en l'iris, il ni avoit aucun nuage ci il n(> parust aucune des couleurs de l'iris. Il reste à panser que c'estoit une vapeur espandue dans l'air de telle consis- tance qu'elle renvoioit les raions du soleil et n'estoit pas perceptible à la veiie.

Mais l'on put douter si di' resgalilè et uniformité de la lumière qui fornioit ceste a[)parence il en faut inférer l'esgalilé des angles soubs les(}uels elle se forma, d'où il s'ensuivroit ([lu- ce météore seroit une partie de circuniféi'ence , laquelle estant descrile passeroit par les centres du soleil et de l'œil ([ui sont les points des(|uels sont tirées les lignes qui constituent les dicls angles esgaus. Ou bien, si l'on doit juger que cette apparence soit formée soubs divers angles et en diverses distances, parce (|ue la rellexion de la lumièi'c se faict soubs toutes sortes d'angles, d'où il advient que les diverses reflexioiis ([uoicju'ines- galles entic elles leprésentent une lumière esgalle estant veues con- jointemenl, et ainsi ce météore ne feroit pas une partie de circonfé- rence, mais plusieurs portions de circonférences, ou bien une portion de cercle qui ne représente ((u'une ligne droite à l'ijcil ([ui est posé dans le inesme plan, parce ((ue les parties de la vapeur qui se rencon- trent dans ce plan renvoient la lumière à l'œil, et au contraire celles qui sont hors de ce |)lan renvoient la lumière ailleurs; pourroit-on décider ceste doute par la considération de la teiuiité et de la vivacité de la lumière, car il semble ((ue le cors qui rellecliit la lumière unie et conlinuement estendue en longueur doit eslre continu et solide et que ceste réflexion se doit faire en la superiicie dudict cors, estant si lumi- neuse. Aussy pourroit-on juger que ce météore est si estroit et si deslie

(') Lire sans doiito «iieu».

l.W 111^. — Ki.ïl. 13

à cause (luc sa dilti^ superficio est concave, de ce (jiie celle apparence s'esleva peu à peu seur l'iiorison l'on en put inlérer ([ue la dille super- ficie estoit inclinée en telle sorte ([ue les raions du soleil s'esloinnant de l'horison esloient renvoies à l'œil des parties plus eslevées de la superlicie. I'"t (juaiit à ce ([ue le météore disparut par la partie supé- rieure, pourroit-on croirt> qu'il fut esCacé par l'ombre de la terre, autre- ment il semble (pril eut disparu par la j)artie inférieure.

Au reste ce météore seml)le estre le revers de l'iris, c'est pourquoy l'on l'a nomme l'anl iiis.

Iris est veue, le soleil estant sur l'iiorison, aniiris le soleil estant soubs riiorizon, d'où il puissi' frapper la superficie concave du corps qui le foi aie.

Iris représente diverses coleurs par la refraction, antiris est seule- ment lumineuse par la simple relle\ion des raions.

Iris paroist circulaiie, antiris droite.

En iris les centres du soleil, de l'œil et du météore sont dans une mesme ligne droite. Kn Faut iris \v s(deil, VœW et le météore sont en la mesme circumférence.

Iris est souvent double, antiris simple et uniforme.

Iris est fréquente, la pluie dans hnpudle elle se forme est ordinaire ; antiris rare, la vapeui' dans laqutdle elle est conceiie et la position de ses parties se rencontrent rarement.

Puisque nous avons francbi si hardiment les bornes de la modestie, imitons sans crainte l'exemple de ceux

Qui qnaiiil ils soni ;iii Ions du sac En viennent Jusqu'à ralnianncli

comme chantent les enlumineures des Jansénistes.

Iris nous tient lieu d'asseurence, ([ue les eaus du ciel ([ui ont autre fois submergé toute la terre, ne doivent estre emploies que pour l'arroser et la rendre plus fertile.

Antiris est un présage et une menace de l'embrasement qui doit consommre les trophées de la vanité et terminer les projets infinis de

14. ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

l'avarice et de l'orgueil avec la durée du monde et est un avertissement que le feu qui jusques à ceste heure aservi à la commodité et aux usages divers de la vie des hommes dévorera bien tost tout ce qu'il a formé, nourri et esclairé, et qu'on recherche à se loger dans le ciel, estant sur le point de perdre la terre.

LXVIIIb. — MAKS-tCoV. 15

ANNÉE 1654.

LXVlll,,, FERMAT AU PRÉSIDENT D'AUGEARD.

SAMEDI 14- )IARS IC54-.

(Bibl. Nat., Ms. fr. 16871, f 45-40) {').

Monsieur,

En attendant que des extraicts de nos registres concernant l'institu- tion de nostre parlement soient faicts, je vous dirai succintement les ordres de nostre compagnie. Elle est composée de cinq chambres : la Grand'-Chambre, la Tornelle, deux Chambres d'Enquestes et une de Requestes. La Grand'Chambre et Tornelle ne passent que pour une mesme chambre divisée en deux bureaux, car les officiers des Enquestes ne sont jamais de la Tornelle, comme il se pratique aus autres parle- ments. Ces deux chambres sont composées de trente-deux conseillers qui sont les plus anciens du palais, et chasque année, a la Saint- Martin, on change deux de la Grand'Chambre a la Tornelle, et deux de la Tornelle à la Grand'Chambre, ce qui se faictpar tour, a la reserve du doyen et sous-doyen lais (jui sont tousjours de la Grand'Chambre, et des con(seill)ers clercs qui, par le privilège de leur caractère, ne vont jamais a la Tornelle. Touts les autres vont et viennent, avec cet ordre pourtant que, lorsqu'on sort des Enquestes, on sert a la Tornelle jus-

(') Lettre autograplie, sauf l'adresse. — lille porte en tète l'aiiriotatiuri ; Lettre du .9'" de Fermai, Con"' au Parlement de J'oulouze. touchant l'ordre dud° Parlement, et à la fin cette autre : Ordre du parlement de Toulouse. Un grand nombre de passages de cette lettre ont en outre été soulignés.

l(i ŒUVFiES DE FEiniAT. - (.OM l'LEMENTS.

qu'à ce qu'on soit de louv d'aller a la Grand'Cliariibre; en quoi on n'ol)serve qu'une seule chose, c'est qu'on cliaiii;l> a la Granil'Chanïbre ceux (|ni ont seivi le plus de temps à la Tornelle, et de mesnie a la Tor- ntdle ceux (pii ont esté plus longtemps de snitte dans la Grand'Cliambre. La disliiljution du nond)re de trente-deux entre ces deux chambres est de i() a la Grand'(>hand)re et de li dans la Tornelle. Les deux chambres des lin(iuestes ont a [)eu près vint et Iniict con(seill )crs chascune, le nondjic avant esté augmenté par diverses crues. Pour la Comission de la Ghandire de ITi!dirt, (|ui est composée d'un président et lo con- (seill)ers de ( has(|uc religion, nous y envoyons clias(jue année un des presidens a mortier, ce (|ui se l'ait par tour, a la reserve <lu premier président (|ui ne lioiii;c point, trois con(seill)ers de la Grand'Chambre, autant de la Tornelle. et deux de chasque chambre d'En([ueste. De tout s ceux la, on en continue deux qui sont régulièrement les plus am-iens, si bien (|ue les eU'eclit's de la Grand'Ghandjre restent au nond)re de i(i, et ceux de la Tornelle au nombre de ro ( ' ). La chambre des Requestes est composée de ■> présidents et de i i con(seill)ers. Ils sont du corps du parlement el, lors(iu'ils changenl d'ollice, ils gardent le rang de leur réception et peuvent aller d'abord a la Giand'Gliandtre, s'ils se treuvent assés anciens pour cela. Voila au vrai la vive ligure de nostre compagnie. Il y a près de deux ans (|ue je suis hors des En- quesfes et, pai- la révolution (|ue les maladies ont causé, je me treuve présentement le troisième de la Tornelle et en estât d'estre de la Grand'Gliambre a la Saint-Martin prochaine. Je vous dirai le reste par le premier ordinaiie; j'atlens le livre de .Monsieur de Hrissac et suis tousjours, Monsieur,

Vostre très humble et très obéissant serviteur,

Fi:iiMAT.

(') Ces détails sur In coiupDsilion de la Cliamiire de l'Édil ne peniintleiit pas de main- lenir riiypullièsc émise tome II, p. 'ifO, note ■/, et p. v.78, mile ■',, sur la nomination (pio Format demandait au clianeelier en iliii, (pie p.elni-ci avait promise, depuis longtemps (t. Il, p. '24 1, note I), et qui lit l'objet de nouvelles dcmarclies l'ii idis.

Ce point reste ohscur: Fermât, à cette époque de sa vie, a-t-il brigué les provisions de président de la Chambre des (■"uquéles?

LWIlIr.. - xMAtJS lG5't. 17

i" P. S. J'obmettois de vous dire qu'il y a G présidents a mortier outre le premier, que les trois plus anciens sont tousjours de laGrand'- Chambre avec le premier président, et que les trois derniers sont tousjours de la Tornelle.

A Tolose, le i4 mars i654-

2° P. S. Avant que vous respondre sur le troc des manuscripts, je désire sçavoir si vostre ami en a de grecs et quels.

(Adresse) : A Monsieur, Monsieur d'Augeard, firesidanl en la Chambre de l'édit Guienne. à Paris.

LXMII,:.

FERMAT AU PRÉSIDENT D'AUGEARD.

SAMEDI i\ MARS 1G54.

(Bibl. Nal., Ms. fr. 16871, f- 47-48) (').

Monsieur,

Je vous renvoyé vostre escrit sur le suliject de l'establissement du parlement, et n'y adjouste autre chose qu'un extraict en forme, colla- tionné par nostre greffier en chef, des lettres patentes du Roy Louis onzième, qui est la seule pièce (-) qui manque au mémoire que vous m'avés envoyé. Celuy qui l'a dressé n'a faict que copier quatre ou cinq pages des Mémoires du Languedoc de feu Monsieur Catel, et vous devés, s'il vous plaist, advertir Monsieur du Harlai que son copiste se mesprend lorsque, voulant corriger Monsieur Catid, il soustient que la datte du Registre des lettres patentes de Charles septième est du

('; LeUre aulograplie. — En tèle raniiotaLioii : Lettre du .S*" de Fermât, Con"" a Tou- louze, touchant icsclaircissement de quelques poina concernant l'establisseinent et ordre du Parlement. De noinbreiix passages ont clé soulignés, comme dans la pièce qui précéda.

(*) Le mot ^>/ece est en interligne au-dessus du mol chose, qui est barré.

Fkrm.vt. — IV. "J

18 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

4 juin 1445, et non du 4 juin i444> puisque le premier de nos re- gistres est de ceste dernière datte, les patentes estants du 11 oc- tobre 1443, et non du 11 octobre i444; ceste erreur estant trop considérable pour ne l'en advertir pas. J'ay creu (}u'il cstoit important de vous envoyer ces lettres patentes de Louis onzième, pour ce qu'elles contiennent un narré historique de l'establissement de nostre parle- ment. Si j'avois eu assés de temps, j'aurois encore faict transcrire les lettres patentes de la translation qui fust f'aicte a Montpelier; si Mon- sieur du Harlai en désire une copie en mesme forme que celle que je vous envoyé, vous pouvés encore la luy offrir de ma part. Et parce qu'il me semble qu'il y a encore quelques articles sur la fin de vostre mémoire sur lesquels je ne crois pas vous avoir pleinement satisfait par ma précédente, celle-cy achèvera de vous faire cognoisire tout Testât présent de nostre compagnie, et je ne toucherai que ce que j'avois obmis dans ma dernière.

Nous n'avons, dans tout le parlement, que 12 officiers clers, et de ceux la mesme, il s'en treuve 2 qui ont esté laisés (') depuis long- temps, si bien que le nombre véritable et effectif n'est que de 10, des- quels il y en doit tousjours avoir 2 dans la Grand'Chambre, et les autres 8 sont d'ordinaire dans les deux chambres des Enquestes; mais par ce que les derniers receus ont prétendu depuis quelques années que, lorsqu'ils venoient a estre du nombre des 3i plus anciens, ils estoient en droit d'aller a la Grand'Chambre et d'y rester tousjours fixes, sans passer par la Tornelle, on le leur a souffert pendant quelques temps, sans qu'il y aist eu délibération expresse pour cela. Mais, parce que depuis deux ou trois années ils se sont treuvés G dans la d(it)e Grand'Chambre, ceste nouveauté a d'abord excité quelque murmure et a enfin abouti a un règlement que nous avons pris au commencement de ce parlement pour retrancher les advantages que les con(seill)ers d'Eglise alloient visiblement usurpants sur les con- (seill)ers lais. Je puis vous en rendre conte, pour ce que la proposition a commencé par ma plainte et par la parolle que j'en ai porté en

(M C'est-à-dire ; remplacés par des conseillers l.Tis (talques).

LXVIIIr. - M\nS 1G5i. 19

l'assemblée des Chambres. Le résultat du règlement est qu'au lieu que la Grand'Chambre avoit des espices séparées de celles de la Tornelle, et qu'on faisoit seulement communauté de la moitié des raports en chas- cune des deux chambres, nous avons establi la communauté entre la Grand'Chambre et Tornelle, et outre cela, nous ne laissons aus rapor- teurs qu'un quart, les trois quarts restants entrants dans la bourse commune, de laquelle les portions sont esgalles entre touts ceux de la Grand'Chambre et Tornelle.

Il y a deux présidents des Enquestes en chascune des deux Cham- bres, lesquels ont des provisions séparées pour l'office de président et ont un office de con(seill)er joint; mais, après qu'ils ont servi quelques années, ils obtiennent aisément la séparation de l'office de con(seill)er en faveur de leurs enfants tant seulement, car nous n'avons jamais voulu registrer la d(ite) séparation en faveur d'aucun estranger.

Les officiers des Requestes opinent en toutes les affaires publiques qui se traittent aus chambres assemblées, mais ils n'opinent point aus procès dont les partages, intervenus aus chambres particulières, doivent estre vuidés en l'assemblée des chambres.

Si vous joignes ceste lettre a ma précédente, vous y treuverés la dé- cision de toutes vos doubles.

* Si j'avois desmanuscripts,je les oITrirois avec plaisir aM. du Harlai ; je ne sçache d'avoir qu'un .Egidius Romanus de Regimine principum ('). S'il est de son goust, je le luy olfre sans condition et suis tousjours.

Monsieur,

Vostre très humble et très obéissant serviteur,

Fermât.

P. S. Rendes moi, s'il vous plaist, raison du silence opiniastre de M. de Rossignol, a qui j'ai escrit cinq fois sans avoir receu pas une response de sa part.

A Tolose, le ai mars i654-

(')Co irailé d'Egidio Colonna De regimine principis, composé pour l'inslruction de Philippe le Bel, a été imprimé à Rome en i^qî.

20 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

LXXIa. FERMAT AU PRÉSIDENT D'AUGEARD.

SAMEDI 22 AOLT 165+.

(Bill. Nat., Ms. Ir. 1G871, f" 49-50) (')•

Monsieur,

Je suis Ires marri (lue nos occupations, (|ui au!j;niantent, comme vous sçaves, sur la fin du parlemanf, m'obligent encore a dilTerer la responce que je dois au mesmoires de Monsieur de Harlé. Je vous dirai sullement par advance (jue nous travaillions par grands commissaires, quatre jours de la sepmaine sullement, sc^'avoir le lundi, le mercredi, le judi et le samedi, et outre cella, les veilhes de toutes les i'estes, quoique les dictes veilhes de festes tombent en mardi et vendredi. Nous ne faisons jamais q'une seulle après (lignée par jour, pour laquelle les presidans au mortier ne prennent que deux escus, les pre- sidans aux enquestes un escu et demi, et chacun des conseilhers un escu sulleniant. Les dits escus sont de trois livres cin(( sols pièce, que nous n'avons jamais vouleu augnianter, quehjue proposition ([ui en ayt esté faicte en divers temps. Je croi ([ue ceste antienne austérité est de nostre seulle compagnie, et que tous les autres |)arlemans se sont plus relâchés. Nous ne taisons p'as de despecher tous les procès qui se pré- sentent, et ceste modération neproffite qu'aux parties. Je vous en dirai une autre fois davantage; le temps me presse et je suis toujours.

Monsieur,

Vostre très humble et très obéissant serviteur.

Fermât.

A Tliolose, le 2a aonsi i(i54.

(Ailressc) : À Monsieur, Monsieur d'Augeard, présidant en la Chambre de l'éditde Guienne. en la rue des polies au bois ardent, à Paris.

(') I.a signature seule est aulogra|)lic.

LXXIIU. - AOUT 1654. 21

LXXIll^. FERMAT AU PRÉSIDENT D'AUGEARD.

SA>IEDI 2!) AOUT 165i.

(KM. Xat., Ms. Ir. 10871, f- 51-52) (').

Monsieur,

Je commençai, par le dernier ordinaire, avons satisfaire sur le sub- jectdu mémoire. A'oici quelque continuation que jet'airois plus longue, si j'avois le billet de M. du Harlai; obligés-moi de m'en renvoyer copie, la cbarge que Monsieur de Magnan avoit pris d'y respondre m'a rendu négligent a conserver le mien.

Je vous ai dict (jue nos procès de grands coniissaires ne donnent qu'un seul émolument.

Le nombre des juges n'est jamais «jue de 7 en ceste sorte de procès.

En la Grand'Cliambre on t'aict deux bureaux diflerents, qu'on appelle guets-. J.e premier président préside en l'un, et le second pré- sident en l'autre, et lesjugesdecbascun de ces deux guets ne changent ([u'a chas<|ue Saint-Martin. Il dépend de Monsieur le premier président de fornier les (l(icts) guets et de mettre a cliascun tels juges que bon lui semble, a la reserve du doyen des con(seill)ers lais et du doyen des con(seill)ers ecclesiasticjues, (|ui sont touts deux du premier guet, c'est-à-dire de celnv de M. le preniici' piesident. Les aflaires d'après disnée. dont les raporteurs sont du jneniier guet, se jugent au bureau de M. le [)remier président, et celles dont les raporteurs sont du second guet, se jugent au bureau du second président. Le troisième et le qua- trième président de la Graiid'Chambre ne travaillent jamais les apres- dinées, non pas mesme par l'absence du premier et du second prési- dent, mais, en ce cas, le doven de cbascun des guets préside au bureau qui man(iue de son président.

Cl l^etlre aiilogiiiplie, siiuf l'adiesse. qui est identique à celle de la Lettre LXXU. ci-avant, et que nous ne ic|ii()diiiroi)S [las cette fois. Le cachet de celle lettre est bien conservé.

22 ŒUVRES DE FERMAT - COMPLEMENTS.

Aux deux chambres d'Enquestes, chasque cliambre a deux prési- dents. Ils sont touts deux d'apres-disnées, de sorte que le nombre des juges est ordinairemciit en chasque chambre de 2 présidents et 5 con- (seill)ers. Mais lorsque le nombre des affaires augmente, ce qui arrive d'ordinaire quelques mois avant la fin du parlement, on faict deux bureaus en chasque chambre d'Enquestes, a l'un des(|uels l'un des présidents préside, et le second a l'autre.

Il n'y a aux Enquestes que les 12 con(^scill)ers plus ancieng qui soient des apres-disnées, et ils le sont par tour; j'entens 12 dans chasque chambre. A la Tornelle, le seul président [tins ancien de la d(icte) chambre, qui est le cinquième président au mortier, entre en apres-disnées, les 2 autres n'en sont jamais, non pas mesme par l'absence du plus ancien.

Si le mémoire ne me manquoit,je vous en dirois davantage. Vous n'avés donc qu'a me questionner sur ce qui reste. J'attens de vos nou- velles, et après vous avoir félicité de nouveau de la charge dont vous voila entier et paisible possesseur, je suis, de tout -mon cœur,

Monsieur,

Vostre très humble et très obéissant serviteur.

Fermât. A Tolose, le 29 août iC54 (')•

(') Les archives de la Haute-Garonne renferment les pièces suivantes sur la carrière administrative de Fermât :

1° Mercredi i4 mai i63i : *Réce|)tion de Pierre Fermât, avocat, comme conseiller lav en la cour de Toulouse et commissaire aux requtHes, suivant lettres patentesdu vîîjuin iG3i (signées Kenouard), en Testât et office vacant par résignation de Pierre de Carrière (Arrêts civils. Reg. B, 5 12, fM97);

a" Samedi id Jaiwier i6î8 :

Réception de Pierre de Fermât, comme conseiller lay (aux enquêtes), suivant lettres patentes du 3o décembre 1687 (signées de Beaugrand), en Testât et office tenu par feu Pierre de Reynaldy {Arrêts civils, Reg. B, 58-2, f° 188);

3" 29 octobre 1661 :

Acte par lequel .Vr Pierre de Fermât émancipe son fils Samuel Clément, docteur et avocat, pour qu'il puisse « composer d'un office » (Insinuations, Reg. 3o, f" :io6 v").

APPENDICE.

SUR L\ METHODE DE, MAVIMIS ET MINIMIS. 25

LA DISCUSSIOiN

MÉTHODE DE MAXIMIS ET MINIMIS "

I. DESCARTES A MYDORGE ( = ).

< 1" MARS 1638 >.

J'admire que lo traictc de maximisel minimis, qui m'a esté cy-deuant enuoyc, ot qui, comme i'apprens maintenant, a esté composé par M"" de Fermât, ait trouué des deffenseurs, et il ne me semble pas qu'ils l'excusent en aucune façon. Car premièrement, ils me font dire vne chose a laquelle ie n'ay iamais pensé, afin [lar après de la réfuter; a sçauoir, ils supposent que ic parle de tirer me ligne droite du point B donné en la parabole BDN, sçauoir la ligne droite DE rencontrant le diamètre CD au point E, laquelle ligne MM soit la plus grande de toutes celles qui peuuent estre menées du mesme point B pris en la parabole et coupant le mesme diamètre CD.

Ce sont leurs mots, et ie confesse auec eux que cela est absurde; mais aussi ay-ie dit toute autre chose, a sçauoir qu'il faut chercher /a ligne droite BE, qui rencontre DC au point E, et qui soit la plus grande

(') \o\v OEuvres de Fermai, Tome I. page i33, Tome 111, page lii et Tome II, page 126. Les pièces 1 et 2 sont reproduite?, la première on extrait, d'après l'édition des OEuvrc.i de Descaries, publiées par Ch. Adam et P. Tannery : Correspondance,Tom(i\\, pages 2-n (document 1), pages 104-114 (document i).

(') Copie Ms., Bibliothèque Nationale, fr. n. a. 5i6o, f" S7 à CO.

Fermât. — IV. 4

2G ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

qu'on puisse tirer du mesme point E iusques a ta parabole. Or il est eui- dent qu'on peut tirer vue ligne de ce point E vers la parabole, qui soit la plus grande de toutes celles qui peuuent estre menées de ce mesme point E iusques a la mesme parabole, a sçauoir celle qui sera menée au point B, si on suppose qu'elle touche la parabole en ce point B. Car de dire, par exemple, que EP est plus grande que n'est EB, ce

Fis. 3.

n'est rien dire, à cause que cette ligne PE n'est pas tirée iusques a la parabole seulement, mais outre la parabole, et elle s'estend au delà, depuis S iusques a P, en sorte qu'il n'y a que sa partie ES qui soit menée iusques a la parabole, et ES est moindre que n'est EB. Ce qui ne sçauroit estre nié par des personnes qui voudront entendre raison, et aussy n'ont-ils rien dit contre cela.

En suite de quoy, i'ay l'ait voir euidemment que la règle de M"" de Fermât pour trouuer maximam et minimam, est imparfaite, et ie le pourrois encore monstrer par vne infinité d'autres exemples, mais la chose n'en vaut pas la peine. Et ie diray seulement que, cette règle estant corrigée comme elle doit estre, le vray moyen de l'appliquer a l'inuention des contingentes des lignes courbes est de chercher ainsy le point E, duquel l'on puisse tirer vne ligne iusques a B, qui soit la plus grande ou la plus petite qu'on puisse tirer du mesme point E ius([ues a la ligne courbe donnée. Ce que M"" de Fermât tesmoigne n'avoir point sceu, puisqu'il en vse d'vne autre façon, en cherchant la

SUR LA MÉTHODE DE MAAIMIS ET MINIMIS. 27

tangente de la parabole, a sçauoir d'vne façon en laquelle (pour nommer les choses par leur nom, et sans auoir pour cela aucun dessein de l'offenser) il se trouue vn paralogisme, qui ne peut en aucune façon estre excusé. le veux bien pourtant aduoùer que pour appliquer son raisonnement a l'hyperbole, il ne faut pas seulement substituer Hyperbolen au lieu de Parabolen, mais qu'il y faut outre cela

changer vn petit mot, ({ui ne fait rien du tout a la cause, et auquel ie n'ay pas honte de dire que ie n'auoy pas fait réflexion. Car d'abord i'auoy reconnu si euidemment le paralogisme de cet Escrif, que ie n'auoy daigné par après le regarder, et i'ay pensé que l'autheur mesme ne pourroit faire aucune difficulté de le reconnoistre, si tost qu'il en seroit aduerty. Ce mot donc est qu'au lieu de dire : maior erit pro- porlio CD ad Dl quàm quadrati BC ad quadralam 01, il faut, en parlant de l'hyperbole, dire seulement : maior erit firoportio CD ad DlquàmBC ad 01, ou bien maiur eril proportio quadrati CD ad quadralum DI quàm quadrati^C ad quadratum 01. D'où tout le reste suit de mesme façon que si on compare les lignes CD et DI aux quarrez de BC et 01. Et cecy s'estend generallement a toutes les lignes courbes qui sont au monde. Mais afin qu'on ne puisse chercher sur cela aucune excuse, qu'on mette, non pas Hyperbolen, mais EUipsim ou Circuli circumferenliam, au lieu de Parabolen, et lors il ne faudra pas changer vn seul mot en tout le reste, comme on verra icy manifestement.

28

ŒUVRES DE FERMAT.

COMPLEMENTS.

Raisonnement par tvijuel M' de Fermai prétend troiiiier la tangente de la para- bole.

Sil data parabole BDN, cuiiis verlex D, diameler DC, et punctum in eâ dalum, B ad quod duceiida est recta BE, tangens Paha- BOLËN, et in puncto E cum diametro con- currens.

Ergo sumendo qiiodlibet punctum in recta BE, et ab eo ducendo ordinalani 01, a puncto anteni B ordinatam BC, niaior eril proporlio CD ad DI, quam quadrati BC ad quadratum 01, quia punctum < 0 > est extra narabolen.

Sed propter similiiudinem triangulorum, vt BC quadratum ad 01 quadratum, ila CE quadratum ad lE (piadratum; maior < igi- tur > erit proporlio CD ad DI, quam qua- drati CE ad quadratum lE.

Cum auleni punctum B deliir, < datur applicata BC; ergo punctum C>. Datur eliam CD. Sit igitur CD iF([ualis B dalae. Pon.itur CE esse A. Ponatiir CI esse E.

Ergo D ad D — E liabebit maiorem pro- portionem quam Jq ad Aq -^- Eq — A in E bis. Et ducondo inter se médias et extremas, D in A q -h D in Eq — D in A in E bis niaius erit quam D in Aq — Aq in E.

Adiequenlur igilur iuxta superiorem me- tliodum. Demptis itaque communibus, D in Eq — D in A in E bis adaequabitur — Aq in E, aut, quod idem est, D in Eq ■+- Aq in E adaequabitur D in A in £ bis.

Omnia diuidantur per E. Ergo D in E -\- Aq adaiquabitur D in A bit. Elidatur D in E. Ergo Aq œquabitur /) in A bis. Ideoque A œquabitur D bis. Ergo CE pro- bauimus duplam ipsius CD, quod quidem ita se Iiabel; nec fallit vnquam methodus.

Application du mesme raisonnement a toutes les lignes courbes, dans lesquelles les segmens du diamètre ont plus grande proportion entre eu.r (a sçauoir le plus grand au moindre ) que les quarrés des lignes qui leur sont appliquées par ordre.

Sit data ellipsis BDN, cuius vertex D, dia- meler DC, et punctum in efl datum B, ad quod ducenda est recta BE, tangens Eli.ip- siM, et in puncto E cum diametro concur- rens.

Ergo sumendo quodiibel punctum in recta BE, et ab eo ducendo ordinalani 01, a puncto aulem B ordinatam BC, maior eril proporlio CD ad DI, quam quadrati BC ad quadratum 01, quia punctum 0 est extra ellipsim.

Sed propter similiiudinem triangulorum, vt BC quadratum ad 01 quadratum, ila CE quadratum ad lE quadratum; niaior igitur erit proporlio CD ad DI, quam quadrati CE ad quadratum lE.

Cum auleni punctum B detur, dalur appli- cata BC ; ergo punctum C. Datur etiam CD. Sit igitur CD ;cqualis D dat.e. l'onatur CE esse A. Ponalur CI esse E.

Ergo /) ad D — E liabebit maiorem pro- porlioiiem quam Aq ad Aq-hEq — A in E bis. Et ducendo inter se médias et extremas, D in Aq -+- D in Eq — D in A in E bis maius eril quam D in Aq —Aq in E.

Adœquenlur Igitur iuxla superiorem me- thodum. Demptis itaque communibus, D in Eq — D in A in E bis adaequabitur — Aq in E, aut, quod idem est, D in Eq -+- Aq in E adiequabitur D in A in E bis.

Omnia diuidantur per E. Ergo D in E -k- Aq adaequabitur D in A bis. Elidatur D in E. Ergo Aq œquabitur D in A bis. Ideoque A œquabitur D bis. Ergo CE pro- bauimus duplam ipsius CD, quod nulle modo ita se habet: sed semper falIit ista methodus.

SUH LA METHODE DE MAAIMIS ET IU//VIM/S.

•29

Jpplicatio/i du iiicsrne raisonneinciit a l'Iijperbole et a toutes les autres lignes courbes.

Sit dala liyperbole BDN, ciiius vertex D, diameler DC.et punctuni in cà dalum B,ad quod ducenda esl recta BE laiigens Hypbk- BOLEN, et in |uinclo E cuin diainetro con- currens.

Ergo sumeiido quodiibet [ninctuiii in recta BE, et ab eo dueendo ordinatam 01, a puncto autem B ordinatam UC, maior erit proportio CD ad 1)1, quain BC ad 01, quia punctuni 0 est extia hyperbolen.

Sed propter siinihludiiieni Iriangulorum, vt BC ad 01, itii CE ad lE; maior igilur erit proportio CD ad Dl quam CE ad lE.

Cum autem punctum B detur, daiur appli- cala BC; ergo punctum C. Dalur etiam BC; ergo punctum C. Datur etiam C\i. Sit igi- tur CD œqualis D dalae. l'onalur CE esse A. Ponalur CI esse E.

^>go /) ad D — E habebit niainrem pro- portionem quain A ad A — H. Et dueendo inter se médias et extremas, D in A — D i/i F. mains erit quam D in A — A in E.

Adœquentur igilur iuxta sut)cnurcm me- thodum. Demplis ilaque communibus, — D in E adiequabitur — A in E, aul, quod idem est, D in E adœquabitur A in E.

Omnia diuidantur per E. Ergo A adae- quabitur Z>, < nihilque > hic esl eliden- dum. Sed J aequalur Z), quod nuUo modo ita se habet , etc.

Fig. 8.

F'g- 9-

30 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

Si on aduoiie que ce raisonnement soit bon pour la Parabole, on doit aduoûer aussy qu'il est bon pour l'Kllipse et l'Hyperbole, et toutes les autres lignes courbes qui sont au monde, ou toutefois on voit clai- rement qu'il ne conclud pas la vérité. Quant aux autres choses que ces Mss""* disent auoir esté inueatées par M" de Fermât, l'en veux croire tout ce qu'il leur plaira; mais n'ayant iamais rien vcu de luy ({ue cet escrit de maœimis et minimis, et la copie d'vne lettre dans laquelle il pretendoit de réfuter le 2'*^' discours de ma Dioptrique, et ayant (rouué en l'vn et en l'autre des paralogismes, ie n'ay peu iuger que sur les pièces qui sont entre mes mains. Cependant ie les suplie de croire que, s'il y a quelque animosité particulière entre luy et moy, ainsy qu'ils disent, elle est toute entière de son costé; car de ma part ie pense n'auoir aucun suiet de sçauoir mauuais gré a ceux qui se veulent esprouuer contre moy, en vn combat ou souuent on peut estre vaincu sans infamie. Et voiant que M'' de Fermât a des amis, qui ont grand soin de le deffendre, ic iuge qu'il a des qualités aimables qui les y conuient. Mais i'estime en eux extrêmement la fidélité qu'ils luy tesmoignent; et pour ce que c'est vue vertu qui me semble deuoir estre chérie plus qu'aucune autre, cela suffit pour m'obliger a estre leur tres-humble scruiteur

2. ROBERVAL CONTRE DESCARTES (').

< PARIS, AVRIL 1638 >.

Quand Monsieur Descartes aura bien entendu la Méthode de Mon- sieur de Fermât De maximis el minimis, et de inuentione tangentium linearum. curuarum., alors il cessera d'admirer que cette Méthode ait trouué des defl'enseurs, et admirera la Méthode mesme, qui est excel- lente et digne de son Autheur. Or il n'est pas vray-semblable que M. Descartes l'ait entendue iusques icy, puis qu'ayant fait des objec-

(') Texte de Glerselier, Tomo III, lettre 58, pages 3i8-32i.

SUR L\ MÉTHODE DE MAAIMIS ET M//VIMIS. 31

lions absurdes allencoiitre par son premier Escrit, ausquelles nous auons répoiulu suiuant riiilelligence que nous auoiis de la inesme Méthode, il replicjue de sorte qu'il s'enueloppe dans d'autres, autant ou plus absurdes que les premières; et tant aux vncs qu'aux autres, il fabrique des raisonnemens à sa mode, lesquels il prétend déduire de cette Méthode, et suppose que Monsieur de Fermât en auroit fait de pareils en pareilles questions; quoy que ces raisonnemens soient contraires, non seulement à la mesme Méthode, mais aussi à la Mé- thode générale de raisonner en tous sujets, ayant des défauts contre les règles ordinaires de la Logique. En quoy Monsieur Descartes ne peut éuiter l'vn des deux, sçauoir, ou qu'il ignore la Méthode, suiuant laquelle il raisonne si mal en des questions ausquelles il est très-facile de bien raisonner suiuant Ja Méthode mesme, ou bien qu'il ne procède pas de bonne foy, si n'ignorant pas l'excellence de la Méthode, il raisonne mal exprés pour auoir occasion de blasmer l'Autheur. Mais nous ne pouuons croire ce dernier, parce qu'il ne pourroit pas éuiter que le blasme ne retombast sur luy-mesmc, sinon qu'il eust afl'aire à des ignorans; et nous estimons qu'il a trop de prudence pour s'exposer à ce danger.

Pour venir au fait. Monsieur Descartes fait deux objections, toutes

deux absurdes. La première est qu'il suppose que la ligne EB, qui touche la parabole au point U, est la plus grande qui puisse estre

32 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

menée, du point E donné dans le diamètre iusqucs, h la parabole. Car nous voulons bien que ce soit le point E qui soit donné dans le dia- mètre, au lieu qu'il auoit dit, dans son premier Escril, que le point donné fust B, on la parabole, ce qu'il a corrigé en son second Escrit. En quoy nous roconnoissons qu'il n'a pas bien considéré notre Ré- ponse, dans laquelle nous auons mis en 2 mots que l'vn et l'autre estoit également absurde d(i prétendre de mener du point B iusques au diamètre la plus grande ligne, ou la plus grande du point E iusques à la parabole, d'autant qu'en l'vne et en l'autre sorte cette plus grande est infinie, et partant impossible. D'où l'excellence de la Méthode paroist d'autant plus, puis qu'en des questions absurdes elle fait découurir des absurditez, qui est tout ce que l'on peut espérer d'vne bonne Méthode en pareil cas. Or qu'il soit absurde que BE soit la plus longue ligne qui puisse estre menée du point B iuscjues au diamètre, Monsieur Descartes le confesse par son Escrit, et il faut (|u'il auoûe de mesme que EB n'est pas la plus longue qui puisse estre menée du point E donné au diamètre iusques à la parabole, puisque luy-mesme y mené EP, plus longue que EB, le point E estant au diamètre, et le point P en la parabole, et ainsi EP est menée du point E donné au diamètre iusques à la parabole, à laquelle elle se termine au point P. Car quant à ce qu'il dit que cette ligne PE n'est pas tirée iusques à la parabole seulement, mais outre la parabole, cela est aussi absurde que de dire que le point P est outre la parabole, lequel toutefois est dans icelle, ainsi qu'vne infinité d'autres, plus et plus éloignez à l'infiny, ausquels on peut mener des lignes droites du point donné E, lesquelles croistront tousiours, sans que l'on puisse déterminer la plus grande. On pourroit par vne mesme absurdité soutenir que, d'vn point donné hors vn cercle dans le plan d'iceluy, la plus grande ligne que l'on puisse mener iusques à la circonférence est la touchante, et ainsi donner vn dementy à Euclide, qui a demonstré que cette plus grande est celle qui est menée du mesme point par le centre iusques à la cir- conférence concaue; de laquelle plus grande on pourroit dire, par la raison de Monsieur Descartes, qu'elle n'est pas seulement menée

SUU LV MÉTHODE DE MAAIMIS ET MI.MM/S.

33

iiisques ii la (irconfereiict' du cercle, mais outre la cireonl'erence, (luoy (ju'elle se lermino en vu point tl'icelle circonférence. De dire aussi (|ue par la plus grande ligne, il entend celle qui ne rencontre la parabole qu'en vn poinl, c'est se contredire, puis(jue ce n'est pas la [)lus grande ligne : et en tout cas c'est abuser du mot de ji/iis grande, assignant pour icelle la touclianle, laf|uellt' Monsieur de Fermât a trouuée par vn raisonnement propre à ce l'aire, comme il paroist par son Escrit. lit ainsi pour l'aire paroisire (jue Monsieur de Fermât auroit tort. Monsieur Descaries l'ahriqiu'roil vn raisonnenuMit a sa mode, voulant faire croire ([ue ce seroit le raisonnement de Monsieur de Fermât; ce (jui ne se peut attribuer qu'au défaut de connoissance de Monsieur Descartes, toucliant la Metliode dont est (|uestion; car nous ne voulons pas soupt.'ouner sa mauuaise foy; partant nous désirerions qu'il considerast la Méthode de plus prés, et il verroit (|ue, pour trouuer la plus gi'aiule. Monsieur de Fermât a employé le raisonne- ment pr<q)re pour la plus grande; et que pour trouuer les touidiantes, il a emplové le laisonncment propre pour les touchantes, n'abusant pas du mol de j)lus grande pour celuv de tou(diaiile, ainsi (|ue l'eroit Monsieur Descartes en cette occasion, si [)ar la plus grande il enten- (loit ('(die (|ui ne icnconlre la jtarabole qu'en vn point.

La seconde objection de Monsieur Descartes est contre la Ab'tbode par huiuelle Monsieur de Fermât trouue les touchantes des lignes courbes, et particulièrement contre rexem[)le qu'il en donne en la parabole, ducpud Monsieur Descart(-s auoit dit par son premier Escrit, <|ue si seulement au lieu île Parabole et Paraholeii, on met par tout Hyperbole et Ilyperbolcn, ou le nom de (luelqu'aulre ligne courbe, t(dle que ce puisse estre, sans y changer au reste vn seul mot, le tout suiui'oil en mesnn- façon qu'il fait touchant la iiaraliole; de quoy tou- tesfois il s'ensuiuroit vue absurdité. 3lais ayant veu nostre Réponse, et connu sa faute, il prétend la corriger par son second Escrit, per- sistant tousiours en son objection. En quoy il reiissit si nuil, qu'au lieu (l'vne faute, il en fait doux signalées. La premièic est que voulant fabriquer vn raisonnement à sa mode appli(|ué à l'ellipse, pour le

l'tRMAT. — 1\. -^

31 ŒUVRI'S IJE FKRMAT. - COMPLÉMENTS,

mettre en parallèle auec ccluy que Monsieur de Fermât fait en la para- bole, afin d'en déduire vne absurdité contre sa Méthode, après auoir supposé que la ligne BE touche l'ellipse au point B donné, et ren- contre le diamèti'e CE) au point E, il dit : Ergo sumendo quodlibel punctum 0 iit recta BE, et ah eo ducendo ordinatam 01, à piincto autem B ordinatam BC, major erit proportio CD ad Dl, quam qua- drati BC ad qiiadratum 01, qida punctum 0 est extra ellipsim. Ce rai-

sonnement n'est pas vray eu l'ellipse de tous les points qui sont en la ligne BE, vniuersellement parlant comme le veut la Méthode. Et c'est ce qui a trompé Monsieur Descartes, qui n'a considéré le point 0 qu'entre les points BE, et non pas aussi au delà du point B, comme il le t'alloit : car en cette figure en laquelle le point 0 est dans la ligne BE au delà du point B, il est faux qu'il y ait plus grande raison de CD à Dl, ([ue (lu quairé BC au quarré 01. Or, pour raisonner suiuant la Méthode, il faut (|u'il soit vrav de tous les points qui sont en la ligne BE, de part el d'aulre du point B, ce qui arriue en la parabole seule, à la(iuelle cette propriété est spécifique. C'est pourquoy M. de Fermât s'en est seruy en la parabole, ce que M. Descartes ny aucun autre ne peut /aire en l'ellipse, ny en aucunes autres lignes courbes, ausquelles cette propriété n'est point spécifique; voire mesme elle ne leur ennuient nullement; et partant elle est inutile pour conclure d'autres proprietez spécifiques des mesmes lignes. Que si au lieu

SUR I. MÉTHODE DE MAAIMIS ET MliSlMlSi. :?5

d'vno ellipse, on aiioit proposé vue hyperbole, ayant pris le point 0 dans la liij;np HE au delà du point B, alors il y anroit eu plus grande raison de DC à Dl, (jue du tjuarré HC au (juarré 01; mais le point 0 estant pris entre les points B, E, le raisonnement auroit pu estre i'aux, et l'auroit esté en elfet lors que le point 0 seroit assez proche de B; partant, il est clair (jue ce raisonnement ne vaut rien, ny en l'ellipse nv en riivperliole ; et c'est faillir C(uilre la Méthode, de vouloir l'em- ployer en icelle, comme fait Monsieur Descartes; en quoy il y a vne chose digne de remarque, sçauoir qu'ayant raisonné par vne propriété spécifique de la paiabole, et laquelle ne conuient pas à l'ellipse ny à l'hyperbole, la force du raisonnement luy a fait conclure vne autre propriété spécifique de la parabole, que (^E est double de CD. Que s'il veut raisonner par vne propriété spécifique de l'ellipse ou de l'hyper- bole, telle (|u'est celle-cy : posant le diamètre DF, le centre A, et le reste de la figure comme auparauant, il y a plus grande raison du rec-

tangle FCD au lectangle FID, que du quarré BC au ([uarré 01 (ce (jui est vray de quelque part que soit pris le point O ii l'égard du point B); alors, par la force de ce raisonnement, il conclura vne autre propriété spécifique de l'ellipse ou de l'hyperbole, sçauoir, que A(^ sera à (^D comme FC est à CE, laquelle propriété est vraye en l'ellipse, ou en l'hyperbole seule, et se trouue directement par la Méthode de M. de F'ermat, ayant substitué, comme il a fait, les ([narrez El et W., au lieu

36 (T.UVHES 1>E Fl'UMAT - COM l'LKMEXTS .

des f|ii;irr('z 01 et 1)(^ ot donné vn nom, comme C, an diamelre DF, demeurans les autres noms comme ils sont dans les Rscrits, tant de Monsieur de Fermai que de Monsieur Descartes.

La seconile IVmle de Monsieur Descartes est encore |»ii'e (|ue la |)remiere, et foil considérable en luv. (|ni a trailté de la Méthode de bien raisonner, |toiircc (]u'(dle est diri'clement contre les preceiiles du bon raisonncmenl et de la vravi' Loi!,i([ne; huinelle «MiseiLçne (|ne, [tour conclure vne proprielé specilique de (]n(d(|ue sujet (|ne ce soit, il l'aul dans les |iro|i(isili"ns. des(|n(dles les ari;iimens sont c(im|)(isez, em- ployer au moins vne autre propriété spécifique dn mesme sujet, c'est à dire (|u'(dl(> soit (irée de sa uature propre, etqu'(dle ne conuienne ([u'à luv; autrement, si on ne raisonne ([ue sur des proprielez genericjues, et (|ui conuiennent à d'autres sujets, on ne conclura iamais des pro- priété?, specifi([ues du sujet dont est (jui'slion; c'est vne vérité qiuï doiuent sçaudir tous ceux (|ui l'ont [)roi'ession de bien raisonner, et la([uelle Monsieur de Fermât n'a pas ii;norée, puisque dans son traité il n'y a rien (|ui ne luv soit conl'orme, et qu'il employé dans s(Ui raisonnement des proprietez specifujucs de son sujet, les{|uelles estant dexti'i'UMMit meslées auec des proprietez i^eneri(|nes et vniuerselles, seruent pour concluie les autres pro[)rietez specificiues desquelles il a besoin.

Au contraire .M. Descartes, voulant à tort contredire M. de Fermai sur le sujet des (anj^entes de l'hyperbole, rabii(|ue vn raisonnement à sa mode, au(|uel il n'employé ((lu' des proprietez si vniuerselles, (|n'elles conuienniMit non senleiuent ii toutes les sections coni(iues, mais encore au\ lignes droites sans se seruir d'aucune propriété spé- cifique. Nous laissons îi iui;er des conse(|uences ([ui se [)euuent tii'cr d'vn raisonnement si inqjarl'ait, contraire non seulement il la Méthode doni est (jnestion, mais aussi aux rej^les vniucrsollcs de raisonner en toutes soi'tes de sujets. Le raisonnement est comme s'ensuit. Ayant su[qiosé la consiruction de la fio;(ure) comme cy-deuant, il dit : Mdjar est i>r()porti(> CA) ad DI, (juam lit", ad 01, quia pu/ictiim 0 es/ extra /iY/>erh()/e/i ; celte pro[»rieté, de la plus grande raison d(î la ligue (iD à

SI II LA MKTIIODI-: />/•; MA VIMIS ET MIXf.MrS.

37

la lifi'iu" 1)1 (HIC lie l;i lii;iic W. \\ lit ligue 01, onde ([u'clic ne scroil pas vraye si le poiiil O csloil pris de l'aiidc part (hi [idint 15, (|iii es! vue failli' pareille à la première, iic. conuieiit pas à l'Iivperhole seule, mais aussi à la parabole e( à l'ellipse, el de [ilus aux lii^iies droiles BEet VA{, (|uand il n'y aiiroil iiy parabole ny ellypse, ny liv[)eib(de; partant par celle |ir()[)rielc si vniuerselle, ainsi employée sans autres plus speci- li(|ues, il est impossible de Irouuer les tangentes de l'hyperbole, qui dejiendeiil de la nature el des pro[(rietez specili([ues il'ieelle. Si ([uel-

([u'yii vouloit dire (|u'au moins la Méthode seroil déreelueuse, en c(! ([ue l'Authour n'auertil point qu'il faut raisonner par des proprietez speciliques, nous hiy repondons ([ue ceux (|ui se meslent île rai- sonner, ne doiueni point ignorer cette condition, qui est de la [lure Logi(|uc, laquelle il sn[)pose ostre connui' par ceux (|ui liront sou Traitté; anireineni il les lenuove aux écoles, [)0ur y apprendre à rai- sonner et les auertit (ju'ils ne se meslent point de reprendre ses Inscrits, qu'ils n'enlendent bien la Logi(|ne el le sujet dont il traitte. Pour changer de discours, nous auons lu assez attentivement le Liur(^ de Monsieur Descaries, (|ui contient quatre traitiez, desquels h; premier se peut attribuer à la Logique, le second est mcsk-de Physique et de Géométrie, le troisième est presque purement Physique, et b^ ([uatriéme est purement Geometri([ue. Dans les trois premiers, il déduit assez clairement ses opinions particulières, sur le sujet de chacun: si elles sont vraves ou non, celiiy-là le sçail ([ui sçait tout. Quant à nous, nous n'anoiis aucunes démonstrations, ny pour ny

38 ŒUVIIES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

contre, ny peiit-cstre l'Autheur mesme, lequel se troiiueroit bien empesché, à ce que nous croyons, s'il luy falloit demonstrer ce qu'il met en auant; car il pourroit trouuer que ce qui passe pour prin- cipe à son sens, pour fonder ses raisonnemens, sembleroit fort dou- teux au sens des autres; aussi semble-t-il s'en soucier fort peu, se contentant d'estre satisfait soy-mesme; en quoy il n'y a rien que d'hu'nain, et qu'vn père ne fasse paroistre tous les iours enuers ses enfans. Ce ne scroil pas peu, si ce qu'il dit pouuoit seruir comme d'hypothèses, desquelles on pust tirer des conclusions ([ui s'accor- dassent aux expériences; car en ce cas l'vtilité n'en seroit pas petite. Dans le (luatrième (railté nous luy marquerons vue omission et vue chose qui nous semble vue faute : l'omission est aux pages 4o4, 40") et /|o6 où il dit que le cercle IP peut coupper la courbe ACN en six points, la(iuelle toutesfois il ne peut coupper qu'en (|ualre. .Mais il a obmis sa compagne, décrite de l'autre part de la ligne BK, par l'inter- section de la parabole et de la règle, qui se fera au point F, laquelle compagne le cercle pourra couper en deux points pour acheuer les six. La faute est en la page 347, ^^^ ^*^ '^'^''' '''^ d'vne é((uation qui a deux racines égales, estant vray aux équations planes, et en celles qui en dépendent, il nous semble faux aux cubiques et en celles qui en dépendent. Qu'il y pense, s'il croit que la chose en vaille la peine, et s'il désire communiquer sur ce sujet ou autres, il aura en nous auec qui traitter amiablement. Nous trouuons tres-bon qu'il nous récuse pour iuges en la cause de Monsieur de Fermât, pource qu'il ignore que nous ne connoissons ny luy ny Monsieur de Fermât que de répu- tation. Que s'il nous doit soupçonner, c'est pour ce (|ue nous pronon- cerons en faueurdu bon droit, de quelque part qu'il soit. Nous voulons bien aussi qu'il fasse imprimer tout ce qui viendra de nous, pourueu ([u'il ne change rien, sinon qu'au lieu du nom de Monsieur de Fermât, il mette l'Aulheur du traitté De maximis et minirnis. Nous sommes ses tres-humbles seruiteurs, R(obervai,). Monsieur Pascal est absent.

SUU LA MÉTHODE DE MA^IMIS ET MINIMIS. 39

3. DESARGUKS A MERSENiNE ('). i AVRIL 1638.

( biMiolti6i|iie de Lyon, Fonds Charavay L), i6, l- i5g'|->')nî- )

.Mon W. Pehe, Estant au point d'allor taire un tour à la campaignc pour quelques jours, je me suis avisé de vous renvoyer les derniers papiers que vous avez reçu de M' des Cartes, au moins ceux que vous m'aviez fait l'hon- neur de me contier. Sur quoy je vous diray tout au long ce qui en est peu venir à ma conoissance jusques à présent. C'est que je n'av peu despuis joindre M"' Roberval pour aprendre par sa propre bouche encore son opinion qu'il m'a desja dit, mais il ne m'en souvient pas asseurement. Pour M'' Pascal, je ne l'ay peu gouverner que fort peu, veu le desordre que vous scavez estre advenu despuis quinze jours, où il est envelopé (-). J'av veu Monsieur Mydorge lequel m'a dit que iM"' Roberval l'en a entretenu et auquel il s'est presque relasché en certaines choses dont je m'estonne bien et je luy en ay dit mes senti- ments ausquelz, si ce que m'a dit M' Mydorge est vray, je me fay fort de faire revenir MM"* Roberval et Pascal, lesquel z j'ay tousjours cogneuz gens qui traictent cette matii?re purement d'honneur et sans aucune passion que pour la vérité de quelle part qu'elle reluise et sans affec- tation de personne. Vous en pouvez asseurer M'' des Cartes sur ma parolle. A ce que j'en ay peu comprendre, il n'y a que du malentendu en la pluspart de cette affaire. En l'autre partie il y a quelque chose à dire que je vous expliqueray tout au long, comme on me l'a donné à entendre, car jusques icyje ne sçay que par ouy dire et n'ay point veu le discours de M' Fermât contenant sa méthode du plus petit et du plus grand, si non ce que j'en ay veu dans la response susdicte de

(') Nous devons à l'obligeance de M. H. Biocard la connaissance de cel iniporlanl document inédit, aulograplie, de lecture difficile, parfois impossible, l'encre ayant pâli.

(^) Etienne l'ascal dut se cacher vers la fin du mois de mars. Cf. Correspondnnce de Descartes, Tome II, pages ii4-ii5 ; mention y est faite do la lettre de Desargues.

40 (EU VUES DE FEiniAT. - COMPLÉMENTS.

iMons'' des Caries [ou il n'y a fine le seul exem])le d'une touchante a une parabole dans lequel il y a un endroit qui dit soit fait égalité selon la méthode supra (') et méthode n'y est pas; c'est pourquoy je n'ay peu tout suivre] (■) : qui est la cause que je n'en scaurois [tas o|)iner plainement, comme apri's (pie je l'auray veiie <'t considérée. Mais en attendant vous sçaurez que preniierenientiMcssieurs Pascal etRoherval m'ont chacun dit cy devant (|iu' M'' des Cartes s'esloit attaché par trop aux <^ termes l'ornuds > et serrez de la l'acou de parlei- de .M'' de Fer- mat en cette occasion et qu'il l'alloit penser (pie si en ces exemples où M'' de Fermât donne le moyen de trouver la touchante d'un point à une parabole, il avoit pris au lieu de la parabole une liyperboleou une elipse pour son exemple. : car comme dans l'exemple ipi'il donne de la parabole il raisonne par des proprietez cogneiies [tarticulieres de la parabole, assavoir par la comparaison de la raison d'entre les deux pièces du diamcttre de la parabole contenues despuis le point de son sommet jusques à chacune de deux ordonnées ii ce mesme diamètre, avec la raison d'entre les deux (piarrez de ces deux ordonnées (^ ) au

(') f'oir ci-dessus, paijc v.8, i" col.

{-) La plirasc ciilro crocliels csl en marso.

(^) Allusion il riiiégalil('î

, Cl)

1. !■/}).

CeUe inégalité résulte do l'équation de la parabole et du fait que tout point de la tan- gente est extérieur à la parabole. On a, eu elVel,

d'où

BC

2/>CI), Ol">2/;IU;

CD

BC

— i Ol

l''erniat garde pour la tangente la définition suivante : ii/ic droiie (jni rcnco/itrc la para- bole en un seul point. La considération de limite n'intervient pas dans sa dômonstralion.

SI H l..\ MKTIIODK Dlî M A A I Ml S UT MIMIMIS. 41

cas tl'iim' hypt'rl)()lt' ou d'une clipsc il n';iiiroi( pas raisonné sur la tncsmc proprictc, mais il auroit raisonne par des propiietez cogneiies particulières de riiyperi)ole (;l de l'olipse comme par exemple par la comparaison <le la raison d'enlre les deux reclanj,'los des deux pièces du diamètre de l'hyperbole ou d'un elipse contenues despuis chacun des deux points (|ui donnent deux ordonnées, jusque à chacune de ses rencontrez avec les bords de la figure avec la raison d'entre les quarrez convenablement pris des mesmes «leux ordonnées (') ou par autres

(') Pour le point M (./%• i6) on a

Ml'

Kig. i6.

li'où

ou enciii'o

Donc

(«^-OIMl<( ()!>)= 7-.MI'J; «-f-OI'= l'A',

'A. l'A -- :r-Ml' h-

Pour le |)()inl N. i{ul csl e\lciieiir i'i l'ellipse, on

OO" QN"

(i'oii

Donc

ht '

UA.UA , ,, (J^

l'A.PA MI'

01' = l'A.

Kkiihat. — l\ .

42 ŒUVIti:S l)l>: Fi:i',M\T. COMPLÉMENTS.

semblables cliosos ainsi cugnciKis particulières ii ces (îgiires. Selon ma manière de proci'dei- universelle j'auiay raisonné selon eelte façon, (an( au sujel de la paiabole (jue des aiilres coupes de coue, comme estanl une chose commune à toutes les coupes |d(inl je scay bien »|ue ils n'ont pas acoustnnié de l'aire mention comme d'une propriété i;('ne- ralemcnl commune <C ■' ^ ("Ules les cdupes, mais ils en l'ont ileux espèces de propriétés, une [)arliculiere à la parabole e( l'autre par- licnhère aux anli'c^ iniipes...] (^ ' ) et m'ont asseuré lesdicls sieurs Pascal et Kdberval, (|iii' vous scavez cstre i;ens d'honneur et sans pas- sion pour- |)ersonne i\\[ monde en cette matière. (|ne ils ont employi' (le celle façon la melliodc des plus petites et plus i,'iandes au faict des louchanti's a IliNperbole et ii reli|)se en raisonnant sur rhaciine sui- vant les propriétés (|ui li'ur < en > sont |)articulieres cl ([uelle leur a ciralenu'Ut bien réussi aussi bien en cela comme en la parabole en rai- sonnant [)ai' des pro|)riet('Z paiticnlieres de la parabole de l'açon ([ue

C.'esl à colle inéyiililc (lue se rDfjporlc renoncé do Des;ir!,'Uos. Voilà comnienl Kciniiil iiiirail i\ppli(]ué sa inéliiode à colle inéi;aiilé pour Iriiiiver la laiii;cnle à l'ellipse. Il anrail icinai(|uo qu'on a

MP _ rr

N(:)"(jr'

I.'incj^alilé devicnl

PA'.l'A ^ VJ' y.V.QA >=^'

Il aiirail posi'^

W ^ ï, |'(j = ,•, |>T = „ el PA = rf.

l.'inéi,'alilo devienl

( ^ — (f)if

(a ({ -h e){tl — (■ ) „î - •/ o,. _t- e* Feniial aurait posé

(a - d),lui- ■me -I- (•') = (a - d -h e){(( — r)n el il aurait égalé les eoellieienls des ternies en c : — i,i<-{a ~(/)(l -^ -{<x - d)eii^-+ tli'n-- ou — '.dytx — d ) = da — ii{a — d),

(piantilé qui doiiiu'

^ idi^- -d) _ . l'A'. l'A PA'.PA 'J- >d l'A - PA ^ OP

( ' ) La phrase entre croclieis est en niar.i;e.

SIK LA MF.TMODR Dr: MAMMIS ET MliSIMlS. 43

ce (|U(' (li( M. lies ('.;iilfs ( ([u'cii siibslituanf liv|iorbok' ou clipse ;mi lieu (lu ini)l de |ianibol(' celle nictliode alors se Irouvc fausse) est loul verilable: car si la inelbode est ifonerale, les inesmes inotz expri- nianls une inestiie [iropiielé doivent eonveiiir el servir a cliacuiH- espéee de coupe. Oi' les iiiesrnes iiiolz de ce raisoiineineiil sii;nitient une chose verilable aussi bien aux liy[)erbole el elipse {|ireM la para- bole, mais le raisonnement ne sera pas idors l'ondé sur une |iro|)riélé particulière à la nature de riiv|ierbole (ui de l'elipse comme le raison- nement de cel c\i'm|dc est fondé sur une propiielé particulière à la nature de la parabfde ; cl j'estinu' (pie c'est là une parlie du malenlendn où l'erreur est au choix de la pi'oprieté [jour raisoner dessus. i*ar ainsi .M. des Caries a raison el .M. de l'erniat n'a |)as tort ('), mais il y a plus. C'est (|ue M. .Mvdori,'»' me dit (pie M. Koberval luy avoil sous- tenu (lue rintention de .M. de l'crmat n'estoit point de donner celte proposition de la parabole pour un exem|)le de sa manière i;eiierale de trouver le |tlus i;rand et le plus [lelit el (pTaussi cette matière là ne tombe pas sous cette loy générale du plus i,'rand el du plus petit et que en cette matière .M. des Cartes s'abusoit de conicr pour une plus grande celte touchante ainsi menée d'un point de la parabole comme la ligne (VMS) (- ) et que cette plus grande est impossible en cela. A quoy -M- Mydorge me dit (ju'il avoil résisté quel(|ue temps, mais je troiivay qu'il s'estoit laissé persuader en (|uelque fac^on aux discours

(') Desargues ajoute en marge :

1mi relisaiil le loulj'ay voulu metlre liardinioiil cccy, a ipioyje puis faire voir à MM. Pascal el Roberval qui y ont acquiesce, c'est que sans attendre plus de lonips iiiuii sens est que encore que .M. de Fermât ail quelque raison, si tant est que sa mellioile soit lionne pour cliaqiie coupe de coue en y raisonnant d'une propriété ipii soit particulière à la nature de l'exemple qu'on donne, si est ce que je suis du sentiment de .M. des Cartes qu'elle n'est pas générale et a-seurce, jusques à ce qu'elle soit ajustée de façon que le raisoimcment estant pris d'une propriété communément naturelle ou essentielle a la nature de chacune des espèces de coupe le sens des mcsmes paroles employées en ce raisonnement pour une seide espèce de coupe convienne et serve ,!,'eriéralemenl à chacune des autres espèces de coupe. < Aulrcment (luant à nioy ., je ne la nuniiiiera\ pas une melhude géné- rale nv ne la recevrav pas pour vrave insipies alors.

Il)

f') Fermai n'a pas considéré le niaxiinum de KB, mais le masiMUim de — ,, quand le

llV point I tend vers le [loint ('..

U ŒUVRKS DR FERMAT. - COMPLEMENTS.

(Je M. Roberval qui n'insistera sans douto point avec moy sur cette pensée et je m'asseure de sa bonne foy <jue je liiy feray demeurer d'accord que M. Des Cartes a raison de comprendre dans la loy géné- rale du plus grand et du plus petit ces touchantes menées d'un point à une coupe de cône et je dy à M. Mvdorge une chose vrayc qui est que je m'esmerveille (|u'en\ (]ui sont si habilles hommes en toutes les parties des matheinati(|ues, transcendants en la géométrie, ayent encore la thoile devant les veux (jui leur l'ace constituer un genre par- ticulier de lignes des seules louchantes [aux coupes de c<ine| (litlVrenl en toutes choses d'avec celles (|ui Iravei'sent la mesnie coupe de cône <|uaiul ces lignes (que j'enlen droites ) viennent d'un mesme point.

Kt mov que vous scavez (|ni n'av <le «'onoissance de ces matières que par mes propres et particulières contemplations, je m'enhardv lors de dire à M. Mydorge, contre son attente et ses opinions, que par mes cont(>mplalions capricieuses du cône rencontré par divers plans en foules façons, et des lignes et des figures (jui s'engendrent en celle rencontre {'), j'ay trouvé que par une seule et mesme enoncialion, construction et preparalion ou pour dire mieux par un seul et mesme discours et sous de niesmes paroles, on déclare un moven de conslruii<' ou bien on déclare les movens de f'aii'c une construction <[ d'un autre ordre >^ par laquelle on voit également une pareille génération en toutes espèces de plate coupe de cône, de fontes espèces de lignes droites (jui ont et reçoivent des ordonnées, comme diamètres et aulr<'s, et l'on voit semblablemeni une pareille génération en cha(|ue espèce de plate coupe de con(>, de lonles les espèces d'ordonnées (|u'd v a pour chaque espèce de lignes (|ui reçoivent des dictes ordonnées. Kl l'on voit une ()arcille generalion ii miasme lemps de toutes leurs lou-

( ') D('saru;uos ajoute en iiiar!:;i> sans imliciilion de ipiiviii :

Il Kn chaque espèce de coupe de conc par un plan, il y a dcn\ espèces de li,i;ncs droites de la naluie ipi'on nomme iirr/oniircs et den\ espèces de lijjnes droites qui cliacnne reçoivent une de ces espèces d'ordonnées. ICt ces denx espèces là de liiincs s'énoin'cnt en inesmes paroles en un scni <lisconrs. Je no ven\ pa> dire que tontes les mcsnies propriétés il'niiedes espèces soient (-(mmiunes .'i l'anlrc mais elles en ont d'essentielles à la nainre de Ii'ur recipruqni' iienitraliiin qoi simt cninniuiics anx deux espèces. »

SUR LA MÉTHODE Dt! MAA'IiMlS ET MINIMIS. 43

chantes, chacune de ces louchantes estant membre d'un des corps de CCS diverses espèces d'ordonnées. Kt sembhiblement par un autre seul et mesme discours et construclion on voit une pareille génération en chaque espèce de coupe de cône des points qu'on nomme foyers, et en suilte leur scitualioii cl qu('l(|ucs propriété/, communes entre eux en chaque espèce de coupe de cône, le tout sans faire bande ii part pour la parabole et sans en exclure le cercle (non plus pour les l'overs que pour les diverses espèces de droites (|ui reçoivent des ordonnées ) nv pour les diverses espèces d'ordonnées. VA aussi sans employer pour cela aucun des tiiani;lcs [lar l'essieu ny faire dislimtion d'un princi|)al diamelr(^ d'avec les autres entre lesquels on dislingue nellement les essieux en chaque ligure { ' ). Je scav bien (ju'ils n'oni l'aict mention (|uc d'une seule espèce de lignes qui reçoivent des ordonnées assavoir des diamètres seulement en chaque ligure, et d'uiu' seule espèce aussi d'ordonnées en cluuiue ligure, de quoyj»' m'csionnc car je trouve que dans un mesme genre il v a deux espèces de cba(|une de ces sortes de

liiiues.

.le luy dis encore cecy qui fait au faict de question assavoir que je trouve que toute ligne droite estant menée ;i l'infini au plan d'une coupe de cône si elle rencontre comme que soit cette coupe de cône, elle a deux concours avec ses bords autant la touchante simplement que la diamétrale infinie de la parabole, cl (|u'eii cette (M)nstruclion il y a trois espèces de plus grand et de plus pctil assavoir le |)lus grand et le plus pelit i\v (^bacune d(^ <-cs deux espèces de concours despuis ce point de la droite avi'c les bords de la coupe de cône. Voilà deux espèces (le plus ^l'and et de plus petit dont .Monsieur des (!arles nomme l'une espère la plus grande et la |>lus petite des droites uuMiées du point ( !{) jiis(|ues il la ligure, en (|U()\ il a raison, et l'ault que cbacun des entendu/ en celle UKiliere rarcdrde. L'aiilrc espèce est la plus gi'anilc cl la ()Ims

(' ) DuSiiri^ucs parait fiiirc allusion iiii lliéorèine suivant :

Si l'on joinl un /loiiil i/r la coniciiir nii.r e.ilrrniilcs de l'a.rc, un o/itirnl t/cii.c direc- tions pniiiljrlcs iiii.r diainrtic\ ri>n/ui;nrx.

ICl le llicori''iu(' e>l vimI |iour iriiiipoilo ijut'l di.uui'tre.

46 (KIIVHI'S DK F Fini AT. ~ COM PLFM FNTS .

|K'(i((' (les lignes ([lie .Mous' des (iarlcs iioniiiic les incnros (uilrc l:i ligiin; ( ') c'cst-ii-dirc (|iii l;i (ravcrsciil aïKinci cas ce tic ligne (jiioyfj'in- (iiiic a un antre concours cnc(n'c avec \v hoi'd de la in(>snie figure cl ces deux concour's d'une droite avec le> lioi'dz d'iiiu' con|ic de conc V sont toujours en (|U(d le part (|in' soi! le poinl dinpnd on entend (|u"elle soit menée, dedans, dehors et au hoid de la conpe. I>a Iroisiesnie es[)èce de plus grand et de plus petit <|iie je trouve ;i (dn'i(dier en pareille construction es! la droite unniee pai- un tel point de la(juelle la pièce contenue dans la ligure et entr'c ses deux concouis avec ses lioids est la (dus grande et la plus [)clite. Onand on v aura liieii pensé, l'on trou- \era (jue il en va ainsi (|uo\ (|ne vueille dire M'" .Mydorge, etc. et (|ue la méthode générale |)our troiucr le plus giand et le pins |ietil doit contenir les moyens de trouver chacune de ces trois espèces et sous un mesnu' discours ou ii peu pre/. Que si la méthode de .M' de Fermât les contient j'estiim^ (ju'elle soit recevahlc siinni idle n'est pas générale niais particulière, et ainsi Monsieur des Cartes aura liien raison en disant qu'elle ne l'est pas. Je n'en seais point encore la teneur |)oiir Tessayei' il ma modo, mais Monsieur Mydorge m'a dict (jue seule (die ne l'a pou conduire à une équation pour un seiiihlai)le exemple d'une touchante à la parabole. .le n'en concluiray rien que je ne l'aye entendue, et aupa- ravant il la fault avoir, ot possible il iaut peu i\o chose pour la rendre univorsello, ot ainsi elle n'est pas ii niespriser.

Touchant les autres objections de M' do Format contre M' des Cartes vous scavoz quo je vous dy au commencement sur le peu que j'en vois entre vos mains quo je no trouvoy pas que M' de Format entreprit cotl<î objection de bonne sorte, à mon sentiment qui s'accommode mieux aux Méditations de M'' des Cartes (pie d'aucun autre, veu niesmes laconCor- mité que je trouve de plusieurs observations qne j'ay l'aictos avec cv. (ju'il oscrif dont j'enten ce me sem!)le ii |)eu [)re/, tout ce que j'ay veu de luy hors sa Céométrie, et j'en suis jus(|ues icy passablement satis- l'aict, et surtout de sa i'ncow de conduire ses rais(uinements. Quand j'auray davantage médité sur clia(|iie chose s'il me demeure (|nelque.

( ' ) Ces lignes sont données par deux des normales (|ue l'on peiil mener du point li.

SUK L\ MÉTMODi: D !■: MAAIMIS ET MINIMIS. kl

cspoce (l(ï scriipulf. je le vous tloclareray, mais vous scavoz mon humour et mon opinion (jui est, do croiro quo toute objoction qui pout ostro sauviM" oL rcsoliic me paroisi un iiidico ou de rigiiorancc ou do la chi- ([uauo i'w ce point de colny (|ui l'a l"aiclo('), ot je no mo plais point (■onunc vous soavo/. d'en faire que l'on puisse résoudre, et |)artant j'v veu/, liieii |ienseravant (|ne seulement dire (|u'on peut v en l'aire. Quand a sa (ieonieirie j'en eiilen ([uel(|ne cjiose, mais si j'osoy l'en im|tortuner on vous, je seroy hieu ai>e d'eu avoir nu peu de plus l'aniiiière expli- calidu pour mou opril i;ros>ier, et puisque l'auteur est vivant, estre delisre ilii travail neee>saire ii son dellanlt pour ni'ajuster assenremeul a sa pensée nolamment dès l'entrée de la matière, et (|nov quo (lient eos .Mess''"" de heaiii^raud et autres, j'ay sujet de soupçonner (|n'ils ne l'en- lendeul pas ii l'onds, je veux dire (ju'ijs ne |)Ossèdeut pas Ition piainemenl toutes les intentions de Monsieur des ('arles au sujet de sa (ieometrie ; je dresseroy Iden au hesoin un Uiemoyic des diriicultes (|ue j'v ren- <-onlre et (Ui je m'arreste crainte d'enfourner mal d'abord dans l'intel- lii;ein'e de ses comnH'ncemenls où je remar<pie et vov iiduire (|U(d(|iie ( bosebors de la pensée ordinaire en lai;conietrieet (|ui a de laconbu'mité avec dos pensées (|ue je n'ay fait (|u'ollourer île mov niosme. Le papier me va maucpn-r, mais non pas la volonté d'ostre toujours

Mon U. P. Vostro très all'octionne serviteur,

G. Dksakcl'ks.

Au It. /'. Mercenne, Religieii-v Minime à la place Royale, à l'aris.

A Paris, ce 4 apvril i(i!8 (').

(' ) lin marge, Desargiios ajoute : « Car s'il no voil pas la solnlion. il ne possède pas ta riiose piainemenl cl s'il en voil la solnlion, il chicane. "

(-» Celle picce csl le seul autographe île Desargues, qui soil aulhenliiiué par une signature. Paul Tannery a signalé ( Bulletin des Sciences iiial/icniati(jiief, i" Parlic, i>i'.)o, p. /i8->jij) en lèle d'un Ouvrage de Dcsargucs sur la perspeclive, à hi Itibliolhèquc na- tionale de l'aris [Imprimés, Inv. V, i,i ïj i et non i5>7)], un lioniinage a Uceckmann, (|u'il suppo.se être un autografilie do Oesargues. Celle conjecture est exacte. On connaît dmic mainlenani, grâce à M. Hrocard, deux autographes de Desargues.

&8

ŒUVKKS l)K FKHMAT.

COMPLEMENTS.

Monsieur,

DRSCARTES A HARDY

ji-i.N 1C:J8

Au reste, ie vous suis très obligé de ce que vous avez soutenu mon party touchant la règle De maximis de Monsieur de Fermât, et ie ne m'estonne point de ce que vous n'en iugez pas plus advantageusement que ie n'ay (ait; car, de la façon qu'elle est proposée, tout ce que vous en dites est véritable.

Mais, pour ce que i'ay mis. dés mon premier filscrit, qu'on la pouvoit rendre bonne en la corrigeant, et que i'ay toujours depuis soutenu la mesme chose, ie m'assure que vous ne serez pas marry que ie vous en die icy le fondement; aussi bien ie me persuade que ces Messieurs, qui l'estiment tant, ne l'entendent pas, ny peut-estre mesme celuy qui en est l'Aulheur.

Soit donc la ligne courbe donnée ABD, ot que le point B de cette ligne soit aussi donné, à sçavoir, ie fais l'ordonnée BC = h, et le

Kig. .7 ('

(linnielrc k(\ = c, et qu'on demande un point en ce diamètre, comme li, (]ni soit tel (juc la liijne droite, (jui en sera menée vers B. rouppe cette

( ' I Tome II. I'. 170-17!!.

1'-) C.ello fi.uiire ;iu convioiil piis rli^onrcuscmcnl, Dn.scarles considciaiU la paraboti culiiqiie 1^ = nx. (Il-)

SUK LA MI-yniODK Dl£ M A A I M I S ET M I \ I M I S . W

courbe en H, et encore en un autre point, comme D, en sorte que l'or- donnée DF soif à l'ordonnée HC (') en raison donnée, par exemple, comme g à h. Vous sçavez bien ([ue, pour trouver ce point M, on peut |)oser KG = a, et CF = e, et dire premièrement, à cause des triangles semblables ECB et EFD, comme (]!"] = « estàBC = />, ainsiEF = a-i- e,

est à DF, (jui par consé(|uent est DF = Puis, à cause que DF

est l'une des ordonnées en la ligne courbe, on la trouve aussi en tl'autres termes, qui seront divers, selon les diverses proprietez de cette courbe. Par exemple, si c'est la première des lignes que Monsieur de Fermât a imaginées ii l'imitation delà parabole, c'est-ii-dire celle en la(iuelle les segmensdu diamètre ont entr'eux mesnie proportion (|ue les cubes des ordonnées, on dira, comme AC = c est à FA=c-)-^, ainsi le cube deBC.quiest/'^estaucubedeDF, qui, par les termes trouvez cy-dessus,

, h^ à^ -\- ?i h^aae -\- Zh^aee + b^e^ ,, ,111 ha -\- be „ .

est ; Lar cecy est le cube de Puis,

multipliant les moyennes et les extrêmes de ces quatre proportion- nelles,

c\c + e\ b' I

et

li^ a^ -^ 'ôb^aaa -+- 3 b-'/iec -+- b^e'

on a

cb' rt' H- 3 ^' cane -+- 3 i' acee ■+- cb' e' cb^ -+- cb^ =

Va divisant le tout par />', et le multipliant par rt\ il vient a^c ->r a^e ^ ra^ -(- '')caae, + 3c«ee-(- ce'\ etostantdepart et d'autre ca\ il reste «'e= '\caae ^^'Scaee -\- ce'\ Et enfin, pour ce que le tout se peut diviser par e, il vient a^ = \caa -\- '\cae + cee. Mais pour ce (ju'il y a icy deux quantitez inconnues, ii sçavoir a et e, et qu'on n'en peut trouver qu'une par une seule équation, il en faut chercher encore une autre, et il est aisé par la proportion des lignes B(! et DF, qui est

I . • • > / • • !./-■ ; ■ r>n ha -\- be

donnée ; a scavoir : comme irest a //, ainsi IjL = b est a Ur = ,

( ') Lire : " l'ordonnée BC soit ù l'ordonnée DF ». (H.)

Fermât. — IV. 7

hO

ŒUVllES DE FEKMAT. — COMr'LEMENÏS.

(ît par conséquent hh = — — — -> ou hien /ta = aa -+- ge; et par le

moyen de cette équation on trouve aisément l'une des deux quantitez aone, au lieu de laquelle il faut par après substituer en l'autre équation les termes (|ui luy sont égaux, afin de chercher en suitte l'autre quan- tité inconnue. Et c'est icy le chemin ordinaire de l'analyse pour trouver le point E, ou bien la ligne (]E, lors que la raison qui est entre les lignes HC et l)F est donnée. Maintenant pour appliquer tout cecy h l'invention de la tangente (ou, ce qui est le mesme, de la plus grande), il faut seulement considérer que, lors que EB est la tangente, la ligne l)F n'est qu'une avec BC, et toutefois qu'elle doit estre cherchée par le mesme calcul que ie viens de mettre, en supposant seulement la pro|)i)rlion d'égalité, au lieu de celle que i'ay nommée de g à h ; à cause que DF est rendue égale à 15C par EB, en tant ([u'elle (!St la tangente (au moins lors ([u'elle l'est), en mesme façon qu'elle est rendue double,

Fij;. i8.

OU triple, etc., de Bd, par la mesme EB, en tant qu'elle couppc la courbe en tel ou t(d |)oint, lors qu'elle l'y couppe. Si bien qu'eu la seconde équation, au lieu de ha^ ga-\- ge, pour ce que h est égale à ^'^, on a seulement rt = a + e, c'est-à-dire, e égal à rien. D'où il est évident que, pour trouver la valeur de la quantité a, il ne faut que substituer un zéro en la place de tous les termes multipliez par e, qui sont en la première équation, laquelle est a' = 3caa -+- 3rae -+- cec, c'est-à-dire qu'il ne faut que les ell'acer. (^ar une quantité réelle estant multipliée par une autre quantité imaginaire, qui est nulle, produit tousiours rien. Et cecy est l'élision des Homogènes de Monsieur de

SUU LA METHODE DE MAMMIS ET MIMIMIS. 51

Permat, laquelle ne se fait nullement gratis en ce sens-là. Or, cette elision estant faite, il ne reste icy en nostre éiiualion (juc a^ = '\caa, ou bien a = 3c; d'où l'on a[)|iren(l (|ue, lors que EB est la tangente de la ligne courbe proposée, la lig(ne) liC est nécessairement triple de la

licrne Ali.

o

Voila donc le fondement de la règle, en laquelle il y a virtuellement deux é(|ualions, bien ([u'il ne soit besoin d'y faire mention expresse que- d'une, à cause (jue l'autre sert seulement à faire effacer ces Homo- gènes. .Mais il est fort vray-semblable ((ue Monsieur de Fermât ne l'a point ainsi entendui', et qu'il ne l'a trouvée qu'à tâtons, vcu qu'il y a obniis la principale condition, à sçavoir celle qui présuppose ce fonde- ment, ainsi que vous pourrez voir, s'il vous plaist, par ce que i'ay mandé cy-devant devoir y estre corrigé, dans une lettre adressée au \\. Père Mersenne. le suis

.-). DliSCARÏES A .Ml-RSENNK ('). [3 JUIN 10.38?]

Mon Hkvkhemi Peke,

i'ay receu l'escrit de .M' de Hoberval avec vos dernières, et ie n'y fais point de responsc a cause (juc ic voy qu'il se picque; mais lorsque sa cliolere sera passée, vous pourrez, s'il vous plaist, lui faire connoistre le peu de raison ipi'il a en de s'escliauller a vouloir prouver ([ue sa ligne \l\\ n'est [»as absolument parlant la plus grande, au lieu (jue, ne pouvant nier (ju'elle ne fust au moins la plus grande sous certaines conditions, il eust deu monstrer comment on la peut trouver par la règle de M' Fermât, vu (|n'il avoit assuré (|ue cete règle enseigne à trouver les plus grandes sous toute sorte de conditions, et que la

(•; Tome II, p. i j |.

0-2 ŒUVUIlS de FEHMAT. - COMPLEMENTS.

question estoit de seavoir si elle esloit bonne; de quoy il n'a donné aucune autre preuve en ces deux escrils, sinon qu'il dit que c'est un tesmoignage de sa bonté, qu'elle ne réussit pas en cet exemple. S'il croit que cela soit bien raisonner, ie serois marri ([u'il ne dist pas que ie raisonne très mal. Mais ie voy bien que c'est la passion qui l'a trans- porté, et qui luy a fait nommer toutes clioses par d'autres noms qu'il ne devoit. Ainsy a cause que, pour esclaircir et confirmer ce que i'avois mis dans mon i''' escrif, i'ay adiousté dans le second qu'encore que ce ne fust pas le point B qui fust donné, mais le point li, la règle <le M'' Fermât ne reussiroit pas mieux pour cela en cet exemple, il dit que ie me suis corrigé et que i'ay reconnu la faute que i'avois faite. Ainsy il m'accuse d'avoir très mal raisonné en l'exemple de l'ellipse et de l'hyperbole, que ie n'ay proposé que comnK; très mauvais, pour le mettre en parallèle de celuy de M'' Fermât touchant la Parabole, et monstr.er(|u'il n'y raisonne pas bien. En quoy il fait toutdemesme que s'il accusoit un prédicateur d'avoir iuré, à cause que, pour monstrer l'énormité du peclié des blasphémateurs, il aiiroit dit en chaire qu'ilz ne iurent pas seulement le nom de Dieu, mais aussy par la mort, par la chair, par la teste, etc. Ainsy enfin, ayant changé de discours pour censurer les essais que i'ay fait imprimer, il ne s'apper^oit pas qu'en pensant les mespriser, il donne plus desuiet d'en avoir bonne opinion, que ne font les louanges de ceux qui les approuvent : car on peut penser que les choses ([ui plaisent il ceux-cy les etnpeschent de voir, ou bien leur font ilissimuler les déliants qu'ils pourroient sans cela v remarquer; au lieu que luy, qu'on voit assez a son stile n'avoir pas eu dessein de m'espargncr, y reprend seulement deux choses, qui, n'estant pas du tout suietes a repreheiision, font iuger qu'il n'y a reconnu au- cune faute, bien que ie ne veuille pas dire pour cela qu'il n'y en ait point; et, de plus, que ce que i'ay escrit en Géométrie est un peu au delà de sa connoissance

sur. I, V METHODE DK M A AI. MIS ET MJA'J.UIS. 5$

6. DESCARTES A MEHSENNE ('). [29 JUIN IC381.

J'ai vil ce qu'il vous a pieu me coimnuni(juer ties lettres que M'' de Kermat vous a cscriles (-); et preuiierement pour ce qu'il dit avoir trouvé des paroles plus aigres en mon premu-r papier qu'il n'en avoit attendu, ie le supplie Ires-humblement de m'excuser, et de penser (jue ii; ne le connoissois point, mais ((ue son De inaximis me venant en forme de cartel de celuv q ui avoit desia tasché de réfuter ma Dioptrique avant mesme qu'elle fiisl publiée, comme pour l'éfouller avant sa nais- sance, en ayant eu un exemplaire que ie n'avois pas envoyé en France pour ce sujet, il me semble que ie ne pouvois luy respondre avec des paroles i)lus douces que i'ay fait, sans tesmoigner quelque lascheté ou {|uelque foiblesse. Et comme ceux qui se déguisent au carnaval ne s'ollencent point (|u'on se rie du masque qu'ils portent et qu'on ne les salue pas lorsqu'ils passent par la rue, ainsy qu'on feroit s'ils estoient en leurs babits accoustumez, il ne doit pas, ce me semble, trouver mauvais que i'ave respondu à son escrit tout autrement que ie n'aurois fait à sa personne, laquelle i'estime et lionore comme son mérite m'y oblige. Il est vray que ie m'estonne extrêmement, non pas de ce qu'il approuve les raisons de M'" de Pascal et de Hoberval, car la civilité ne luy permet pas de faire autrement, et en ellect ie ne sçacbe point qu'on en pust donner de meilleures pour le suiet, mais de ce que, n'y en adioustant aucunes autres, il veut supposer que celles la m'ont plei- nement persuadé, et se servir de cette raison pour s'abstenir d'envoyer la tangente de la ligne courbe que ie lui avois proposée. Car i'ay assez, tesmoigné par toutes mes lettres qu'ils n'avoient respondu directement a aucune de mes obiections, et que de s'amuser a disputer si la

(') Tome 11, p. 174- (') Lettre perdue.

5i <i:UVIlES 1)1-: FERMAT. - CO.M l'LÉMENTS.

ligne EB doit estre nommée absolument la plus grande, ou bien seule- ment sous condition, ce n'est pas prouver que la règle qui enseigne a trouver cete plus grande soit bonne ; et enfin que ce n'est pas un tes- moignage de la bonté de cete règle, ([ue d(! dire ([u'elle ne réussit pas en cet exemple, qui est l'unique raison qu'ils en ont donnée. Et pour tous les autres exemples que vous m'avez mandé à diverses fois vous avoir esté envoyez par .M'' de Fermât, encore qu'ils fussent vrais, ce (jue ie suppose, puisque ic ne les ay point vcus, ils ne peuvent prouver que la méthode soit généralement bonne, mais seulement qu'elle réussit en certains cas, ce que ie n'ay iamais eu intention de nier, au moins pour sa règle ar/ inveniendnrn maximam ; car pour la façon dont il cherchait la langeiitc de la Parabole, sans considérer aucune pro- priété (|ui lui fust spécifique, i'ay conclu, comme ie devois, (|ue semper fallil isla methodus. Et la glose qu'il y adiouste en cete dernière lettre, se rapportant a ce que i'ay dit par mes précédentes devoir y estre corrigé, monstre assez qu'il avoue tacitement que i'ay eu raison aussy bien en cela qu'au reste, a quoi il ne repond rien du tout. De façon que la civililé m'obligeroit a n'en parler plus, et a ne le point presser davantage sur ce suiet, n'cstoit que, nonobstant cela, il assure an mesme lieu que sa Méthode est incomparablement plus simple, plus courte et plus aisée que celle dont i'ai usé pour trouver les tangentes ; a quoy ie suis obligé de respondre que i'ay donné, en mon premier escrit et aux suivans, des raisons <|ui monsfrentle contraire, et que, nv luy ny ses défenseurs n'y ayant rien du tout respondu, ils les ont assez confirmées parleur silence; dcfaçon que, si la vérité ne l'ollense point, ie croy pouvoir dire, sans blasphème, qu'il fait tout de niesmc que si, ayant esté ielté a terre par (juelqu'un, et n'ayant pas mesme encore peu se relever, il se vantoit d'estre plus fort et plus vaillant (jue celuy qui le tiendroit renversé.

Au reste, encore (|u'on reçoive sa règle pour bonne estant corrigée, ce n'est pas a dire (|u'elle soit si simple nv si avsée (|ue celle dont i'ay usé, si ce n'est (|u'()m preneles mots de simple et aisée |)0ur le mesme que jieu industrieuse, en quoy il est certain qu'elle l'emporte, à cause

SUÎ5 LA MKTIIODK DE M A \ l M I S ET MINIMIS. 55

(lu't'Ile ne suit que la façon de prouver qui retluist ad ahsunlum, comme i'ay averti des mon premier escrit, mais si on les prcnt en un sens contraire, il en faut pour inesme raison iuger le contraire, lit pour ce (jui est d'cstrc plus courte, l'expérience s'en pourra faire en l'exemple de la tangente ([ue ie luy avois proposée, si tant est qu'il vous l'envoyé, ainsy qu'il oflre défaire ; car moy vous l'envoyant aussv au mesme tems, vous pourres voir le(|uel de nos deux procédez sera le plus court. VA aflin (|u'il n'use plus d'aucune excuse pour ne la point envoyer, vous l'assureiez, s'il vous plaisi, (|ue ie maintiens tousiuurs, comme devant, que ny cete tangente ny une infinité d'autres sembla- bles ne peuvent être trouvées par sa méthode, et qu'il ne doit pas se persuader ([ue i(! change d'avis lorsque ie l'auray mieux comprise ; car ie ne croy pas la pouvoir iamais entendre mieux ([ue ie fais. Et ie puis dire avec vérité ([ue ie I'ay sceue vingt ans devant que d'avoir veu son escrit, bien que ie ne m'en sois iamais estimé beaucoup plus sçavant, ny n'aye creu qu'elle meritast tant de louanges ([u'illuyen donne. Mais ie ne crains pas ((ueceux cjui voudront iuger de la vérité par les preuves, ayenf aucune peine a connoistre lequel des deux l'entend le mieux, ou celuy qui l'a imparfaitement proposée et qui l'adtnire, ou bienceluy (jui a remarqué les choses qui dévoient y estre adioustées pour la rendre bonne, et qui n'en fait qu'autant d'estat qu'elle mérite.

le u'adiouste rien davantage, a cause ([ue ie ne désire point aussv continuer cete dispute ; et si i'ay mis icy ou ailleurs (luehjue chose qui ne soit pas agréable a M'' de Fermai, ie le supplie très humblement de m'en excuser, et de consiilerer que c'est la nécessité de me dclfendre (|ui m'y a contraint, et non aucun dessein de luy de[)laire. le le supplie aussy de m'excuser de ce que ie ne respons pointa ses aulres questions, car comme ie vous ay mandé par mes précédentes, c'est un exercice au- (|uel ie renonce entièrement. Outre que, voyant ([u'il vous mande que ie n'ay pas pleinement satisfait a son theoresme de nombres, bien qu'il n'y ait rien a dire, sinon que i'ay négligé de poursuivre a rex[)liquer touchant les fractions après l'avoir expliqué touchant les entiers, a cause (ju'il m'a semblé trop facile pour prendre la peine de l'escrire,

5G ŒUVHES DE F EH MAT. - COMPLÉMENTS.'

ie crains que ie ne pourrois inmais luy satisfaire plenoment en aucune chose. Mais pour ce qu'il dit que cela mesme que i'ay omis comme (rop aysé, est très difficile, l'en ay voulu faire l'espreuveen la personne du ieune Gillot, lequel, m'estant venu voir icy depuis deux iours, s'y est rencontré fort a propos pour ce suiet. le luy ay donc fait voir la res- ponse que i'avois faite a ce theoresme de .M"' Fermât, cl luy ay demandé si, de ce que i'avois demonstré touchant les nomhres entiers, il eu pourroit déduire le mesme touchant les rompus; ce qu'il a fait fort aysénienl, et l'a escrit dans un papier que ie vous envoyé, affin que vous connoissiez par son stile que c'(!st une personne qui n'a iamais esté uorri aux lettres, qui a résolu cctc grande difficulté, et ie vous iure que ie ne luy ay aydé en aucune fa^on.

le luy ay fait aussy chercher la question que M'' de Fermât propose a .Ar de S* Croix et a moy, qui est de trouver trois rectangles des- quels les aires, estant prises deux à deux, composent trois nomhres qui soient les costez d'un triangle rectangle (') et il en a trouvé la solution en façons infinies. Car, pour exemple, il donne le triangle dont les costez sont ''}, f^, ^, et l'aire est 7 ; [xns celuy dont les costez sont l, ^, '^, et l'aire est i4, avec celuy dont les costez sont 12, j, '^^, et l'aire est 21. Car ces trois aires, 7, l'i, 21, prises deux ii deux, font 21, 28 et 35, qui sont les costez d'un triangle rectangle semhlahle ;i celuy dont les costez sont 3, [\, 5, qui est le plus sim[)le qu'on puisse faire. 11 a donné aussy les aires i5, 3o, /i"), lesquelles, prises deux à deux, composent un triangle semhlahle au précèdent. Item les aires l'i, 21, 70, (jui composent un autre triangle semhlahle a celuy dont les costez sont 5, 12, i3. Les aires 22, 33, 110, l'ont aussy le sem- blable, et les aires 3o, 45, i5o. Item, les aires M), G5, i5(), en compo- sent un semhlahle a celuy dont les costez sont 8, i5, 17. Et les aires 12G, 210, 5o'|, et les aires 33(), 55o, i320 font aussv le mesme. Et enfin les aires 33(), 44<>. 23 10, en composent un semhlahle a celuy dont les costez sont 7, 24 et 25. le croy que ces neuf exemples snffi-

( ' ) Ce problème ne se retrouve pas dans les Œuvres de Fermai.

SUR LA MÉTHODE /)/i M i,V/UIS ET MINIMIS. H?

sent pour nioiistror qu'il on peut aisément trouver une infinilé; c'est pourquoi il n'a point désiré que ie vous envoyasse sa règle.

.le hiy ay dit aussy qu'il chercliast les centres de gravité de qu(d(iue figure, a cause que M'' de Format a désiré qu'on m'en prcposast quel- ques uns ; et ayant choisi celuy du conoide qui a pour baze un cercle et est descrit par une parabole (jui tourne autour de son aissieu, a cause (|ue vous m'avez mandé en ([uelqu'une de vos précédentes que le mesnie vous a esté envoyé par M'' de Fermai, il a trouvé que le centre de gravité de ce cors divise son aissieu en trois parties égales, en sorte que la distance depuis ce centre iuscjues au sommet de ce conoide est double de celle qui est depuis ce mesme centre iusques à la base. N'esloit que Gillot doit partir d'icy demain matin, ie lui en ferois encore chercher d'autres, car il les peut trouver tous, autant qu'ils sont trouvables, avec assez de facilité. Maispource (ju'il ira peut estre a Paris dans quelque tems, i'ayme mieux qu'il attende iusfjues a ce qu'il y soit, tant alTin de n'estre point icy obligé de luy ayder, ([u'atïin qu'on puisse voir qu'il n'a point en cela besoin de mon ayde.

Je luy ay aussy proposé la quatriesme question de M'' de S'"'-Croix, (jui est de trouver deux nombres, chasr.un desquels, comme aussy la somme de leur aggregat, ne conste que de trois telragones, a cause que vous me mandez que c'est celle (jui a semblé a M'' de Fermât la plus difficile. Mais il n'a sceu, non plus que inoy, y trouver si grande diffi- culté, ny iuger qu'elle se doive entendre en autre sens que celuy au- quel ie l'ay résolue, et aucjuel il pourroit aussy la résoudre en d'autres façons, si ce n'est peut estre qu'on entende que chascun des nombres demandez soit tellement composé de trois tctragones, qu'il ne puisse estre divisé sans fraction en trois autres tetragones. Mais encore en ce sens-la il la peut aisément résoudre, et en une infinité de façons, comme il a monstre par les neuf exemples suivans. chascun desquels y satis- fait : :^, 19.22; et 3,V3,4(i; etG,2'|,io; elO,li'i,^S; et ii,ir),Jo; et II, 24, 55; et II, j:, 4(3; et ii,4<J,37 ; et 22,35,57- <'^ai' on ne peut di- viser 22 qu'en trois tetragones, (]ui sont \),[),\; ny 3j (ju'en trois autres, qui sont 25,;), 1 ; ny enfin leur aggregat 5- ([u'en trois, qui

Fl.HMAT. — IV.

5S ŒUVRES [)E FEU M AT. - COMPLÉMENTS.

sont /|<)/i/i; et aiiisy des autres. Mais en voyia assez pour cet article ( ')

J'ay mis dans les doux l'euillets [)r('cedens ce que i'ay crû (|ne vous pourriez faire voir à d'autres, et ay réservé le reste pour cetuy-cy, où i'ay à vous dir(\ touchant M'' (Rohcrvai) et vos autres Géomètres, que ic suis si las et si peu satisfait <le leur conférence, et <[ue ie remarque si peu de fonds et t;int de vanteri(> en leur fait, (|ne ie seray liieii aise de n'avoir |)lus du (oui de communication avec eux, liieii (|ue ie n'aye pas voulu le mettre ouvertemenl dans l'autre feuille de ma lellre, aOn de ne les point olfenser. Et pour la pièce, ie vous jure (|U(! ie I'ay trouvée encore plus impertinente ((ue ie n'ay sceu l'écrire, en sorle que ie m'étonne (jue cet homme puisse passer entre les anires pour un animal raisonnable. Au reste, i'ay :\ vous dire que mon Limousin estcnQn ariàvé, il y a déjà huit ou dix iours, et ipTil m'a a|)|)orté la Geostati(|ue avec la Lettre que vous m'avez écrite |)ar luy, en laqucdle vous avez mis un raisonnement de M. K(ermat)pour prouvei' la mesme chose que le Geostaliciim. Mais soi! ([ue vous ayez ohmis ({U(d(iue chose en le dérrivaul, soit que la rnalieie soit tro[) haute pour moy, il m'est impossible d'v rien comprendre, sinon ([u'il semble tomber dans la faute du (ieostalieien, en ce ([ii'il considère le centre de la Terre ainsi que si c'estoit c(duy d'une balance, ce (jui est une 1res grande méprise { - )

Pour AI. ( Kermat ), son procédé me conlirme entièrement en l'opi- nion (|ue i'ay eue dès le commencement que luy et ceux de Paris avoieni conspiré ensemble, |)onr làcber de decrediter mes L'crits le plus (ju'ils pouiroienl ; peut esire à cause ({u'ilsonl en peur(|ue, si ma Géométrie estf)it en vogue, ce peu (ju'ils sçaveni de l'Analvse de Viete ne fust méprisé : comme, en elfel, ie pense connoistre maintenant la portée de leurs esprits, et ie ne doute |ioint qu'il n'y en ait plusieurs

( ' ) Tuiuc II, |i. 174- 18'. ( -) Page i|io.

SI 1! I, A AII'TIIDDR DIÎ i/\\/i//S ET Ml M MIS. 5!)

auh'i's, (|iii |)()uri'oiit alliT l)('aucou|) plus hiin (lu'eux, l()i'S(|u'ils amont lin cliciuiii ouvert i|iii ne sera pas moins Ixui ([iic le leur (' )

Je seiav bien aise (|iio vous preniez copie de ce (|ue i'ay écrit à Monsieur .Mytiorge, touchant les objections de Monsieur F(eriMat), et ie m'assure (|u"!l ne la refusera pas, s'il l'a encor(> ; et s'il ne l'a plus, ie vous la [tourray envoyer, car l'en av retenu une.

Réponse (lu sieur Gillot au Théorème cuuiucl Monsieur {Fermai) a iugé (jue ie n'avais pas satisfait.

Ayant este demonstré qu'aucun des nond)res ([ui sont d'une unité moindres <|ue ceux t|ui sont divisibles par \, ne peut esti'e composé de deux nombres (juarrez entiers, il l'este ii piouver (|ue le mesnie ne peut estre composé dedeux nombres quarrez rompus. VA pour ce faire, il faut considérer (|ue. s'il estoit possible, il faudroil (jue tant les Numé- rateurs (|ue les Nominateurs de ces fractions fussent des nombres (|uarrez, et par conséquent aussi le Xominateur de leur somme ; et par mesme raison il t'audroit aussi (]ue le Numérateur de cette somme fust composé de deux nombres (|uarrez. Or, cela est impossible : car le Nominateur de cette somme estant un nondjre quarré, il sera i(npair ou pair; s'il est impair, il excédera d'une unité un nombre divisible par 4; et son Numérateur n'estant autre chose que le Produit de ce Nominateur uiultiplié par li' nombre proposé, lequel par l'hypothèse excède de trois un nombre divisible par 'i, il s'ensuit nécessairement que ce Numérateur ou Produit excède aussi de 3 un nombre divisible par 'i, et par conséquent il ne |»eut estre composé de deux nombres quarrez. Que si ce Nominateur est un nombre pair, estant quarré, il sera divisible par !\, et par conse(jueut son Numérateur le sera aussi ; et s'il est composé de deux luunbres quarrez, lisseront tous deux ilivi- sibles par 'i ; cela estant ainsi posé, on imaginera ces quarrez estre di- visés par .'i, et on mettra, pour la somme de leurs Quotients, le Quo- tient de leur somme, qui sera nécessairement com[)osé de deux (]narrez, si ledit Numérateur l'estoit, etc., iuscpies à ce que le dernier

(') Page 193.

GO ŒUVI'.ES \)E Fl'ItMAT. — COMl'LÈMENTS .

Quofienl du Noininalcur soit tin nombre impair. Or il appert claire- ment (I(> <e (|iie nous venons de dire, que, si le premier Numérateur qu'on a commencé à diviser estoit composé de deux nombres quarrez, le Numérateur de ce nombre impair trouvé le seroit aussi ; mais nous avons prouvé (jue cela estoit impossible, etc.

(Jn pourra tout de mesme demonstrcr qu'aucun nombre qui sera d'une unité moindre qu'un nombre divisible par S, ne pourra estre composé d'un, ny de deux, nv de trois noml)res ([uarrez rompus, sans qu'il l'aille rien changer au discours précèdent, que quelques carac- tères et clioses semblables ( ' ).

7. DESCAUTKS A MKUSENNIm -).

•>;{ AOI'T 1<i3H.

Pour ce qui est de Monsieur Fermât, ie n(! sçay quasi (ju'y respondre; car après les ccjmplimcns (|ui se sont faits entre nous de part et d'autre (^), ie serois marri de luy déplaire. Mais il semble (jue l'ardeur avec laquelle il continue a exalter sa méthode, et vouloir persuader ([ue ie ne l'av pas entendue, et (|ue i'ay l'ailly en ce (|ue ie vous en ay esci'it, m'obligi' a metti'e ievquel(|ues vérité/, (|ui me semblent ne luy estre pas avantageuses.

Vous m'envoyastes l'Iiyver passé de sa part une règle pour trouver les plus grandes et les moindres en (jeométrie, laquelle i'assuray estre défectueuse, et ie le verillay très clairement par l'exemple mesme ((u'il avoit donné. Mais i'adiontay (|u'en la cori'igeant on la pouvoit rendre assez bonne, l)ien (|ue non [)as si générale (|ue son aullieur pretendoil, i^t qu'on ne pourroil pas mesme s'en servir, en la façon (ju'elle estoit

(M l'dge i.jO.

(') 'roilll' II, |i. >ii'-r.>ii).

( ') Œin-rcs <lc i'cnii-il. I. Il, |i. i(Vi.

Sun LA MÉTIIODI-: DE MA.XIMIS ET MINIMIS. Cl

dictée, pour trouver la (augcnte d'une certaine ligne que io iionunay. J'aioutay aussy que plusieurs raisons nie iaisoient iui<er (|u'il ne l'avoit trouvée qu'à tastons ; et enlin <|ue s'il avoil envie de s'osprouver en Géométrie, ce ne devoit pas estrc en ce suiet, lequel n'est pas des plus (liCficiles, mais en 'i ou 4 autres (|ue ie Iny proposay; qui sont toutes choses ausquelles il auroit sans doute respondu tiepuis, s'il eusl eu de quoy. Mais au lieu de cela, quelqu'un de Paris qui f'avorisdit son parti, ayant vu mon escrit entre vos mains, tasclia de vous [lersiiader (jue ie m'estois meconté, et vous pria de surseoir a luy eiivover. Vous me ie maudastes, et ie vous assuray ([ue ie ne craignois rien de ce costé là. Vous m'envoyastes quelque tems après une response laite par luy par ce mesme de Paris qui soustenoit son parti, en [a([uelle ne trouvant autre chose sinon qu'il ne vouloit pas qu'une certaine ligne EB pust estre nommée la plus grande, il me fit souvenir de ses avocats qui, pour l'aire durer un procès, cherchent a redire en des for- malitez (jui ne servent de rien du tout a la cause. Je vous averty, dès lors, (|ue ie voyais bien qu'il n'usoitde cete procédure que pour donner plus de loysir a ma partie de penser a me respondre ; car bien (jue vous ne luy eussiez pas encore envoyé ma lettre, ie ne doutois point que d'autres ne luy en eussent mandé le contenu. Et l'événement monstre assez que mes coniectures ont esté vrayes. Or, après estrc ennuyé de ce que la cbiquanerie de la ligne EB duroit trop long tems, ie leur ay enfin mandé tout au long ce qui devoit estre aiousté a la règle dont il estoit question, pour la rendre vraye> sans pour cela changer la façon dont elle estoit conceuë, et suivant la(|U(dle i'avois dit qu'on ne pouvoit s'en servir [lour Irouver la tangente ([ue i'avois [iroposée. Depuis ce tems la, soit que ce que i'avois corrigé en cete règle luy ait donné plus de lu;ni;'re, soit qu'il ait eu plus de bonheur ([u'aupa- ravant, enlin, (juod fa'iixfauatuinijue sii, après six mois de delay, il a trouvé moyen de la lnurner d'un nouveau biais par l'ayde du{|nel il exprini"en (|uel(|ue t'a(;oii cete tangente ('):/" "''"'«/'/'^•' Voyla pas une

(') Mi'-tli<ide (le ina-ciinis cl minimii eiplir/iœe cl envoi ce pur M. Fernua à M. Ihs- carle.K {C/ùivrcf do l'\-rinnl, l. Il, p. iJl-iIVi).

(;-2 ŒUVRES \)E FERMAT. — COMPLÉMENTS.

chose (|ni vaut bien la poine do chanter si haut sa victoire? Je; m- ni'ar- restrav point icv a dire que ce nouveau biais qu'il a trouvé esloit très facile a rencontrer, et ([u'il l'a pu tirer de ma Géométrie, ou ie me sers d'un semblable moyen pour éviter l'embaras qui rend sa première règle inulile en cet exemph»; et (|ue par la il n'a point satisfait a ce (|ue ie luy avois proposé, (|ui u'estoit point de trouver celé tangente, vu (ju'il la pouvoit avoir de ma Géométrie, mais de la trouver en ne se servant ([ue de sa première règle, puis(|n"il l'estimoil si générale et si excellente ; et enfin, que ce n'est pas trouver parfaitement les tan- gentes que de les exprimer par les deux quantité/, indéterminées a: et y, comme il a l'ait ; car ces quantitez r et v ne sont point données sépa- rément, mais on doit chercher l'une par l'autre. Et ceux qui ont voulu depuis employer sa règle a cher(lier la tangente qui fait l'angle de V' degrez avec l'aissieu de cete courbe, ont assez pu connoislre ce défaut par expérience. Je ne veux point, dis-ie, m'arester à toutes ces choses ; mais ie diray seulement qu'il luy eust esté, ce me semble, plus avantageux de ne point du tout parler de cete tangente, a cause (jue le i^rand bruit (|u'il en fait donne suiel a un cliascun de penser <ju"il a eu beaucoup <le peine a la trouver, et de reinar(|uer (|ue, puis- qu'il s'est teu cependant de toutes les autres choses que ie luy ay obiectées, c'est un tesmoignage qu'il n'a rien eu du tout a y respoudre ; et mesme qu'il ne seait pas encore bien le fondement do sa règle, puis (|u'il n'eu a point envoyé la démonstration, nonobstant (jue vous l'en ayez cy devant pressé, et (ju'il l'eust promise, et que ce fust ruiii(|ue moyen ib^ prouver sa certitude, laquelle il a tasclié inutilement de persuader par tant d'autres voyes. Il est vray ([ue, depuis (ju'il a vu ce (|ue i'ay mandé y devoir cslre corrigé, il ne peut plus ignorer b' moyen de s'en servir; mais s'il n'a point eu de communication de (;e (jue i'ay mandé (le[)uis a M. Hardy touchant la cause de l'elision de ceilains termes, (|ui semble s'y faire gratis, ie le supj)lie très humblement de m'excuser, si ie suis encore d'opinion (|u'il ne la seauroil demonstrer. Au re^te, ie m'estonne extrêmement de ce qu'il veut tascher de per- suader ([ue la façon dont il trouve cétc tangente est la mesme (ju'il

Slill LA METHODE D I-: UA.ÏIMIS KT M l .\ l M I S . 03

avdit pi'oposi'f au coiniiieiiCL'iuciil, cl (ju'il ai)porle pour [ji-ciivc de cela ([u'il s'y stTl do la incsiiie fit^iire, coiuiik' s'il avoit a l'aire a des pt^r- sDiines ([iii ne scousseiit pas seuleiiiont lire ; car il n'est besoin (|ue de lire l'un cl l'autre escrit. pour connoistrc (|u'ils sont trcs dillerenls. Je ni'estonne aussy de ce (jue, nonobstant que i'ayi; clairement denionstré fout ce ([uc i'av dit devoir estre corrigé en sa règle, et ([u'il n'ait donné aucune raison à l'cncontre, il ne laisse pas de dire que i'y ay mal réussi, au lieu île (|uoy ie me persuade qu'il m'en devroit remercier; et mesmc il adiousle que i'ay l'ailly pour avoir dit (ju'il Caloit donner deux noms a la ligne (|u'il nomme 15 etc., ce qui ne réussi!, dit-il, (|u'aux ((uestions qui sont aysces, au lieu qu'il dcuvroit dire (|ue c'est donc luy nu'sinc qui avoit l'ailly, a cause (|ue i'ay suivi eu cela son texte de mot ii mot, ainsy qut; i'aydeu l'aire [lourle corriger, list ce pas une chose bien admirable. (|u'il veuille (|uc i'ave trouvé en sa règle, il y a six mois, ce ([u'il n'y a changé ({ue depuis trois iiuirs? et (|ue i'aye failly de ce (jue ie u'y ay |)as corrigé une chose (jui ne la rend nulle- ment fausse? car, comme il dit, estant prise en ce sens la, elle réussit aux ([ueslions aysées, bien qu'elle ne réussisse pas aux autres, ce qui vient de ce qu'elle ne leur peut estre appliquée, et s'accorde entiere- inenl avec ce (|ue l'en avois escrit. Et afdn (|u'il sçache que son nou- veau biais ne s'esteud point si loin qu'il s'imagine, (|u'il tasche, s'il luy plaisi , de s'en servir a trouver la tangente d'une ligne coui'be qui a cetc propriété, (|uc l'aggregat des '\ lignes tirées de chascun de ses poins vers '\ autres poins donnez, comme vers A, B, C, 1), est tousiours esgal a une ligne donnée, et ie m'assure (ju'il ne s'y trouvera pas moins empesché que s'il se servoit du premier, bien qu'elle soit incomparablement moins composée que son .r'" + Ba-% etc., qu'il allègue, je m'estonne aussy de ce qu'il s'attribue si particulièrement cete méthode, (|u'il semble, a l'en oiiir parler, (|u'elle soit (|uclque grand secret, {\m n'ait iamais pu estre trouvé (jue de luy seul ; car a le bii'U prendre, il n'v a rien du tout en elle f[u'il se puisse approprier a meilleur droit que le l'eu et l'eau et les grands chemins, sinon les défectuosité/, avec lesquelles il l'a proposée : en tout ce qu'elle a de

6t ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

bon, l'Ile est si simple et si facile a rencontrer, (jn'il n'y a personne qui se inesle de l'analyse qui n'en soit capable, pourvu seulement ilii'on luy propose, ou bien qu'il se propose luy mesme par liasard certaines ([uestions qui y conduisent ; et s'il y en a (juelques uns (jui puissent y prétendre plus de droit que les autres, ce doivent sans doute estre ceux qui en scavent les fondcmens et les raisons, du nombre desquels ie n'ay pu iusques icy connoistre qu'il fust.

Je n'adiouste point que ie m'estonne de ce qu'il continue a vouloir soutenir les obieclions qu'il a cv devant faites contre ma Di(q)tri([ue ; car ie m'assure ((u'il y en a plusieurs autres (|ui s'en estonneni aussy bien (juc mov, et ie serois marry de 1(> détourner d'un exercice que ie S(:ay ne me pouvoir estre qu'avantageux. Mais i'adinirc surtout le rai- sonnement dont il use a la fin de sa Icltre. dont voicy les propres mots : pour ce que ie voy que ie n'ay rien encore proposé , a qiioy son es- colier n'ait satisfait, comme il roits escrit, il est iusle quil travaille a son tour aux propositions suivantes. Et en suite de ces mots il me propose (juatre problèmes, aus(juels ie respons, qu'encore mesme qu'ils valus- sent la peine qu'on les cberchast, ce que ie n'ay nullement iugé en passant les yeux dessus; ou encore que ie les sceusse desia, ce (|ue ie ne voudrois pas dire estre vray, de peur qu'on pensast que ie voulusse tirer de la vanité de si peu de cbose ; et enfui encore que ie n'aurois point d'autre meilleur exercice pour me divertir, ie ne voudrois point toutefois luy en envoyer les solutions de peur de sembler par la luy accorder (|u'il est iuste ([ue i'y travaille, et donner ainsy le pouvoir de me faire perdre du tems a tous ceux qui en peuvent avoir envie. Au reste, ie ne lairray pas, s'il lui plaist, d'estre tousioiirs son très liumble serviteur, aussy bien ([u'a ceux qui ont tasché de le défendre. Et ie me promets ([u'enlin la force de la vérilt; les convertira.

II.

LES PARTIES ALIQUOTES.

1. Mersennk, i\ouvelles Pensées de Galilée (1689), Préface, ji. 9-10 non numérotées.

... Je viens inaiiUcnaiit aux parties ali(|uotes, lesquelles font plus de peine à trouver que nulles autres dilTicultez de Géométrie : de là vient que plusieurs n'en ont peu venir à bout. Or, le premier nombre dont on a pris sujet d'y travailler est 120 dont les parties aliquotes font le double, à seavoir 240. Jamais l'on n'en avoit trouvé d'autres, que je seaehe, et mesme la pluspart des analystes ne sçavoientpas s'il y en avoit de semblables, jusqu'à ce que d'excellens Géomètres, Analystes et Aritbméticiens (') ont adjousté depuis peu de temps 672,323776 et I 476304 B9G, qui ont la mesme propriété ; et de plus, un excellent esprit (') a trouvé que le nombre qui suit, dont les parties aliquotes font aussi le double, à sçavoir 409818240, estant multiplié par3, c'est- à-dire estant triplé, produit le nombre 1 379454 720 dont les parties ali- quotes font le triple. Ils en ont encore trouvé (') qui sont sous- triple's de leurs parties aliquotes, par exemple, ceux qui suivent :

(') yoir u II, p. 04, noie, cl p. ijj, nulc 1. Mersenne avait proposé le problème en indiquant la propriélc du nombre 120. Dos trois suivants, le [jremier fut donné |)ar Fermai, le deuxième par Sainte-CroiN, le troisième par Descartes (Lettres, éd. Clerselier, l. III, 74; avril i638; éd. Cli. Adam et P. Tannery, i. II, p. 124).

(') Frenicle (comp. Lettres de Descartes, t. Il, 92, p. 408; t5 novembre iG38; éd. Ch. Adam et P. Tannery, t. II, p. 419)-

(') Ces nombres sous-triples sont de Descaries (Lettres, l. II, 89; juillet i638; éd. Ch. Adam et P. Tannery, l. II, p. 246), sauf lo quatrième et le sixième.

FlRMAT. — IV. 9

OG ŒUVUES DE FEUMAT. - COMPLÉMENTS.

3o24o, 'i2~(]o, 23.'jGr)()20, 45532800, 142990848, 438G1 478400, 6G433720320, 4<>3o3i 23GGo8, ausquels ils en peuvent adjoiistor mille autres qui auront la inesme [iropriété et mesme qui seront quadruples de leurs parties aliquotes, comme sont les trois qui suivent : 14 182439040, 5o86GG8o32oo et 3o8238G6i785Go et tant qu'on voudra d'autres, dont les parties aliquotes feront le quintuple, le sex- tuple, le centuple, etc. jusques à l'infiny, ce qui n'avoit point esté connu jusqu'à présent. L'on n'avoit point aussi connu d'autres nombres dont les parties aliquotes prises alternativement reprodui- sissent les mesmes nombres amiables, que 284 et 220, lesquels on appelle amiables, parce que les parties aliquotes de 284 font 220 et celles de 220 font 284. Mais l'on a depuis peu trouvé les deux couples qui suivent i84iG, 1721/) et 94370'')G, 93G3 584...

2. Extrait des Cogilala physico-rnalliemalica, Prœfatio gênerai à, XI \ (').

Ad ea (|u;o de Numéris ad calcem prop. 20 de Hallist. et puiicto i4 PracTationis ad Ilydraul. dicta siint, adde inventam arlem, (|uà numeri, quotquot volueris, reperiantnr qui ciim suis partibus aliquotis in unicam summam redactis non solùm duplam rationem liabeant (qiiales suni 120, minimiis omnium, G72, 52377G, i47G3o48i)() et 4598i82'|(>, qui, ductus in 3, inimerum efficit 13-9454720, cujiis partes aliquoUe tripla; sunt; ([uales eliam sequeutes : 3()24o, 327G0, 23j()992() etalii intiniti, de quibus videalur llarmonia nostra, in (|uà i^i i82439o'i() et alii, suarum parlium abniuotarum sub(|uadrupli), scd etiam sini in ratione data cum suis partibus aluiuotis.

(') P. Marini Meuskn.n'I Miniini Coijitata pliysico-mallwniatica. Tu quihiis iriin lutturt); quant artis cj/'cctiix ndmiranili ccrlixsiinis clemon.ilrnlionibiit e.rpticanliir. Paiisii.s, siimplibus Autoiiii Berlicr, viii .lacobœâ, iMDCXLfV. (^nm privilégie Ftegis. (Jlihi. nat. lie Paris, V, 84/1. Réserve.)

LES PARTIES AMQUOTES. 67

Sunt etiain alii numeri qtios vocanl ainicabiles, qiiod haheant partes aliquotasa quibus mutuo reficiaiitiir. Qiiales siinl oiiiniiiiii niiniiiii 220 et 28'i; Imjiis enim aliquotaj partes illum eniciuiit, vicoqiic versa partes illius ali(|uota^ hune perfectè reslitiuint. Qiiales et 18416 et 17296, iiecnon 9:'i37o36 et 4363584 reperies, alios(|ue inmimeros.

3. Exlrait des Reflectiones i>liy<;ico-malhernalic<e {^), Ciip. \X1, |). i8o-iS3.

1. (P. iSo). Ad Pra-fationis Generalis... puiictiiii) XiX redeo, iilii, ciim dixi lot (luoi V(diieris numéros iiiveiiiri, (|iii cuiii suis [lartibus aliqiiotis diiplaiii ratioiiem babcaiil, adverte, j)r;rter (|uiiiqiie numéros ibidem allatos, forte nullum allium esse in intinilà nuinerorum série, pra>ler sextum (|ui secpiitur, nooi 180 160, cujus partes compunenles sunt 16384, -), 7, 19, 3i, iji ; eui etiam convenit, nt in \ ductiis pro- ducat numerum suaruni partiuni ali(iuotaruni Iriplum. Quod toties contingit, quoties numerus duplus a ternario minime dividitur; quem- admodiim quadruplus, quem non dividit ^, ducfns in "), dat (|uintu- plum, et lia de relicjuis.

2. Quod ad numéros triples attiiiet, 34 inventi sunt, ([uadrupli 18, quintupli 10 et sextupli 7. Nullus autem liactenns inventus est sep- tuplus.

3. Eodem loco numeri amicabiles releruntur, ([uos ista reperies. Elige luinierum ad anaiogiaui liinarii perlinentem, cujus Iriplus, minus i, sit numerus primus, hujus(jue duplus, plus i, sit etiam pri- mus : et productus ex utro{|ue plus eorumdem sumnu'i, sit adhuc primus ; quo dui'to in dupkim numeri ad binarii analogiam relati, pro-

(') Ce Traité est relié à la suite des Cogicala physico-malhcmaïkn {liibl. nul. de Paris, V, GiSo).

68 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

ducetur unus arnicabilium ; productusque numerus ex duobus niino- ribus primis in prœdicturn analogia» binarii luimerum diirtus dabit secuiidum amicabilein.

Exempli gratià, sumatur 8, cujiis tri[)lus, minus i, est 23; cujus duplus, plus I, est 47; prodiictus numeri 2'3 in -'17 est 1081 ; cui summà 23 et 47, hoc est 70, additâ prodit ii5t, primus ; (jui ductus in i(), duplum S, surgit i84i'>, unus ex amicabilibus ; cujus cornes produ- citur ex ductu ejusdern lOiSi in ili, viileliccl 17290. Hinarius per eamdem regulam tribuit 2<S4, 220. Ut 64 dat ()437o5G et 9303584-

m.

EXTRAITS UE LA COURESPONDANCE

OK

MIÎRSENNE liT M SAINT-MARTIN.

1. MERSENNE A SAINT-MAHTIN.

LUNDI 13 JUIN < 1040 >.

{Autographe. Vienne, Hofhibl. MS. 7049.)

Monsieur,

J'ay esté renvoyé à vous par M. Frenicle, à (jui la leste faisoit trop mal à son départ, pour sçavoir de vous la règle pour trouver la pyramide numérique proposée. Je vous prie donc d'y penser. Voicy comme je l'avois commencée : Pyramis invenitur si duplum pyramidis iriangularis, et je ne sçais pas le reste.

Je vous prie aussi que nous nous entendions un peu pour trouver combien un nombre proposé a de parties aliquotes, par exemple, com- bien en a 49000 et aussi (|uelle est la somme de ses parties aliquotes, sans qu'il soit besoin de les conler, et finalement comme il faut faire pour trouver un nombre qui ayt 4;) parties aliquotes, de sorte qu'il soit le plus petit, et un autre qui en ayt 3()o.

Or, puisque vous estes devenu si grand horlogier, à la prochaine ie désire que vous m'apreniez vostre méthode certaine.

Vostre très humble serviteur, Meusenne.

Ce luiidy, \'i juin-

70 ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

2. SAINT-.AIARTliN A MKRSENNE.

< ji;iN 1C40 >.

(.4iilogra/>/ie, Vienne, Ilofbiljl. MS. 7049.) ( ' ).

Les pyramides se font, joignant à leur haze toutes les figures sem- blables à la baze et moindies (ju'icelle. Ainsy la pyramide triangulaire se faict, joignant ensemble tous les triangles.

Si donc l'on veult avoir le tétraèdre qui ayt 5 de costé, il fault prendre la somme du triangle de 5 et de tous les moindres, s(,'avoir de i"), lo, G, 3, I, (jui feront 35.

La pyramide quarrée est la somme de tous les quarrés depuis l'unité jusqu'à sa base et la pyramide pentagonale est la somme de tous les pentagones.

H y a des règles pour les trouver sans adjouster toutes les figures semblables : Comme, pour le tétraèdre, (|ui a 5 de costé (^), je multiplie par j le tiers du triangle de G, sçavoir celluy qui a un <C de >• plus de costé. Ce tiers i>st 7, multiplié p;jj- "i, costé du tétraèdre, donne 3.j pour le tétraèdre re(juis.

Je trouve que vostre nombre 49<>"o a 35 parties aliquotes et la somme de ses parties est 325").

J'ay trouvé un nombre qui a 39 parties aliquotes ; 336o est le moindre de tous, .l'ay pris 3(), au lieu de l\() dans vos nombres ; il n'y a pas plus de science en l'un qu'en l'autre.

Le nombre (|ni a /iç) parties aliquotes, et le plus petit, est i2()().

Le nombre (|ui a »Go parties est une 3Go'' puissance pour b? plus grand, et deux i.S"^' puissances multipliées l'une par l'autre pour le plus petit.

(') Celle pièce est écriie sur lo blanc de la lellre qui précède, que Sainl-Marlin a cviilcmmenl remise à Mersenne. Despeyrniis, ({iii en a pris une copie à Vienne ( />i/il. nnt. fr. n. a. '.ii?^i, f" 116 v"), a cru, à torl, y reconnailrc l'écriture de Fermai.

(') A partir de ce mot, la fin de l'alinéa est écrite en marge; le suivant est au verso.

IV.

EXTRAIT DE L4 CORRESPONDANCE

DE

CAVALIERI A MERSKNNK.

CAVALIEKI A MERSENNE (').

23 NOVEMBRE IGVl.

(Bibl. nat. fi-. n. a. 6204, f" 255.)

Claiiasinio an Doctissimo

A. R. P. Marina Mersenno.

S. P. D.,

(!r;itissimis tiiis, A. R. I'., tar- iluiii roddo resi)Oiisiiiii, tum plari- hiisoccupalionibusimpcditus, tum etiaiii (|uia in dies qua'siti ad me missi tiilam ex lederlarationeiii per Revereiidum Niccronem expccta-

Att clarissiine el doctissiine li. P. Marin Mersenne, toutes mes salutations.

Ri;vi:kem) l'i-iii;,

Si je ne réponds que tardive- ment à votre gracieuse lettre, c'est, d'une pari, (]ue j'en ai été empêché par de nombreuses occu- pations, d'un aulre cote (|ue j'atten- dais du R. P. Nieeron (-), ce que

( ' ) f oir I. I, |). igS- 11)8. un fi\ii;meiil iiiédil fie Fenuat uilress'; par Mciî^cnne à Cavalieri. Cunime la présente leUro pose les (pieslions auxiiuclles répondit Kermal, on (leiil, sans erreur srave, conskiéror l'écriL de Fermai comme du comiucacemcnl de l'année 1041.

(2) Le père Nieeron, confrère et ami de-Mersenne, mourut, à 33 ans, le 2'. septembre i(')4G. Il est l'auteur du Tltaumaturgus opticus, Paris, lOl'"), dont une éilition française avait paru dès i()38 sous le titre : La Perspcctiie curieuse. Il semble avoir corrusiiondu avec Cavalieri (comme aussi avec Torricelli) avant Mersenne, et avoir ainsi donné l'occasion à ce dernier de poser à (Cavalieri une question malliématique, sur laquelle nous ne sommes pas autrement renseignés.

7-2 ŒUVRES DE FERMAT

bam, ut l;miieni mipcrluihui. Quod circa illius solutioneiii inveni ( iit tuis iussis prompte obtempora- rem),statim niitteredecrovi,ul nisi iiulustriani mcani in serviendo, mei taineii animi erga le obsequiuii) agnoscas. Totus ego qnsesili parti theorematica' soIucikUo inhaîsi, quod an satis pnestiterim, lui et apiid te degentium Matbcmali- coruin judicium ol censuram ex- pectabo. Partis vero problematica^ non adhuc mibi compertam esse universalem solutionem ingénue fateor, qnam cùm valdc fore diffi- cilem prpeconceperim, nohii men- tem ex nimia sanitatis iactura (ut s»pe arlicuiari morbolaborans cogor cxperiri) defatigare.

Hoc ergo quod possuin, a'qui bonique faciant insignes isti Ma- theseos Professores et praesertim Herigonins, cuins eximiam doctri-

- COMPF^EMRNTS.

je n'ai en enfin que tout récem- ment, une explication assurée de la question que vous m'aviez en- voyée. Pou r déférer promptemen ta votre désir, j'ai voulu vous envoyer de suite ce (jue j'ai trouvé comme solution, afin que vous puissiez reconnaître, sinon mon liabileté à vous servir, an moins mon dévoue- ment absolu. Je me suis unique- ment altaclié à résoudre la partie ibéorématique de la (jueslion ; pour savoir si j'ai réussi, je dois attendre votre jugement et la cri- tique des niatbématicicns avec qui vous vivez. Quant à la partie pro- blématique, j'avoue franchement que je ne possJ'de pas encore la solution générale, et commis j'ai estimé (|u'elle serait très difticile à obtenir, je n'ai pas voulu me fatiguer l'esprit aux dépens de ma santé, comme la maladie articu- laire dont je souffre me force sou- vent à reconnaître que j'ai eu tort de le faire (' ).

Je soumets donc ce que je puis envoyer à l'équitable et bien- veillante appréciation de ces illus- tres Professeurs de Mathématique,

(') La solulioii (Je la question proposée par Mersenne était piobalilement écrite sur une feuille flélachée et ne s'esl pas relrouvée.

CAVAIJElil

nam inilii sunimè coniineiKlavit D. Joaniu's de Bcaiigraiid, qucm Deus heavit iii cado, (|noin(|U(' |)r;epropera mors, niaxiinu Scien- tiaruin daiiino, iiobis cripuit. Novi ex demoiistratioiie mihi iiiissa quantiiiii in eo csset acurniiiis r( in Mathematicis periti;r, nec salis mirari possuiu ardnnni illud in- ventnni de fusi hvperholici et eins segmentorum dimensione, (|iioil solum illius sublime in!<eniuni ul- tro testari potuit. ligo quidem eo- rumdem dimensionem pariter in- veni, al defectivam, quia suppo- suit hyperbnla^ ([uadraturani, cui inveniendie necdnm animuin ap- plicui. Pergralum ergo mihi esset intelligere an eius demonsiralio sit absoliila : ex ea enim stalim emergel liyperboho qua<lratura, ut tibi haud i^nolum erit.

^ Mi:i;si:\\E. 73

el en parliciilier d'IIérigone ('), (b)nt la si-ience sini^ulii re m'a été liautemenl vantée par .M. Jean de Beaugrand (-), (pii est maintenant heureux ihins le ciel, mais (jui nous a été enlevé, an grand détri- ment de la Science, par une mort prématurée. I^a démonstration qui m'a été envoyée m'a l'ait connaître combien il avait de pénétration et d'habih'té en Mathématiques, et je ne puis assez admirer cette ardue invention de la mesure du fuseau hypcrborK|ne el de ses segments, qui sul'lit à témoigner de la subli- mité de son génie, .l'ai, pour ma pari, trouvé aussi les mêmes me- sures, mais incomplètement, en ce que j'ai supposé la (juadrature de l'hyperbole, à la lecherche de laquelle je ne me suis pas encore a|>pliqné. .le désirerais donc bien savoir si la démonstration de .M. de Beaugrand est complète ;

(') PiKiiiŒ IIi;r1(;onic, aiUei-U- d'un Cursus inatheinaLicus eu six vohiuies ( iG34-i(3l2). Galilée en ;iviiii, donné un exemplaire à (^avalicn.

(■'-) Bevug»\ni), qui clait niorl depuis un an, paraît avoir été lié avec Niceron et être entré ainsi en relations avec Cavalieri. La dénionslration envoyée en son nom par .\lcrseniic (comme il est dit plus loin), prohaljlemenl an moment de sa moi't, se rappoiiait à la quadrature des paraboles de divers degrés; c'était donc un larcin lait à l'ermat, ainsi que Desari-'ues l'a accusé d'en avoir fait. L'invention fusi hyiierbolici doit être eulcndue de la cubature du volume engendré par la révolution d'une hyperbole autour d'une ordonnée: c'était sans doute une simple vanlerie, comme réplique à la cubature analogue obtenue par Format pour la parabole; Cavalieri qui connaissait cette dernière cubature, évidemment par la même voie (le terme de fuseau parabolique n'est pas en elVet de l'ermat), reconnut que pour l'Iiyperbulc la ijucstion est d'un tout autre ordre.

Feiimat.

IV.

Ik

ŒUVUES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

LibciUcr (|iioqiie aiuliam an (lictiis 0. Heaugrand vel alius pra'- cipuc ex vestris Matheniaticis, hreviori via (luàm ipse, ostcnderit admiraii(liiiii illiid NopiM'i trigo- nicuni pr(il>l('iiia de invcniendis in triangulo splucrico duohns angulis ad basini uno actu et absqnc ca- siiuni ohservalione, datis crnrilnis et anguio verticali; qiiod ego in meo compendio Regularnm Trigo- nometria' italii'O idioiriate iin- presso, p. ii'i, via non iiisi satis loiiga polui olitincrc. Aduerte auteni in dicta meadcmonstratione p. ii(), lint'a 8, delenda esse lia'c verba c/ie si supponga hora reclan- giit" 111 f.

Nfc iiiiniis avidr expcctalto (jnà iireviori \ ia proposituni inilii (|iia>- situin isdiic soliiturn l'acril intolli- gere. Milii vcro non pnoler<'undnm vidcinr me |)ra'teri(o anno scrip- sisse D. IJcaugi-and snl) (lie k) sep-

car on en déduirait aussitôt la(iua- drature de l'iiyperbole, eomnie vous pouvez le voir.

J'aimerais aussi à savoir si feu M. de lîeaugrand ou queli|ni' autre de vos mathématiciens n'aurait |)as trouvé un procédé plus court que le mien pour démontrer celte admirable solulion de Ne|)er pour trouver dans un triangle splié- ri(|ue, d'un coup et sans distinc- tion de cas, les deux angles ii la i)asr, (|uand on donne les deux autres côtés et l'angle au som- met ('). Je n'ai pu y arriver (|ue par une voie assez longue dans mon Abrégé des Itég/cs de Trig^onn- métrie imprimé en italien, [i. iil. Je vous prierai de remar([Uer que dans cette démonstration, p. iiG. ligne H, il faut elî'acer les mots che si siipponga hora rectangnlo in f.

Je n'attendrai pas avec moins d'impatience de savoir par quelle voie plus courte la question qui m'a ele proposée aura été résolue elle/, vous. Je crois aussi devoir re- venir sur ce (|ue j'avais écrit ii

(') Il 5 ii.-il éviileiiiiiieiil (les formules cuiiiiues soii> le nom iVaiKi/uiries c/c iS'eper, onnii côcs |)ai- l(;iii'iiiilcur daiis la Descriplio île i6i4 cl .laiis la Co/is/ruc/io |iosllnimede i6i<)^ Cavallei-i liiit an leslc allusion à son Ouvrage en ilalien : Centuria di varii prob/emi, elC. liologne, i(;3(). En r()_i3, il fil pnrailrc une Trigononicliie, ce (|ui e\|ilii|ne la qneslioii iju'il fail a Merseiinc flans la (irésenle lelU'e de i(Vli.

CWALIEUI A

ti'iiiln'is, (|iiamvis inoic leltera; ad eiiisiloin maniis non iicrvenerint, tlerectii latoris, qui isthic nun- qiiaiii ipsmn potiiit invonire : at (|unm iiilollexeraiii in solvuiulis Matlu'iiiaticis quopsitis siimiiioperc delectari, ideo laie illi lune pro- piisuenitn.

Sil (|uailcum'jue parallelograui- iiHiiii VÇ ( /ig. If)) et in eius quo- cuinqiic latere AC quodvis punc- tum signatum B. per quod laleri CD sitducla *(|uidistansBEadrD iiiE teiininata. Suniantur auleni in BE quotcumquepuncta G, H,I,K, etc., tali ratione ut veluti estCAad AB,

MERSENNR. 75

M. de Beaugrand le i<) >ep(end)rc de l'année passée; malellre ne lui est jamais parvenue, par la faute du porteur (jui n'a pas su le trouver; mais comme je savais qu'il se plairait extrêmement ii résoudre des questions mathémati(|ues, voici ce(|uejelui avais proposé (') : Soit (/ig- i;)) un parallélo- gramme (|ueleon(|ue FC et sur un de ses côtés AC un point quelcon- que marcjuéB, par lequel on mène au côté CD la parallèle BE (|ui se termine en EsurFD. Prenez sur BE autant de points que vous voudrez G, H, 1, K, etc., de telle sorte que

19.

itasitliiiea EB ad lincam BG et ita ([uoque (|uadralum EB ad (jiiadra- tum BH,

Cuhus EB ad culium BI,

CA il AB soit comme la ligne EB à la ligne BG ; ou comme le carré de l^|{ au carré de BII : ou comme le cube de EB au cube de [il ; ou

(•) Si l'on pose {/ig. I9)AB=/, 15K = /-, AC = «, VA) = />. on voit aisémenl iiiie Cavalier! tlélinit les paraijoles

y = 1— ■^■' '

Il élaiil lin entier iinclconque, cl lu courbe étant rapportée aux axes XV, AC.

7(i ŒUVHES DE PERIMA

I5i(|iiailr:iliiiii E\\ ;i(l liii[iia(li'a- liiiii IHv.

Ouadrato culms liH ad (|ua<li'ato ciiluini interiecliiiii iiid'i' 15 et so- <|ncns piincfum K,

(liilio culms RB ad i'uIhicuIiuiii liiica' siMHHMitis. etc. cl sic dciii- ce|)S in iiilinituin jut oiiincs di^iiii- tati's alirohricas siiliseiiiii'iilcs. Oiiod vi'i'i) in I5I'] racliini cril. illnd et liât in (|iia'cuni(|nc ind'a parallc- loi^ianuniiin VC dmla ipsi CI) |ia- rallela. Per prima veio pnncla Iranscat linea A(il); per seciinda, AIID ; [)('!■ lerlia. Ail) ; [)i'r qiiarta, AKD, per ([iiiiila, sexta, seplinia, puiieta et Iransrant (|uii(|iie liuiiis- niodi siili>(M|n(Mitrs linea'. Oinere- liani initni' :

I" An sieuli iani sciiniis paralle- loi;raniinnni VC dii[)lnni esse spa- tii A(il)(] ses(]nialteriun ipsiiis AIlDt]. ita essi't ses(|uiteitiiiMi AlDC. sesijni(|iiartnin AKDC, ses- (|niipiintiini seijiK'ntis liuiasMii)di s|)atii, etc. jnvla ordini'ni stilise- (|uenlinni deinceps snpei((articii- lariuni [)i'(i[)urlionnni. lli>e vcro iain notilicari polesl prr id (jiKid d" Hcangrand iain ad me demon- slratum misit.

r. — COMIM.EMENTS.

I comme le hi([iiarré de l^B an bi- ([iiai'ré de lîK ; on i;omnie le eai'n'' cnbe de l*!!} an carre cube de la distance entre H cl le point après K; on comme le cubocnbe tie l']H au cnbocnbi' di' la lii^nc suivante; etc., en continnani ainsi ii l'inlini pour Imites les tlii;nit(''s | puissances] ali;idirii|nes suivantes.

Ce <| ne d'ailleurs ini a l'a il >nil>!<], lin le fasse sur toiilc parallèle il CD mcnei- il riiilerieur du [taral- IçbiLîramnie Cl). Oue [lar les pre- miers points on fasse passer la lii^ne AGI); par les seconds, AIID; par les troisièmes, AID; par les (|nalrii'mes, \K\) ; par les cin- (|nièmes, sixièmes, septièmes [loinls, etc., de même d'autri's lignes subse(|ueiites pareilles, .le demandais donc :

I" Si, de même (|ne nous savons ([uc le parallélogramme KC est double de l'espace .ACDC, et les ^ de l'espace AllDC. il sera les ; de AlDC, les ; de AKDC. b's '[ de l'espace analoL;ue subsé- (| lient, etc., suivant l'ordri; succes- sif des rapports d'un tanlième en sus. Or, cela m'a déjii été appris par la démonstration (jue .\I. de neangrand m'a envoyée.

CAVAlJKIil A

Kursiis. |)osil() (jiioiF VC sil reclangiihiiii, ipsumcjne circa AC fixaiii revoivi, ut ex FC fiât cvliii- driis, ex AGDC coiiiis, ex AIIDC coiioides paraholieuiii et ex AI !)('., AKDC, etc. alia solida rotuiida, (jiia^rebaiii ;

2" Katidiiciii cvlinilri ex VC. ad hii'c solida siiif;illatini. ex (|iiiiiiis notuin est Geoiiietris eylindiiim ex FC lri|duiii esse eoiii. diipliim eonoidis paraltolici.

Quod si tiefi't revolutio eoriim- deiu circa C\), (|n;ereliam :

V' Kalionein evliiidri ex FC ad soliila geiiita ali lisdeiii figiiris ex ([uibiis iaiii seiiiius cvlindriiiii ex FC triphiii) eiiiii ex AtiDli, ad geiii-

tiiiii vero ex AllDC (((ikhI erit- l'iisi paraltolici ) ut i .) ad 8.

Tandeui qua'reljaui :

'(" Au. siculi uoluru est ACI) esse reclarn liucain, AllD paralto- lani, ita sciri pussent ali;e curva' an esserit sccliones couica' v(d iinea- alterius geueris et cuiu>- uiodi csscul cl an ouiiiiuui ve! salleui ex eisdcui alicums piopiu'- tio ad AI) liaiici'i posset, iiec iiou et centra gravilalis diclaruru ligu- rarnui.

()uuni vcio de liliris niatlieina-

MERSENNK. 77

liu second litui, supposant FC rectangle, si (ui le t'ait lournei' an- tour de AC couinie axe, il engen- drera un cylindre, ACDC un cône, AllDC un conoide paiabolique, AIDC, AKDC, etc. ; d'autres so- lides ronds. Je deuiandiiis :

2" Le rapport du cylindre FC à chacun de ces solides, étant d'ail- leurs connu des geonièti'es (|ue le cylindre de Ft] est triple du cône, et double du conoide [)ai'aborK|ue.

Imi supposant la levoiulion au- tour de l'axe CD, je demandais :

î" Le rapport du cylindre F(] aux solides cngendiés par les au- tres figures, des(|U(ds nous savons que le cylindre l''C est triple du cône de AGDC et les '^' du solide engendré par AUDC (nioilie d'un fuseau parabolique).

liiilin je demandais :

4" Si, de même (|u'il est connu (|ue A(iD est une ligne droite, AllD une, [larabole, on peut savoir si les aiilres courbes sont des seclions coni(|ues ou îles lignes tl'une aiilre espèce, et de (|iMdle naluic elles sont; si on peut avoir le rapport à AD soit de toutes, soil au moins de (|uelques-unes d'enlre (dles; eidin les centres de gravite de ces figures.

Puisque vous désirez être in-

78 ŒUVRES DE FERMAT

ticis in Ilalia iniprcssis ccriior fieri cupis, dicani eus (jiii ail mearn notitiain perucnoniiit. Siint orgo :

P. |{c(tiiii Jcsuita' Apiariiim, lîononia' id'ii impressum;

P. Kirkcr Opiis de Magnete, Romae iG'ii ;

Eiusficm Spocula Molitcnsis, Neapoli iG'i.S, docens inuoiiire ciniliter loca Planetarum et alla ad sphteram pertiiieiilia;

Baliani libcllus Do motii gra- uiiim, Gcnua' ;

Terlia Decas Camilli Gloriosi, Neapoli ;

Joseplii Barcîo libellusDe nmni- liono ;

Miitii Oddi De Horologiis solari- biis, Vcneliis iG 58 ;

Bcnedirti Maghetti Assisinatis Algebricormii (iiuesitoriim Analy- sis, Ancon;c i(i3(), et eiiis Apo-

- COMPLEMENTS.

foriin'' des Ouvrages inatlirniali- cpics imprimés en llalif, voici ceux dont j'ai eu connaissance :

P. IJcIlini .lesuita' A|)iai'inm ( ' ), Bologne, iG/ji;

I*. KircberOpus ilc Magnete ( ■), Rome, i'")'|i;

Du méme:Specula.M(di(ensis(^) Naples, iG38, où il enseigne à Irouvei' élémentairemeul les lieux des [)lanètes et d'autres points de la sphère;

Baliani libellus De inolu gra- vium (' ), Gènes;

Terlia Decas Camilli Gloriosi ( '"), Naples;

Josephi Barca' lilxdlns De mu- nitione (°);

Mulii Oddi De Horobigiis sola- ribus ('), Venise, iGj8;

lienedetli Magbetli Assisinatis Aigebricorum qu;esitorum Analy- sis, Ancône, i()39;

(') Apiaria uiiiversin philosophiie inatliemalictf, in-lbl. Un sccoiul Voliuiio paru en i64v,, un troisième en id^S.

(*) Afa^rnes sh-e de aile inngnetica, in-4°, première éfiition.

(^) Spécula meUtensis encyclica, sive synlagma novuin insIriLinentoruin pliysi- co-mal/tema/icoriiin, in-12. Cavaiieri parait s'ôlre, trompe sur le lieu rie l'édiliuii, en écrivant Naples pour Messine.

(') De inolu naturali gravium soliiloium et liquidorum, iG38, in-4.

(^) La première Uccade des Exercitaliones inathematicie de Glorioso est fie 1627; la seconde de i6'5): la troisième de if)3i).

C") Compendio di fortificazione inoderna, Milan, rSSg, in-4°, de Giuseppe Barca, général italien.

C) Héédilion posthume ou traduction do l'Ouvrage italien : Degli orologi solari, Milan, iGi i ; in-4".

(;\VAi.ii:i!i

logia coii(r;i Gloriosuiii, iMdciii 1 (■)',(>.

K|)lia'ini'iiik's Argoli, eiusdcrn De nii'lius LTiticis ;

Rphœiiieri(l('S Fraiici.sci Monte- bruiii Bononia' i()'|(>. <|uœ sequiiii- tur Lansbergianas hypothèses;

Vincentii Uriifici Tahula- Medi- cete ;

D. Beiieilicii Castelli Mensura currcntiiiin aquaruiii ileiuin ciiiii additione iuipressa.

Nunc siib pnelo est (|iKedain Ga- lilei responsio Liceto, quieiusdem sententiaiii de liiinine luna^ secun- dario a terra reflecio impugiia- vif.

lu hieoiii (|uoque exibiinl duo libri De motu et proiectis cuiusdain Euangelista' Torricelli viri aciitis- simi qui luine apud Galileuia ino- ratur, ciiius de motu doctriuam se prosequutuiu esse prolitelur, ut iHiper ad me scripsit idem Gali- leus.

Ideui me adinoiiuit (juemdam Aiit(Uiiuiii Naiduiii librum m iucem eilituium e^se in ([uo iiilendil om- iiia Arcbimi'dis iiiueiila indivisibi-

A MKKSKNNE. 79

Du même : Apologia coiitia Glo- l'iosum, Auconc, iG/jo;

Argoli Kphemei'ides (');

Du même : De Diebus cii- (icis (-);

Francisci Aloiitebruiii li[)heme- rides, JJologne, i(J/i<); elles suivent les hypothèses de Laiisberg;

Vincentii Henerei Tabula- Medi- cete (■■');

0. Henedetti Castelli Mensura currentium a(|narum ; seconde édition aumnentéc.

On imprime actuellement une réponse de Galilée à Liceti qui a attaqué son opinion sur la lumière secondaire réllécliie de la Terie sur la Lune.

On verra aussi paraître deux livres l)e muta el projeclis d'un certain Kvangelisla Torricelli, homme d'un esprit très pénétrant, qui demeure actuellement avec (julllée et professe suivre sa doc- trine du mouvement, comme Ga- lilée me l'a récemment écrit.

Il m'a également annoncé (|n'un certain Antonio Nardi publiera un Livre où il a l'inlcnlion de démon- trer tiins les résultats d'Arrliiméde

(') Al) iGio a;l ifiSo, l'aduuc, ii'iBS.

( '^ ) Du liiehiiii Liilicis c! ir^roruiii licciilnlii lihri i/iin. /'<:li.H'ii, lOii).

(') Vim:ic\/.() iîiiNn.iii. 't'dliiilir niciUcen- iiiiivcisiilcs, Kluieiice. i(>i<)-i(i47.

«0 (KUVIIES DE l'EiniAT

liiim metlioilii ;ililer ne ipsc l'eci (Icinoiisirnre.

llîoc siint (|ii;(' inilii nota fibi commciiioranda rncniiil. Dum eri^o isti lalxiraiil. niilii iiivilo ac IVrc semper ;oi;ro(aiili feriari necesse ost-Multaquidein lialicogeometiica sparsiiii iniicnta ({iiilnis lilinnii non paninni Icxcrc [jitsscni, scil nnido liiic, ni(i(l(( illiic ilislrachis nec non crel)ris (loloi'il)iis (|iin(lainmoilo <li- laniatiis aniinus meus nec seipsiiin nec (|uiil(|ii('Mi aliud cnujponere potest. Foric denno niciini Spé- culum Uslonuin imprinielur, in (|U() circa spécula el perspicilla t'oi'san alniuid non ininncunduni adjungani, nec non d(! seclionibus conicis facilliniè descrihendis. Qua latione eniin in niea Geonietria Lil). O^prop. 5'describo paraholain alia paruiii dissiinili et(dlipsiiri cL hyperholani i'acio. Veriim ne P. V. (îodio afficiam, corani sapientis- siino viro ac onini disciplinarum génère insli-ucto, u( ex niagno tuo opère in (jenesim niilii innotescere poluit, |)arco vcrhis, ac de litleris 1). lîeaugraiid ad me missis gratias agens me tolum ex corde P.V. A. R. commendo, simulquc rogo ut D.

- CO^IPLEMENTS.

par la mélliode des indivisibles autrement «jue je ne l'ai fait.

Voilà ce que je connais el [luis vous diie. Mais pendant ((u'ils Ira- vailient, la maladie me l'ail (ires(jue toujours des loisirs l'oicés. J'ai bien de côté et d'autri' des dé- couvertes géométriciues dont je pourrais faire un livre assez fort, mais je suis distrait lantol par-ci, tantôt par-là et de fréquentes dou- leurs cruelles mettent le desonlre dans mon esprit et ilans les travaux ()ue je voudrais faire. Peut-être réimprimerai-je mon Spccclu'n U.s/n- j-io('), où je pourrai bi(Mi fa ire (j ne 1- ([ue bonne additiou sur les miroirs el les lunettes, aussi bien (|iie sur la description aisée des sections coniques. Je décris en ell'et les ellipses et les bypcrboles par un moyen peu dill'érenf do celui dont j'ai usé pour la paiabole dans ma Geomeiria, Livi-e VI, prop. 5. Mais je ne veux pas vous ennuyer et je dois épargner mes pai'oles devant un loimine aussi savant, aussi versé en lou( genre de sciences, que j'ai pu m'en rendre compte par voire grand Ouvrage sur la CnNiése (' ).

( ') Bologne, i(J32.

(-j QiKPStioncs celcbcrrima' in Genesin, Paris, ifi'.j, in-folio.

CAVALIERI A MERSENNE.

Ilengonio ineam in ipsum obser- iiandam (oslari velit, ac nomino meo salutem diccre.

81

Boiionkc, (lie aS noveinljiis i(34i.

P. V. A. /i'i'-

Obsejiientissimns se/vus,

F. Bon'» C.vvAi.Euius.

Rogo si (jiiid iiovi in Malhema- ticis islhic iruprcssuni si( vcl ali- iindo transmissuin, nt vicissirn me adnioneas.

Je me bornerai donc à vons re- mercier de l'envoi de la ledre <le M. de Beaugrand et à me re- commander de tout cœnrii Voire Révérence, en vous priant de bien vouloir assurer M. Ilérigone de mon dévouement et de lui faire mes compliments.

Bologne, le ?.'> novembre idji.

De Voire liéi'érence

le très humble servileur.

F. Bon^M^AVALiEiu.

P. S. — Je vous demanderai de vouloir bien à votre tour m'in- lormer s'il y a (juelque nouvel Ouvrage de Mathématiques im- primé chez vous ou envové d'ail- leurs.

82 ŒUVHES l»E FEKMAT. - COMPLÉMENTS.

V. EXTRAITS DE LA COHUESPONDANCE

MERSENNE ET DE TORRICELLI.

1. TORRICELLI A MERSENNE.

SEPTEMDIIE lOW.

[Disccpcili di Galile.i, t. Xt., l' '17. recto.]

.... C(i.'t(M-iim verba non invenio, quibus exprimain gradurii adnii- ralionis ad qiieni me rapuorunt i;oomctric:c dcmoiistraliones Clar"" Roborvallii. ([iii taiii... siiblimi inirabili iiiveiito imitas meas nobili- tavit. (iratulor, iimno invidoo hiiic cœlo luiiiisinodi viioriiiii feracitate forliinato. Qiutd si Clar'"' 1)1). de Kernial cl des Caries cjusdom iiotae suiit. manil'esla jani lemeritas est me iillerins progredi in niathemalicis conlempialionibus —

2. MERSENNE A TORRICELLL

25 DÉC.KMBRK l(i'l3.

[Disccpoli Ji Galileo, t. XLl, f° i), recto. J

.... Clarissimiis Geoinetra, Senator Tholosanus Pennatius, tibi (per me) sequens problema solvendum propoiiit, (juod (uo do conoideo acuto intiiiilo aequivaleal.

Iiiveiiire trianguluin rectangiilum in iiumeris, cujus lalus majus sit

COUUESPONDANCE J)E MEUSENNE ET DE TOlUîlCELLl. 8:5

quadratum, suminaqueduorum alioriiin lateriim etiaiii sitquadratum, dcniquo sumina majoris et incdii latcris sit ptiam quadratum.

Exempli gratia : in triangulo 5, 4. 3 oportet 5 esse numerum quadratum : dcinde siimnia 4 cl 3, hoc est 7, foretquadratusnumerus; denique summa 5 ot l, hoc est 9, esset quadrata.

;i. MERSENNE A TORRICELLI.

13 JANVIER lUii.

[Discepoli ill CialiloD, t. XIJ. f° 10, recto.]

— Quterebasaii Cartesius ctFermatiussinte]usdcm metalli. Quid ergo ilubitas, postquam Cartesii Geometria" libros quatuor gallicos, a 3 aut .'( aiiiiis editos, ctTractatus de lacis plants, lacis ad siiperficiern et alia plurirna vidisti aut saltem videra debuisti, cùm eus dudum ad Santiriium Gcnuensem, luum, credo, amicum, miseriin cum aliis Geometricis.

Est tamcn hoc intcr illos discrimeii quod Carlesii sublimius inge- iiium admiremur, ()uiji[ie momento fere perficiat qiiod alii pluribus ineditationibus : teste trochoide, cujus spatium tripluiii et omnes tangentes, ut et hyperbola% cilipsis et eodem modo nolae, stalim atque proposila sunt, demonstravif, vix ut credam ei quidpiam in rébus geometricis impossibile : a quo etiam, vere fuluro, Pliysicam demoiistralam exspectamus —

4. MERSENNE A TORRICELLI. 24 JUIN IGVi.

[Discepoli di Galileo. t. XLI. f" i3.]

(]um autcm chartasupersit, ne de brevitate conqueraris, accipe ine-

thodum reperiendi protinus numeriqui jussas partes aliquotas habeat.

84 ŒU\ HES I)K FEU MAT. — COMPLÉMENTS.

Qua'ris, verbi gralia, (juis sit numcrus liabens og partes aIiquotas;adde

1, flunt Go. Suine parles ejus componciitos, i>, 2, 3, :"), qua' se iinilti- plicaiites faciuiit 60, et ex unoqiioque aufer unitatem : supersunl 1,1,

2, 4< quorum potestales minim;o analoga^ 9, iG, 7, ."), non soluni tribuunt nuineruni (|u;esituni, piita 5o/|0, parles ijç) ali(jUotas liabenlcni seil eliam ex inlinilis eumdem numerum partium babenlibus omnium minimum; etilade reli(|nis numeris. In prtol'atione mea ad llydrauliea numéros babes, (juorum partes aliquota' snnt vel centenarius, vel millenarius, v(d millia parlium. Mirabilis est D. Fermatius in nunie- ricis problematibus solvendis.

Est et reguhi, (jua dicto cilius cognoscatur quoi parles aliquotas babeat numerus datus vel eliam qiiam omnes illius partes aliquota- summam cfiiciant, eliam si parles ilia^ nesciantur.

Doleoquod nedum régula inventa sit qua «que facile reperiaturradix quadratica vel cubica dati numeri, ac data radix eHicit suum quadratum vel cubum. <^Kst> ratio <quidem> difficilior, sed l'orlc supe- rabitur ali(|uando diflicullas

5. TOUKICELLI A MERSENNE.

JUILLET (?) 1G4V.

[Discepoli di Galilno, t. XL, f" .5», recto.]

— Problema pulcberrimum de inveniendo numéro, qui quolcumque partes babeat aliquotas, proponi tantum vidi, reliqua nonduni inlellexi, cujusnam inveiitio sil el (jua l'alione problema solvatur.

Santinium vero caveat quis ne inler amicos meos numeret : im- postorem enim neque inter proximos eum volo

COURESPONDANC.E DE MERSENNE ET DE TOKIUCELLI. 85

6. MEUSILNNE A TORRICKLLI. 2o nÉcKiinRE 104-4-.

[Uisccpuli Ji Galilcn, l. XLI, f" jS, rocto-verso.]

Miror te per plana reperisso, qiia* Fcrniatiiis Discwsu de maximis

habef, qiiem tamcn propria inaïui descriptuiri ad te vcl jani inisit, vol brevi inissuriis est 1). Du Vordiis. Si placet ad mo idem mideie por plana soliituin, iniMani ad Feniiatium et Robervalluin, ut tui fœtuin ingeiiii adinireiitiir et paria référant.

7. MERSENNE A TORRICELLI.

RO.MR, 10 JASVIKIt IGi5.

[Discepoli di Galilco, t. XI.I, f° i:^, l'cclo.]

Ciun nupcr iiivisercm Dominum Du Verdus, Vir Illustrissime, miratus sum quod ad te non misisset tractatum Fermatii de minimis, quod illum pro uno vel altero die Tevenello commodasset amico suo Gallo, qui, non reddito tractatu, Neapolim petiit. Nanique jam alium ejusdem Fermatii tractatum accipe, (juamdiu alium recuperaro; de que tractatu judicium tuum expecto... Quœro le vero ne perdatur illa charta i>'/icmeo* et anasiroplies, ne, si pereat exemplar prinmm, illo semper tractatu careamus....

8. TORRICELLI A MERSENNE.

JANVIER IG'jO.

[ Aulographu MS. Manzoïii, f' l'i, vcrfo.]

.... Primum in epistola tua ha^c habes verba : Uaque jam alium ejusdem Fermatii Iraclatam accipe. Quem tractatum ? Nullus enim in epistola

86 (KUVHES DR FKUMVT. - COMPLEMENTS.

tua traclatus a me repcrtus ost. Dcindc riiihi eoinmendas no pereat quoddam folium Syncriseos et Anastroplics. Oniii per me jam periit; nunquam eiiim memini me vidisse

9. MERSENNIÎ A TORKICBLLI.

k FÊVRIKH 1045.

[ Discopoli di Galileo, t. Xt,I, f° -, recto, 8, recto.]

— Porro jam accipics tractatum illiim Syncriseos, qui ciim a D. Tevenello perditus esset, illum descriln curavi, de quo, post illius lectionem, luum judicium cxpeclarim. Tuus autem sit ille tractalus,

nec eum remitlas, nobis eiiim exemplar superest

Varias chartas fjjeometricas tum Robcrvalli, (uni Fermalii, (|uas iiondum vidisli, in meo sacco reperi. de quibiis ad te scribet Dominus Riccius ut, si quas légère cupis, confestim ad te, ut islius artis cory- pb;eum, miltantur

10. TORRICELLI A MERSENNE.

FÉVIlIKIl IG'jS.

[Autographe JIS. M.anzoni, f" 7, roctc]

Tractatum Syncriseos accopi, sed nondum perlegi.

II. MERSENNE A TORRICELLI.

[Discopoli di Galileo, t. XLI, f" Ji, recto.]

Tuas iiovissimas litteras, Vir Illustrissime, perlegebam, quum tandem meus ex Genua saccus allatus est, quo nomiiilbo chartic geo-

COKI{i:SI'OM)AN(,E DE MEHSENNE ET J)E TORUICELLI. 87

nietrica\ tuni Fennatii, lumRobervalli coiitineiilur; (juas, si volueris, ad te iniltam, iibi tiius illo mirus discipulus D. Ricciiis illas vidciit, (|ui sit ad te scriplunis, iiuiii inercanlur luos ociilos

12. MERSENNE A TORRICELLI. •2C> AOiT IGiG.

[Uiscepoli Ji Galilo", t. XLI, f" 6i> recto, (i'j rcctu.]

*

— Tertio scias velini, me hoc anno Tiiolosates invisisse et prope Hurdigalam per très aut quatuor dies mansissecuin acutissimo Domino Ferinatio.quem taiiti uobiscum facis, quiquc luum inveutum de cylindro hyperholico in infinitum producto mirum in modum extollebat; illud cnim dudum ad eum miseramus, qui tamen nondum vidit tuum lii)rum quem illi pollicitus sum statiin atquc Romà hue advenerit —

Sexto gratissimum faciès, si doceas quid nuper inveueris, (|uiii(iue mente premas, gauderctque summopcrc Fermât ius, si L'djorares in spiralibus aut aliis curvis reperiundis, qu;e redis lineis l'orenl ;equales; caret euim hujuscemodi genio

88 (EUVRES DE FKHMAT. - COMPLEMENTS.

VI. EXTRAITS DES LETTRES

TORRICELLI A CARCAVI.

1. TORRICELLI A CARCAVL

8 JUILLET 1646.

(Discepoli Galileo, t. XL, I- 38; Bibl. nat. de Paris, ms. latin 11 1%, 1° 53) {')

Circa prohlcma numericiim III'"' Senatoris de Format iiiliil inoralus suiii; totiis (Miim alienus a stiuliis omnibus fui integro hoc anno et fortassc etiam in sequcntibus oro, cum aiia mihi vit* ratio ineunda sit. Dubitavi eliain ne problemata ista numerica, quae communem et vulgafam Algebrae methodum fortasse cxcedunt, difficilis adniodum solutionis essent, praescrtim si quis iila tanlum inquirat data opéra, quanquam postea scse ofîer»int processu temporisquandoea disciplina coiitur ex institulo et assidua contemplatione evolvilur. Practerea non tam plausibile mihi videbatur inventnm illud : omnes potestates quarum exponens et caet, si unitate augeantur, numéros primos fieri; illudque : trianguhim rectanguium in numoris reperire cujus bina latera quadratum efllciant, sine alia simili conditione propositum, quod non memini et operae prof ium ducero ingeniolum meum propriae gloriae adeo indignum circa alieiiam diutius torquere. At non hujus modi visuin est probloma lam vastum tam multiplex de infinitis para-

( ') Celle lellre a clé piililiée par M. C.liaiies lleni'y dans Cnlilce, Torricclli, Cavalleri, Castclli : Documents noui,'C(iii.r tires des l)ibtiotlic(jiics de Paris [liea/e Jccadciiiia dei Liiicei. annu Cl^l.XWII (1871J-1K80, y série), Classe di Sciciizc inorali, l. V, sudula del 9.0 giiigno 1S80].

TOr.niCELLl A CARCWI. 81)

holis, quod oi,'0 iiiventiini primo existinial);mi a Cl. Holicrvallio proficisci, dcimle aiulivi ah 111'"" D. de Formai rcpcrLiim... Hoc iinum sciât vclim 111""" l). de Fermât me dcmonstratioiics oinnes cii'ca prae- dictas paraliolas ( cujiiscuiiqiie sint) re[)orissc miiversalissiiiias, licet nescio (|uo pacio dednitio excidcril non adeo nnivcrsalis... Om D. V. ni invcntuiii Miciim de inlinilis hvperholis el si placel eliam de spira- libus slalirn innotcscat non solnni 111'"" de Fermai, sed etiani aiiis "eometris...

•2. TORKICELLl A CAUCAVl. < ICVG >.

[Discepali ili Galileo, I. XL, f" ',0] ( ' ).

... Ml repnio assai piii lionoralo per qiiesla f'ortnna del mio nome che è j:innto alla notizia di V. S. 111""'' c d(d nohilissimo Sii;. Fermai... K verissimo qnanio scrive rill'"" Senator Tolosano Fermât, cioe clie la sua detinizione délie inlinile parabole è pin universale délia sciilla da me... Ora ammirero maggiormente l'ill™" Sig. Fermai del ciii sublime valore io liavevo ben noiizia anco prima : ma pero non sapevo che quella eosi ampia specolazione fusse parlo del suo maraviglioso ingegno. Io non ho proceduto più avanli inlorno alla predelta maleria; si [lerche mi basiava l'iiavere seoperlo molle délie cose proposlemi con liaverne aggiunte alcun' altre di mia invenzione, coine anco per aver inteso che il metodo d(d Sig. Format non é segreto appresso l'autor solamenle, ma da lui conl'erilo anco a gli amici... Dimostrai alcuno cose acccnnalemi dal P. Merscnne e credo che una del Fermai, circa la materia de maximis et minimis, ve no aggiunsi di piii alcune délie mie trovale cou (|uella occasione; ma non stimandole io degue di cosi alli iulellelli come V. S. III'"'' c Sig. Fermât, mi baslerii averle comuni- cate al V. .Merscnne...

(') CeUc letU-e a élo publiée p;ir M. Gliiiiassi {/.cllfrc fin ijiti inédite di /-^vangclista Torricelli, Kacn/.a. 1S6.1, p. )-2-54).

Ff.rsut. — IV.

90 ŒUVRES DE FEFSM AT. — COMPLEMENTS.

Vil.

EXTRAITS

COIIRESPONDANCE DE DESCAUTES.

1. DESCARTES A iMERSENNE.

<25 MAI 1G37> (')•

Vous iirenvoyez aussi une proposition d'un Géomètre, Conseiller de Thoulouse, qui est fort belle, et qui m'a fort réjouy : car d'autant qu'elle se résout fort facilement par ce que i'ay écrit en ma Géométrie, et que i'y donne généralement la façon, non seulement de trouver tous les lieux plans, mais aussi tous les solides, i'espere que si ce Conseiller est homme franc et ingénu, il sera l'un de ceux qui en feront le plus d'estat, et qu'il sera des plus capables de l'entendre : car ie vous diray bien que i'appreliende qu'il ne se trouvera que fort peu de personnes qui l'entendront (-' ).

(') Tome I de la Correspondance, édition Cli. Adam cl 1'. Taiinery, p. 377. (') Il s'agil de la proposition envoyée à Itohorval par Fcniial en février i(J37 (OEuvrcs (le Fermai, t. II, p. 100). Voir ci-après LeUre du '-3 août i638.

CORRESPONDANCE DE DESCARÏES. 91

2. DESCARTIiS A iMERSENNE.

• < FIN DÉCKMRRE 1C37?>.

... et que neantmoiiis les plus liabiles ont tasché de trouver les autres choses que Pappus dit au mesme endroit avoir esté cherchées

par les anciens, comme et autres, du nombre desquels il faut

mettre aussi M. vostre Conseiller De maximis el minimis; mais aucun de ceux-là n'a rien sceu l'aire que les anciens ayent ignoré (')

le n'ai pas tant de désir de voir la démonstration de Mon sieur de Ferqjiat contre ce que i"ay écrit de la refraction, que ie vous veuille prierde me l'envoyer par la poste ( - )

3. DESCARTES A MERSENNE.

< JANVIER 10.18? > (').

l'ay rcceu l'écrit de Monsieur de Fermât, avec un billet que vous

aviez mis dans le pacquet du Maire le vous renvoyé l'original de

sa démonstration prétendue contre ma Dioptrique, pource (|ue vous me mandiez que c'estoit sans le sceu tie l'autheur que vous me l'aviez envoyé. Mais pour son écrit De maximis et minimis, puisque c'est un Conseiller de ses amis qui vous l'a donné pour me l'envoyer, i'ay crû que i'en devois retenir l'original, et me contenter de vous en envoyer une copie, veu principalement qu'il contient des fautes qui sont si apparentes, qu'il m'accuseroit peut-estre de les avoir supposées, si ie ne retenois sa main pour m'en dellendre. En elfet, selon que i'ay pu iuger par ce que i'ay veu de luy, c'est un esprit vif, plein d'invention

(') Tome I, |i. !\-^. (-) Tome I, p 4ïîo- (■"j Tome 1, [). 4S3-

92 ŒL'VHES 1>E FERMAT. - COMPLEMENTS.

et do liardiesso, (|ui s'est à mon iidvis piecipité un peu trop, et qui avant acquis tout li'un coup la réputation de scavoir hoaucoup en Algèbre, [louren avoir peut-estre esté loué j)ar des personnes qui ne prenoient pas la peine ou ([ui n'estoient pas capables d'eu iuger, est devenu si hardy, (|u'il n'apporte pas, ce me sendile, toute l'attention qu'il faut à ce qu'il l'ail. le serav bien-aise de scavoir ce qu'il dira, tant de la lettre jointe ii C(dle-cy, par laquelle ie répons à son écrit De ina- ximis et minimis, que de la précédente, où ie répondois à sa démon- stration contre ma Diop(ri(|ue; car i'av écrit l'une et l'autre, alin(|u"il les vove, s'il vous plaist: mesnie ie n'av point voulu le nommer, afin qu'il ail moins de boule des l'anles que i'v remarque, et parce que mou dessein n'est point de fascber personne, mais seulement de me defîendre. ]']t pource que ie inge qu'il n'aura pas manqué de se vanter à mon préjudice eu plusieurs de ses escrits, ie crov qu'il est à propos que plusieurs voyent aussi mes dell'enses; c'est pourquoy ie vous prie (le ne les luy point envoyer sans en retenir copie. VA s'il vous parle de vous renvoyer encore cy-apres d'autres escrits, ie vous supplie de le prier de les mieux digérer que les precedens; autrement ie vous prie de ne prendre point la commission de me les addresseï'. Car entre nous, si lors (ju'il me voudra l'aire l'bonneur de me proposer des objections, il ne veut pas se donner plus de peine ({u'il a pris la [»i'emièi'(> l'ois, i'aurois bonté qu'il me fallusl prendre la peine de répoudre ii si peu de chose, et ie ne m'en pourrois lumnestement dispenser, lois (ju'ou sçauroit (|ne vous me les auriez envoyées

4. DESCARTKS A MI'KSIiNNli

<-2.ï jANvn;R 1C:58?> (').

... le ne vous renvoyé point encore les écrits de Monsieur Fer( niat) ( ' ) Tome I, |i. 5o3.

COKHESPONDANCE DE DESCAllTES. 93

De Locis plu/lis et solidis, car ie iic les ay |ioii)( ciicorc lus; et pour vous en parler l'ranclKMnciit, ie ne suis [)as résolu de les rei^arder. «|ue ie n'aye veu preuiiereuieut ce qu'il aura répondu aux deux ledres que ie

vous ay envoyées pour Iny l'aire voii- et toute la civilité dont i'ay

crû pouvoir user envers .Monsieur (Fermât) a esté que i'av feint d'ignorer son nom, aiin (jn'il sçaclie que ie ne répons qu'à son Écrit, et ([ue vous ne m'avez envoyé que ses objections, sans y engager sa réputation

5. DESCARTES A IMYDORGE.

< 1" MAUS 1638 > (').

Monsieur,

I'ay appris du Révérend Père Mersenne que vous avez, il y a quelque temps, soutenu mon parly en sa présence; et l'afleclion ([ue vous m'avez lousiours témoignée m'assure (jne vous faites le semblable eu toutes les occasions, lesquelles ne manquent pas sans doute d'estre fréquentes; cai' i'a[)prens qu'on me met souvent sur le tapis en bonne compagnie, le ne veux pas m'estendre icy sur les complimens pour vous remercier; car mes paroles ne pourroient égaler mou ressenti- ment. .Mais ie veux faire comme ceux ([ui ont coustnme d'emprunter de l'ai'giMil; ils s'adressent tousiours plus librement à ceux à cjui ils doivent desia, qu'ils ne l'ont à d'autres, et ainsi vous estant desia très oblige, ie me veux obliger à vous encore davantage, en vous suppliant de voir les [lieces d'un [)etit procez de Mathématique (|ue i'ay contre Monsieur de Fermât, et d'en iuger, non point en me favorisant, mais tout à fait selon la iustice et la vérité. Il est vray (|ue i'ay aussi à vous prier, outre cela, dt; faire seavoir vostre iugement à tous ceux (jui en auron t oiiy parler, et c'est ce queieliendray pou ru ne très-grande faveur.

( I ) Tome II, |i. I j-?.j.

94. (EUVRES T)E FERMAT. - COMPLÉMENTS.

La première des pièces que ie vous prie de voir, est une Lettre de Monsieur Fermât au Père .Mersenne, où ii réfute ma Dioptrique. La seconde est ma réponse à cette Lettre, dont ic vous envoyé la copie. La troisième est un Escrit Latin de Monsieur de Fermât De rnaximis et minimis, qu'il m'a fait envoyer, pour monstrer que i'avois oublie cette matière en ma Géométrie, et aussi qu'il avoit une façon pour trouver les tangentes des lignes courbes, meilleure que celle que i'ay donnée. La quatrième est ma réponse à cet Escrit. La cinquième est un Escrit de quelques amis de Monsieur de Fermât, qui répliquent pour luy ii ma réponse. La sixième est ma réponse ii ses amis, laquelle ie vous envove en ce pacquet, et ie vous prie d'en retenir une copie avant ([ue l'original leur soit mis entre les mains par le Révérend Père Mersenne. La septième est une réplique de Monsieur de Fermât à ma première ré[)onse touchant ma Dioptrique. Le Révérend Père Mersenne vous fournira toutes celles de ces pièces que ie ne vous envoyé pas, ou bien, s'il luy en manque quelques-unes, ie vous les envoyeray si-tost que l'en auray avis, afin que mon procez soit tout instruit.

Au reste, afin que vous puissiez plus commodément remarquer les fautes de la dernière Lettre de Monsieur de Fermât, à laquelle le n'ay pas voulu répondre, pour la cause que vous verrez, ie mettray icy les principales.

Premièrement, où il dit que i'ay accommode, mon médium à ma conclusion, et qu'il me seroit mal-aisé de prouver que la division des déterminations dont ie me sers est celle qu'il faut prendre, d'où il passe incontinent à d'autres matières, il monstre n'avoir point eu du tout de quoy répondre à ma première lettre, en laquelle i'ay clairement prouvé ce qu'il demande, en faisant voir (ju'il ne faut pas considérer la ligne tirée de travers par son imagination, mais la parallèle et la perpendi- culaire de la superficie où se fait la réflexion, pour la division de ces déterminations.

En l'article (jui commence : le remarque d'abord, il veut que i'aye supposé telle dillerence entre la détermination à se mouvoir çà ou là et la vitesse, qu'elles ne se trouvent pas ensemble, ny ne puissent

COHHESPONDANCE DE DESCARTES. 95

estrc cl irai 11 liées par une mesme cause, à sçavoir par la toile CBE {fig. 20) : ce qui est contre mon sens, et contre la vérité; veu mesnie

Fis. ■.^"•

que cette détermination ne peut estre sans quelque vitesse, bien qu'une mesme "vitesse puisse avoir diverses déterminations, et une mesme détermination estre jointe à diverses vitesses.

En l'article suivant il y a un Sophisme, ou, ce (jui est le mesme en matière de démonstration, un Paralogisme, en ces mots : Elle avance à proportion moins vers BG que vers BE, donc elle avance à proportion davantage vers BE «/«e l'er* BG. Il coule ce mot deproportion, qui n'est point du tout en mon Escrit, pour se tromper. Et de ce que, puis qu'elle avance moins vers BG que vers BE à proportion (c'est-ii-dire en com- parant seulement BG et Blî l'une à l'autre), elle avance aussi davantage à proportion vers BE que vers BG, il conclud qu'il est vray. absolument parlant, qu'elle avance plus vers BE qu'elle ne faisait auparavant.

Un peu après, où il dit ces mots : Voyez comme il retombe en sa première faute, c'est luy-mesme qui retombe en la sienne, voulant que la distinction qui est entre la détermination et la vitesse ou la force du mouvement, empesche(|ue l'une et l'autre ne puisse estre changée par la mesme cause. Et il fait un Paralogisme en ces mots : puisque la halle ne perd rien de sa détermination à la vitesse, ce qu'il n'emprunte nulle- ment de moy, veu que ie ne dis rien de semblable en aucun lieu; et sa faute est d'autant plus grande (ju'il m'accuse de faire un Paralogisme en le faisant.

Tout ce qui suit après n'est «jue pour préparer le lecteur à recevoir

90

ŒUVRES DE FEHMAT. — COMPLÉMENTS.

un autre Paralogisme, qui consiste en ce qu'il parle de la composition du mouvement en deux divers sens, et infère de l'un ce (|u'il a prouvé de l'autre. A sçavoir, au premier sens, il n'y a [)ropreinent (]ue la détermination de ce mouvement qui soit composée, et sa vitesse ne l'est pas, sinon en tant qu'elle accom[>agne cette deferminalion, comme on voit en la seconde figure, que faisant AH {fig. 21) égal ;i NA et aussi

Fis- 31.

à BN, ce mouvement composé, qui va d'A vers B, n'est ny plus ny moins viste que chacun des deux simples, qui vont, l'un d'A vers N, et l'autre d'A vers C, en mesme temps; et ainsi on ne peut dire (jue ce soit sa vitesse (jui est composée, mais seulement que c'est sa deter- minalion d'aller d'A vers B, qui est composée de deux, qui sont l'une d'aller d'A vers N, et l'autre d'A versC. Et cependant la vitesse du mou- vement d'A vers B peut estre ou égale, ou plus grande, ou moindre, selon que l'angle CAN est, ou de 120 degrez, ou plus aigu, ou plus obtus; non pource qu'elle est composée de celle des deux autres mou- vemens, mais en tant(|u'elle doit accompagner la delei'tnination com- posée, et s'accommoder à elle. Au lieu qu'en son second sens, (|ui est le mien en la figure de la page 20, il n'yatjue la vitesse du mouvement (jui se compose : à sçavoir, elle se compose de celle ({u'avoit la balle en venant d'A {Jig. ■l'i) vers B (car elle dure encore de B vers D) et de celle que la raquette (jui la pousse au point B luy adjoùte. De façon

CORRESPONDANCE DE DESCARTES. 97

que c'est icy la vitesse seule qui suit les loix de la composition, et non pas la détermination, laquelle est obligée de changer en diverses façons, selon qu'il est requis afin qu'elle s'accommode à la vitesse. Et la force de ma démonstration consiste en cela, que i'infere quelle doit estre la détermination, de ce qu'elle ne sçauroit se trouver autre que telle que ie l'explique, pour se rapporter à la vitesse, ou pour mieux dire ;i la force qui la commence en B. Mais son Paralogisme consiste

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1

en ce qu'il conclud, touchant la composition de la vitesse, après n'avoir rien prouvé que touchant la composition de la détermination, nommant l'une et l'autre composition du mouvement.

Et il continue ce Paralogisme iusques à la tin, où il conclud que le mouvement composé sur BI (c'est à dire duquel la vitesse est composée) n'est pas tousiours également vistc, lors que l'angle GBD, compris sous les lignes de direction des deux forces (c'est-ii-dire sous les lignes qui marquent comment se compose la détermination de ces deux forces), est changé; tirant cette conclusion de ce qu'il a aupara- vant prouvé, touchant le mouvement duquel la détermination est composée, et non la vitesse, que la vitesse change, quand l'angle change. Mais vous sçaurez mieux voir ses fautes que moy, et s'il reste (|uelque difficulté en tout cecy, ([ue ie n'aye pas assez expliquée, vous m'obligerez, s'il vous plaist, de m'en avertir.

En ma réponse à son Escrit A>e maximis et minimis, ie n'ay pas voulu dire particulièrement où estoit la faute de sa règle, ny celle de son

KlRMAT. — IV. l3

98 ŒUVRES 1)H KEISMAT. — COMPLEMENTS.

exemple, pour trouver la tangente do la parabole, tant pour éprouver s'il les pourroit corriger lie luy-mosme, que pource ([ue i'ay crû qu'il ne trouveroit pas bon (l'cstre instruit par moy. Mais vous verrez que la faute (le sa règle eonsiste principalement en ces mots : in terminis suh Ael Egrar/ihiis ut libel cocfficicntihus. Ce qui ne vaut rien, comme il se voit par l'exemple ([ne i'av donné, touchant la parabole. Mais au lieu dç ut libel, il faudroit mettre vijs a priorihus diversis, ou bien per diversum médium, ou ([uel(|ue chose de semblable, et alors elle seroit assez bonne et serviroit en ce mesme exemple (jue i'ay donné pour la reluler. Il v aiiroit bien toutesfois encore (juelqu'autre chose à y changer, mais ([iii n'est pas de si grande importance; car celle-cy est la pièce la plus nécessaire de toute la règle; en sorte que l'ayant mise, il monstre n'estre pas encore fort versé en l'Analyse, ou du moins n'y seavoir encore rien de ferme et de solide. Pour sa faute en l'exemple où il cherche la tangente de la parabole, elle est extrêmement grossière; car il n'y met rien du tout (]ui détermine la parabole, plustost (|ue toute autre ligne que se puisse estrc, sinon ([ue maior est proporlio (]l) ad DI quam rpiadrali BG ad quadratum 01, ce (|ui est autant ou plus vrav en l'ellipse (|u'eii la parabole, etc.

le vous prie (|ue Monsieur Ilai'dy ait aussi fa communication des pièces de mon procez. \\\ ie ne desii'e point qu'elles soient cachées à aucun autre de ceux (|ui auront envie de les voir. Mais deux des amis de Monsieur de Fermât s'estanl meslez de soutenir sa cause, ie me suis promis (|ue vous n'auriez pas désagréable (]ue ie vous employasse tous deux pour la mienne.

Au reste, permettez inoy que ie vous demande comment vous gou- vernez ma Géométrie; ie crains bien que la difficulté des calculs ne vous en dégouste d'abord; mais il ne faut (jue peu de iours pour la surmonter, et par après on les trouve beaucou[) plus courts et plus commodes que ceux de Viete. On doit aussi lin» le troisième Livre avant le second, à cause qu'il est beaucoup plus aisé. Si vous desirez que ie vous envoyé quelques addresses particulières touchant le calcul, i'ay icy un amy ([ui s'olfre de les écrire, et ie m'v offrirois bien aussi.

COKISESI'OXDANCE Dl' I) i:sr.\ HTES. 09

niiiis l'en suis moins capable ((iic liiy, à cause quo ic no sçay pas si bien remarquer en quoy on penl Iroiiver de la difficulté, le suis. . .

6. DESCARTKS A .MKHSENNIÎ. < 1" MARS 1G38>.

...vous leur direz, s'il vous plaist, (ju'ils |)euvent donc, si bon leur semble, addresser leur écrit à mon Libraire, comme i'ay mis au Discours de ma .Aletbode, page 75, mais qu'après avoir veu la dernière lettre de M. de Fermai, où il dit qu'il ne désire pas qu'elle soit imprimée, ie vous ay prié tres-expressemeiit de ne m'en plus envoyer

de telle sorte ( ' )

le viens à la seconde, où vous me mandez avoir diiïeré d'envoyer ma Réponse De maximis et minimis à ^lonsicur de Fermât, sur ce (|ue deux de ses amis vous ont dit (|ue ie m'estois mépris. En quovi'admire vustre bonté, et pardonnez-moy si i'adjoùte vostre crédulité, de vous estre si facilement laissé jiersuader contre moy par les amis de ma partie, lesquels ne vous ont dit cela que [)our gagner temps, et vous empescher de la laisser voir à d'autres, donnant cependant tout loisir à leur amy pour penser à me répondre. Car ne douiez j)oint qu'ils ne luy en ayent mandé le contenu; et si vous l'avez laissée entre leurs mains, ie vous prie de voir s'ils n'en auroient point elfacé ces mots : E iiisques a {-), et mis en leur place : \i pris en. Car ils me citent ainsi en leur Escrit pour corrompre le sens de ce que i'ay dit, et trouver là dessus (|uelque chose à dire; mais s'ils avoient changé quelque chose dans le mien (de quoy ie ne veux pas les accuser), ils seroicnt faussaires, et dignes d'infamie et de risée. l'envoyc ma Réponse à

( ' ) Tome II, p. 2").

(-) (;f. Correspundaiicc de Dcscanex, lonie 1, p. 4^7, 1- i*>-

100 ŒUVRES DE FEKM.AT. — (,0M F'LÉMENTS.

Monsieur Midorgc, et ie l'ay enfermée avec la lettre que ic luy écris ( ' ), afin que, si vous craignez qu'ils trouvassent mauvais que vous luy eussiez fait voir plustost qu'à eux, vous puissiez par ce moyen vous en excuser. Mais ie vous prie, en donnant le pacquet à Monsieur Midorge, de luy communiquer aussi : i" la première lettre que Monsieur de Fermât vous a écrite contre ma Dioptrique; 2° la copie de son Kscrit De maximis et minimis; 3° ma réponse à cet Escrit; 4" 'a copie de la réplique de M. de Roberval; ,o° et celle de la repli(|ue de Monsieur de Fermât contre ma Dioptrique. Car ces cinq pièces luy sont nécessaires pour bien examiner ma cause; et ce seroit me faire grande injustice de ne monstrer leurs objections et mes réponses qu'aux amis de Monsieur de Fermât, afin qu'ils fussent en semble juges et parties (-). . .

Gardez-vous aussi de mettre les originaux entre les mains des amis de Monsieur de Fermât, sans en avoir des copies, de peur ([u'ils ne vous les rendent plus; et vous luy envoyerez, s'il vous plaist, mes réponses, si-tost (jue vous les aurez fait copier. Tout Conseillers, et Presidens, et grands Géomètres que soient ces Messieurs-là, leurs objections et leurs dellenses ne sont pas soùtenables, et leurs fautes sont aussi claires qu'il est clair que deux et deux font quatre (^)

le viens à vostre dernière que ie n'ay receué qu'auiourd'huy, et il sst minuict, car depuis l'avoir receuë i'ay écrit à Monsieur Midorge, à Monsieur Hardy, et la réponse à la dernière de Monsieur de Fermât. J'admire vostre crédulité de vous estre laissé abuser par ses amis; pardonnez-moy si ie vous le dis, ie m'assure qu'ils s'en mocquent entre eux ( ')

(') Tome II, lettres CX el CXI, p. 1 et i5 ci-avant. ( -) Tome 11, p, yi)-?.;. (3) Tome II, p. ■>«. (') Tome 11, p. 2()-3o.

COUIJKSl'ONDANCK DE DESCA RTKS. 101

7. DHSCAUTES A IIUYGENS.

<MARS 1G38>.

Il y a un Conseiller de Thoiilouse qui a un peu disputé contre ma Dioptrique et ma Géométrie; puis quel(|ues(ieonielres de Paris lu\ ont voulu servir de seconds; mais ie me trompe Tort, ou ny luy ny eux ne sçauroient se (lé-^Mger de ce combat, cju'en confessant que tout ce qu'ils ont dit contre moy sont des paralogismes (' )

8. DliSCAUTES A MEHSENNE. 31 MARS 1638.

le viens à la 2*, ou vous respondez a ma précédente, et ie vous supplie très humblement de m'excMiser, si i'ay iugé que les amis de M'' Fermât vous avoient déconseillé de luy envoyer ma response, etc. le pensois en avoir de (grandes raisons, pource que vous m'en escriviez comme de personnes qui estoicnt extrêmement ses amis, et qu'ils ne trouvoient à reprendre en ma response qu'une chose qu'ils citoient tout au contraire de ce (jue i'ay escrit. Mais encore qu'il eust esté vray, de quoy ie n'ay plus aucune opinion puisque vous me mandez le contraire, ie vous supplie de croyre très assurément (|ut' ny cela ny aucune autre chose qui puisse arriver n'est capable de diininuer en aucune sorte mon affection très extrême a vous servir et ma reconnais- sance pour une infinité d'obligations que ie vous ay (')

Vous avez grande raison de m'avertir que ie ne face point imprimer

( ') Tome II, p. 'l'j. (2) Tome II, p. 88.

102 ŒUVIU:S DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

ce (|ue le S'' Petit a cscrit contre M'"* de Roberval et de Fermât, et ie suis bien ayse de ce qu'il me permet de le retrancher; mais ie n'y aurois pas man()ué, encore qu'il ne me l'auroit pas permis, car autrement ie partioiperois a sa faute, et ie n'ay point droit de faire imprimer des médisances, sinon celles qui' me regardent tout seul, affin de m'en pouvoir iustifier.

le suis bien avse d'apprendre que M'"" Pascal et Roberval n'ont point de si [)arliculiere liaison avec M'' de Fermât, que vos lettres m'avoient fait imaginer; car cela estant, ie ne doute point ([u'ils ne se

rendent enfin à la vérité, etc., etc. (' )

Kt de ce genre sont celles dont i'av parlé en ma response à jM'iIc Fermât sur son cscrit De maximis et minimis, pour l'avertir que s'il vonloit aller plus loin (jue moy, c'estoit par la qu'il devoit passer. Enfin il y en a (jui appartiennent a l'Arithmétique et non a la Géométrie, comme celles de Diophante, et -i on 3 de celles dont ils ont fait mention en leur response pour M'" Fermât, a toutes les(|uelles ie ne promets pas de

respondre ny mesme seulement d'y tasclier

Et toutcsfois affin (ju'ils n'aycnt pas pour cela l'occasion de croyre que i'ignore la façon de les trouver, ie mettray ici la solution àv ('.(dles qui estoient en leur papier (-)

9. DESCARTES A MERSENNE. < l;5 jin.i.ET 1G38>.

Vous y [dans le paquet] trouverez le reste de l'Introduction à ma Géométrie, que ie vous avois envoyé cy-devant; ce reste ne contient que cinq ou six exemples, l'un desquels est ce lieu plan dont M-" (Fermât) a tant fait de bruit (') ;

( ') Tome II, p. 89-90. (-) Tome II, p. 91. ( ') T(mic II, p. 240.

COHIIKSPONDANCK DE DESCAKTES. 103

le vous envoyé aussi iiioii sentiment toucliant la question de la Geostatiqiie; et ie vous diray (|ii(', regardant [)ar liazard ces iours passez en la Statique de Stcvin, i'y ai trouvé le centri; de gravité du Conoïde Parabolique, lequel vous m'aviez mandé cy-devant vous avoir esté envoyé par M'' (Fermât), ce (|ui me l'ait étonner (jue Iny, ([ni est sans doute [dus curieux ([ue moy de voir les livres, vous l'eust envoyé comme sien, vu nu'snu' que Stevin le cite de Commandin (')

l'en estois parvenu iusques icy lors que i'ay receu vostre dernière avec l'enclose de M'' (Fermât) (-), à laquelle ie ne manqneray de répondre à la première occasion, et ie serois plus marry qu'il m'eust passé en courtoisie qu'en science. Mais pour ce que vous me mandez ([u'il m'a encore écrit une autre lettre [)our la delFense de sa règle, et (|ue vous ne me l'avez point envoyée, i'attcndray que ie I'ay receùe, afin de pouvoir répondre tout ensemlde ii l'une et à l'antre. Va entre nous, ie suis bien aise de kiv donner cependant le loisir de chercher cette Tangente, ([n'il a [)romis de vous envoyer au cas ([lU' ie conti- nuasse il croire ([u'elle ne se [)eut ti'onver par sa règle (')

10. DESCARTES A MElîSENNE.

27 JUILLET 1038.

Pour ce qui est de l'obiection de M'' Fermât contre ma Dioptri([ne(^), il escrit si sérieusement, ([uc ie commence a me persuader <[n'il croit avoir raison, et ainsy ie ne le prens nullement en mauvaise part; mais ie pense avoir grand droit de luv reiulre ses mots, a sçavoir ([ue ie ne sçaurois com[)renilre comment un homme, ([iii est d'ailleurs très habile

( ' ) Toiiio II, p. îij.

(•} ;'oz> Eclnircisscinciit?, |). 25i.

(') Tome II, |). i')i*.

(') f'oir Eclaircissements, p. '.78.

104 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

très bon esprit, entreprend de réfuter une démonstration qui est très ferme et très solide, avec des argumens si fragiles et ausquels il est si aysé de respondre. Car pour ce dernier, a sçavoir que, si la balle qui est au point B {fig. 23) est poussée par deux forces égales, dont l'une

la porte de B vers D, et l'autre do B vers G, elle se doit mouvoir vers I, en sorte que l'angle GBI soit égal a IBD ; et que, tout de mesme, estant poussée de B vers N { ftg. ■i[\) et vers I, elle doit aller vers L i\\\\

divise l'angle NBl en deux parties égales; ces prémisses sont vrayes, mais elles ne contiennent rien du tout qui regarde les refractions, lesquelles ne sont point causées par deux forces égales qui poussent la baie, mais par la rencontre oblique de la superficie ou elles se font; et ainsy ie ne sçay par quelle Logique il prétend inférer de la, que ce que i'en ay escrit n'est pas vray. Mais ie suis bien ayse de ce qu'il promet de respondre a ce que i'ay cy devant mandé àM'Mydorge, tou- chant ses autres obiections; cari'espere qu'en examinant mes raisons, il reconnoistra que ce qu'il nomme maintenant des subterfuges, sont des veritcz très certaines, par lesquelles i'ay repondu a des sophismes. Et si ma démonstration n'est pas comprise par plusieurs, il ne doit pas conclure de la qu'elle manque d'estre évidente, mais seulement que la matière en est difficile, ainsy qu'il en y a plusieurs dans Apollonius et

COMUESl'ONDANCIi DE DESCARTES. 105

Archiniodc qui ne laissent pas d'estre fort évidentes, encore qu'il y ait quantité d'honncstes gens et très habiles en autre chose, qui ne sçauroient les comprendre (').

Le raisonnement dont >L Fermât prétend prouver le mesme (pie le Geostaticien (^), est deleclueux en deux choses : la première est ([u'il considère B et C (//^^. 2j) comme deux cors séparez, au lieu (lu'estant

Kig. 35.

=Ô

ioins par la ligne BC, qu'on suppose ferme comme un baston, ils ne doivent esire considérez que comme un seul cors, duquel le centre de gravité estant au point A, ce n'est pas merveille si l'une des parties de ce cors se hausse, aflin (|ue les autres s'abaissent, insques a ce que son centre de gravité soit conioint avec celuy de la terre. Et la i^ est, <|u'il suppose comme chose certaine (|ne cela est, a seavoir <|ue le poids C, estant parvenu au centre de la terre, doit passer de l'autre costé, aftin de permettre a l'autre de s'en approcher, ce (|ui avoit besoin d'estre

prouvé, a cause qu'on le peut nier avec raison (•^)

l'en estois parvenu inscjues icy, lorsque i'ay receu vostre dernier pacquel du 20 de ce mois, lequel ne contient que des escrits de .M' Fermât, ausquels ie n'ay pas besoin de faire grande response; car j)our celuy ou il explique sa méthode ad maximas, il me donne assez gaigné, puisqu'il en use tout autrement (ju'il n'avoit fait la première

(') Tuiiic II, |). -iGi-TG).

(-) PnoposiTlo Gkostaticv Domini de Fermai (OEiaTcs de Fermai, loine 11, p. (>).

(') Tome II, p. ^jo.

rF.nuAT. — IV. 14

10(1 (KUVUKS 1)K FEIÎMAT. - <:0M ELEMENTS.

fois,airin «le la pouvoir accommodera l'invciilioii de la tangente que ie luy avois proposée; et selon ce dernier biais ([u'il la prend, il est certain qu'elle est très bonne, a cause (|u'e!le revient a celuy duquel i'ay manilé cv-devaiil (|iril la faioil jnciidre. 1mi sorte que, pour en dire entre nous la vérité, ie croy que s'il n'avoit point vu ce que i'ay mandé y <levoir estre corrigé, il n'eiist pas sceu s'en deniesler. le croy aussy (|ue toute cete chiquatierie de la ligne lîB seavoir si elle devoit estre nommée la plus grande, que ses amis de Paris ont l'ait durer un demi-an , n'a esté inventée pai' i-ux (|ue pour Iny donner du lems a chercher (|uel(|ue chose lie mieux pour me respondre. VA ce n'est pas grande merveille (|u'il ait trouvé en six mois un nouveau biais pour se servir de sa règle; mais on n'auroit pas de grâce de leur parler de cela, car il n'importe pas en combien de tems ny en (jnelle (açon il l'a trouvé, puisqu'il l'a trouvé ( ' ).

II. J^KSCARTRS A .MEliSENNE. 2:5 AOUT 1G;J8.

Pour l'introduction a ma Géométrie, ie vous assure qu'elle n'est nullement de moy, et ie I'ay seulement a peine onv lire un peu devant que l'entermasse en mon pacquet. I^^t i'ay honte de ce (jue vous avez escrit a M'' Fermai, que iy ay résolu son lieu |)lan ; car il est si facile par ma (leometrie, que c'est tout de. mesme que si vous luv aviez mandé que i'av pu inscrire un triangle dans un cercle (-)

.I'ay considéré exactement la démonstration prétendue de la roulete envoyée par M. Fermât, la(|uelle commence par ces mots : Lecfnire du demi cercle^, le (Harnclr('.,elc. (''). Mais c'est le galimalhias le plus ridi-

( ' ) Toiiio II, p. -i-'i ■.>7).

(- ) ïoiiic II, |i. j'5.'..

(^) C'jUc domoiislratioii sur l'aire de la cycloïile est perdue.

(:()UUi:SP()NI)ANCE l)K DKSCAUTI-IS. 107

cille que i'ave encore iainais vu. Kw ellcrt il moiislrc par la que, n'ayioit rien sceu tmuvor de bon toucharil, cete rouletc, et ne voulant pas pour cela demeurer sans respoiise, il a mis la uu discours embarassé qui ne conclud rien du tout, sur l'espérance <|u'il a eue que les plus babiles ne renfeudroieut pas. et (|ue les autres croiroient cependant qu'il i'aiiroit trouvée. Si le Sieur de Kobcrual s'est conli'ule de cela, on peut

bien dire eu bon latin (jih^ mii/iis muliirn frical ( ' )

l'eserirois aussy a Ai. Hardy, mais ie n'ay pas le tems; ie suis son

très luimble serviteur, et ie le prie (b point l'aire voir ce (|ue ie luy

ay mande cy devant de la règle de maximis, si ce n'est (|u"il l'ait desia fait ; car i'ay mis cy dessus, en ce que ie respons a la lettre de M. Fermât, (jue le ne croy pas encore (|n'il sçaidie la démonstration de sa règle, s'il ne l'a apprise de la Ç ).

2. DlilSCARTES A .MKKSENNK. 1 1 ocTouiti; 1638.

i'ay ry de ce que vous a écrit Monsieur (Fermât) (') toucbant des centres de Granité, à seavoir que ce qui est de plus merneilleux, c'est qu'on les trouue par sa méthode : ([uand cela seroit, voila grande merueille; et ([ue cette méthode est plus à luy ({u'aux autres. Mais ie vous assure (|u'on les peut trouver tous sans aucune Analyse, et mesme (|uasi sans mettre la main à la plume, en tirant seulement ({uelques conséquences de ce ({ui est dans Archimede, ainsi que ie vous ay mandé dès la première l'ois qu'il en écriuist (' ).

Cour la (jueslion des quatre Globes ('), ie croy bien (|ueM. F(ermat)

(I) Tome II, p. nw.

C) Tome 11, p. ji5.

(^) lo aoiU iCjS (f/Eitvrrs de Fermât, loiiiu 11, p. i(i(i-i(j-).

(■') Tome II, p. jijo.

(•") Voir Eclaircixsciiienl, p. \o'>.

108 ŒUVHES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

peut voir de loin le moyen d'y parnenir. mais la dilTicuité est à en demesler le calcul, ce (jue i'ay peine à croire (\n'[\ puisse faire par l'Analise de Viete; et pour preuue de c(da vous pouuez le convier à vous eu enuoyer le fait, à sçauoir, posant les quatre rayons des Sphères données estre, par exemple, a, b, c, d, luy demander (]uel est le rayon de la plus petite Sphère Concaue dans laquelle elles puissent estre enfermées; car vous verrez bien s'il s'accorde auec le fait que vous auez (').

(La roulette). Et eullu l'exemple de .M. F(ermat), qui, après l'auoir sceu, comme moy, du Cercle, a nié au commencement qu'il fust vray, (-) monstre assez (jue cela n'aide gueres à en trouucr la démon- stration (')

Et pour la réfutation de l'opinion de Galilée touchant le mouuement sur les IMans Inclinez, M. F(ermat) se méconte, eu ce qu'il fonde son argument sur ce qui; les poids tendent vers le Centre de la Terre, qu'il imagine comme vu poinct, et Galilée supose qu'ils descendent par des lignes j)aralléles. (')

13. DESCARTES A MERSENNE.

15 NOVEMBKK IC38.

La façon dont Monsieur F(ermat) a examiné la Tangente de la Roulette, se raporte à celle dont Archimede s'est servy pour la Tangente de la Spirale, et c'est presque la seule qu'on peut auoir pour telles lignes. Sa première construction estoit générale; car il y avoit adjousté ces notes, ou s(!inblables : Et si la base est double de la Circon- férence du Cercle^ on doit prendre le double de telle ligne; si triple, le

(•) Tome 11, |i. 3i)3.

(*) Œuvres de Fermât, tome II, p. i!5j.

{' ) Tome II, [I. il) 5 .

(') Tome 11. |). f\r)}..

COIUÎESPONDANCE DE DESCAUTES. 109

triple, etc. : ce qui estoil vray et sufïisoit pour faire connoistre qu'il l'auoit trouuôe généralement (').

le n'ay point icyd'Aristote, pour y voir la question que M. F(ennat)(=) tlil que Galilée n'a pas entendue; mais ie n'y trouue pas plus de diffi- culté qu'à concevoir comment vn homme, qui marche lentement, est vnc heure à faire le mesme chemin qu'il peut faire en demy-heure, lors (ju'il va plus viste, etc. (•').

le viens à vostre dernière lettre, où vous commencez par ce que vous a écrit M. (Fermât) ('), de (juoi i'apprens qu'il n'a point du tout entendu ce qu'il pense avoir refuté en ma Dioptrique; car il dit que mon principal raisonnement est fondé sur vne chose entièrement contraire à mon o|)inion, et à ce que i'ay écrit. le m'étonne qu'il se soit si fort laissé préoccuper par sa première imagination, que ie n'ave pu luy faire entendre ma pensée par mes réponses. Cependant ie vous remercie des re[)roches ()uc voiis luy auez fait pour les bruits qu'il a semez ; mais ie luy en veux moins de mal, à cause que ie vov iju'il n'en a parlé que selon sa créance (*)

14. DESCARTES A MERSENNE.

[décembre 1638].

... le ne laisse pas de vous auoir beaucoup d'obligation de la peine que vous auez prise de m'enuoyer copie de la Lettre Géométrique de M. (Fermât) (''). Mais seachez ([uc tout ce qu'il a écrit de la Tangente

(') Tome II, p. 434.

(*j Voir /■Jctaircissemeith., \>. îjo.

(3) Tome 11, i>. 43fi.

(') Dans une leUie perdue.

(' ) Tome II, p. 4 'ij.

(^) Kermat à Merjenne, ri oclobre i()38 (Œin'rcs ilc /■'cr/mil. lome 11. p. iGi)-i7(J).

110 (FAIVHES DE FEItMAT. — (.() MI'LEM RNTS.

du galand {[\\\ fait l'angle ilc 4 ) degré/,, ne sert de rien que [)Our nous monstrer (|u'il ne l'a point trouuée; car de la vouloir réduire, eornuie il l'ait, a:l locos solidos, c'est vnc grande l'aule, à cause que le prohiesine est plan. I']t tout de niesiue, en sa secon<le façon, où il la réduit à vue é([uation de ([narré de (|narré, laquelle il ne démeslc point, il s'arreste iustenieni au inesnu' endroit où s'estoit arreste AI. de (Koberual) en ma solution, et ainsi il ne louche point \\ la difficulté, conune avouera M. de (Rolierual ), si la passion ne l'enipesche point d'avouer la vérité. Pour les lieux ad sui)erjîcieni et ce ([u'il dit allonger grandement iélriuicre aux lieux plans, ce n'est rieu (|ui ne soit très facile. iMilin, pour ce qui est des autres lignes courbes dont il parle, encore (|U(^ ie ne l'entende pas [larfaiternent, soit (|u'il y ait faute à l'écriture, ou (ju'il ne se soit pas assez expli(|iié, ou bien (|ue ie n'aye pas assez d'esprit, toutesfois ie croy fernieiuent (ju'il se méconte. VA bien qu'il disi vray, ce ne seroit pas grande chose de donner les Tangentes de certaines lignes, (|u'il a imaginées tout exprès piuir en pouuoir donner les Tangentes, et qui d'ailleurs ne sont d'aucun vsage, de façon que ie ne voy rien en tout son écrit que i'admire, sinon les epithetes de merueilleux, d'excellent et de miraculeux, (|n'il donne ii des choses qui sont ou fort simples, ou mesme maunaises. VA pour ce qu'en plusieurs écrits (jue i'ay veus de luy, i'ay seulement trouvé deux ou trois choses (|ui estoienl bonn(^s, mesiées auec plusieurs autres (|ui ne l'estoient pas, ie vous diray, entre nous, (|ue ie les compare aux vers d'iMinius, des(|uels Virgile tiroit de l'or, i'entens de stercore Ennii. Mais c'est entre nous ({ue ie le dis, car ie ne laisse pas d'estre fort son serviteur, s'il luy plaist(').

15. DESCARTES A M. DE BEAUNE.

20 FÉVRiKii 1039.

le ne croy pas qu'il soit possible de trouuer généralement la conuerse

( ' ) Tome II, p. 4'i3.

COlîHKSI'ONOVNCK l)K l)KS(.A UTF.S. 111

de ma règle pour les tangciilos, iiy de celle dont se sert Monsieur de Fermât non plus, bien (jue la prati(juo en soit en plusieurs cas plus aisée que de la mienne ( ' ).

16. DESCAKTES A MKRSEiNNI":.

'20 Ff;viiii;K l(>3!l.

Monsieur (le Beaune nie mande qu'il désire voir ces petites obser- vations sur le liure de Galilée...; et puis que vous luy avez l'ail voir toute nosire dispnt(; de M. (Fermai) et de moy louchant sa règle pour les Tangentes, ie serois bien aise qu'il vist aussi ce (jue i'en ay vue fois écrit à .M. Hardy (-) où i'ay mis la démonstration de cette règle, la(|uelle M. (Fermât) n'a jamais donnée, quoy qu'il l'enst promise, et que nous l'en ayons assez pressé, vous et moy. Vous en aurez aysément vue copie de M. Hardy et ie seray bien aise que M. de Beaune iuge par là, qui c'est ({ui a le pins contribué à l'iniienlion de cette règle (^').

17. DESCARTRS A MKKSENNli. H JUIN lOiO.

le suis fort peu curieux de v()irce(|ueM''Fermataescrit de nouueau sur les tangentes (*).

( ' J Tome II, p. 'il 4-

(-) Lellie CXXV, |i. iC>r).

(») Tome II, |). ")i(i.

(') Toinu III, p. 8G. Ce nouvel éeiil de Fermai sur les tangentes est celui qui

coiniiieaee pai' les mois Dortriiinni uingc/iliu/n ('Miuircs de Fcnmil, lome I, p. i-JS-iTij).

112 ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

18. DESCARTKS A MERSENNK.

•iS ocroiiRK ICVO.

Le 3 est de M. Fermât pour les Tiini^entes, oi'i le premier point n'a rien de nouueau, et le suiiiant, (|ii'il dit que i'ay iiigé difficile, n'est aucunement résolu. Et bien ()u'en l'exemple (jn'il donne de la Roulette, h facil vienne bien, ce n'est pas touteslbis par la force de sa règle; mais plutost il paroist (ju'il a accommodé sa règle à cet exemple (' ).

19. DESCARTES A MERSENNE.

'■\ UÉCE.MKRE KJiO.

le suis extrêmement obligé à Monsieur Des-Argues, et ie veux bien croire que le Père Bourdin n'auoit pas compris ma démonstration (-); car il n'y a gueres de gens au monde si elTrontez, que de contredire ii vne démonstration ([u'ils entendent, (|uand ce ne seroit que de crainte d'estre repris par les autres (jui l'entendent aussi ; et ie voyque mesme vos grands Géomètres, Messieurs Fer(mal) et Rob(erual), n'ont pas veu clair en cclle-cy (^).

( ' ) Tome lit, p. -207.

(2) Sur le iiiùcanisme de la rcfraclion.

(') Tome lit, p. lii).

CORRESPONDANCE DE DESCAHTES. 113

20. DESCARTES A MERSENNE.

'* MARS ItiVl.

le voudrois bien que vous n'eussiez point enuové de copie de ma Métaphysique à M"" Fermât; et si vous ne l'auez encore fait, ie vous prie de vous en excuser sur ce que ic vous ai prié très expressément de n'en enuoyer aucune copie hors de Paris, et mesme a Paris de n'en mettre point la copie entre les mains de personne, qui ne vous promette de la rendre; comme en efl'ect ic vous en prie, affin de me retenir la liberté d'y changer ou adiouster tout ce que ie iugeray a propos, pendant qu'elle ne sera point imprimée. Et, entre nous, ie tiens M'" Fermât pour l'vn des moins capables d'y faire de bonnes obiections; ie croy (ju'il scait des M;ilhematiques, mais en Philosophie i'ay tousiours remarqué qu'il raisonnoit mal (').

21. DESCARÏES A [CLERSELIER|.

18 DÈCKIMURK 1048'.

Pour le billet de Monsieur de Fermât (-), puisqu'il est latin, il faut que i'v réponde aussi en latin. Et en suitte de ces mots : An ilaque hoerebit Anafysis, et asymmelrijs vndique obrnla conticescel ? Videanl eruditi et melhodum liiiic negotio conducibilem inquiranl, ic répons :

( 1) Tome III, p. 328.

(') Voir OEuvres de Fermât, toniu II, p. ■.>.82-'>.S3.

I LUMAT — l\ . '>>

iU (EU VUES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

Non hçarel Analysis noslra in loco tani facili ctmethodum liiiic negolio conducihilem lalem liahet. Omnibus asyminelria' iiotis releclis, flali termiin ( hoc modo commensurabi les facti^ simiil uingendi sunt et postea quadratè mulliplicaiidi. Sun/que ter ila mtdliplicandi, si dati fuerint quinque termini asymmelri ; qualer, si dati fuerintsex ; quinquies, si dati fuerint septem, et sic in in/inilum.

Deinde ex terminis v/lima multiplicalione productis, eorumue multiphs per solam addilionem et substractionem simid iunctis, exurgit œqualio nul/is asymmetrijs intricata, qua- priori dafœ œf/uipo/lel.

lia, in dalo exemplo, sunt sex termini asymmelri, quos sic scribo :

I5A - AA

+ ZZ+ DA-t-AA

+ MA

4- DI)-AA

-l- UA + AA

+ ni{ + Tl?A + AA.

Si nulem semel quadratè ducli, prodticunl terminas viginti et vniirn diinlavdt. Nolandam enim est cuiiifciinque termini omnes partes (^quando liabet plures) simul iunctas essr retinendas ; nec ante finem operationis curn aliorum terminorum partibus, quamias plane simi/i/nii, confundendas. Ili autein 21 termini, quadratè mulliplicali , prodiicunt mulf à plures : sed quia istœ multiplinaliones per aman fiensern ficri passant, lapsusque calami amanuensis a perito A'ialvstd facile emcn hinlw, operationis prali vitas inter eins ilifficultates non est mun"randn. Et naiii sanr breviorcm, sed quœ non ita per atnanuensem potest absolui.

Hic aulempeto ii Domino Fermât, nec non à Domino de Roberual (et qiiidem prœcipue ab hoc vltimo : cùm enim occupet Cathedram fiami, tenetur ex officia ad eiusmodi quœstiones respnndere, rel ista Cathedra se indiguwn esse débet fateri),peto, inquwn, ab ipsisquomodo inaeniendnm sit quinam ex terminis vltima mtdtiplicatione proiuctis addendi sint , et quitiam siihtrahcndi , rt eviirgat qiKdita œquitio. Nec prœtcndcre débet I). de ttabenrif, rt solet, non islam nmitum temporis exigere, seque esse

CORRESPONDANCE DE DESCARTES. 115

alijs negotijs occupât um; ajfirmo enim, al(/i(ec,imo/>usei-ù demonstraho, nihilàme hic peti, quod non possil a péril o Analysta brevissimo tempore inveniri, prnfueorque me in hac melhodo (puerendà et inueniendà, nec non etiam ad omnes asymmetriiv species exlendendà, vix médium horai quadrantem iniperidisse ( ' ).

22. DESCARTES A CARCAYI. It JUIN IGW.

... Mais, parce qu'il (Pascal) est amy de Monsieur R(oberval), (|ui fait profession de ii'eslie pas le mien, et que i'ay desiaveu qu'il a tasché d'attaquer ma matière subtile dans vn certain imprimé de deux ou trois pages, i'ay suiet de croire qu'il suit les passions de son amy, lequel ne fait aucunement paroistre, par ce (|ue vous m'auez enuoyé de sa pari, ([u'il sçaclie la solution de la difficulté de Monsieur de Fermât touchant les équations entre cin([ ou six termes incommen- surables (').

23. DESCARTES A CARCAVI.

17 Aori \W.).

... Mais je ne puis aucunement connoistre, par ce qu'il vous a pli'i in'écrire de sa part, (|n'il (Roberval) puisse demesler les asymmétries qui ont embrouillé Monsieur de Fermât ( ').

( ' ) Tome V, [1. 5i55.

(-) TomeV, p. 'MM\, el Cf. V liclaircissemenl, p. 367.

(') Tome V, p. !<)■•<.

116 ŒUVRES 1>E FERMAT. - COMPLÉMENTS.

VIII. EXTRAITS

CORRESPONDANCE DE HUYGE^S.

(Edition de la Société hollandaise dus Sciences).

IILIYGENS A FR. VAN SCIIOOTEN.

20 MAI 1()00.

Paler meus nuper inter maniiscripta qu.T oliiii à Mersenno missa sunt invenit libros duos Locorum planorum Apollonij à Fcrmatio restitutoruiii. Si te scircin eos inspicere velle mitterem lubens, scd credidi, causam esse posse cur nolles. Videiitur mihi demonstrationes Fermati) tuis demonstrationibus nequaquam ;equiparand*; mul(a quoque aul perfuuctorie nimis traclavisse aut in totum oniisisse. . . (').

1. FR. VAN SCIIOOTEN A HUYGENS. 29 MAI 1(>3o.

In acceplis lilteris mentioneiii l'acil Eelipseos praeteriti anni, quas

(I) Tome I, p. 32(5.

COIIRESPONDANCE DE HUYGENS. li- non accepi aut vidi. Prœterea Loca Plana Apollonij, à Fermatio resti- tuta. hcèt videruli polcslatem ullm liil>ens rnilii offeras, amo tamen etiainiiuiii illa me latero, donec post iinpressionein meoriim legendi ea nacUis fiicro occasionem, ne alibi visa facilô (|uis credat me plagia- num aut ab aIi(iuo adiiiUiin fuisse, scd iibero aninio me dicere posse qiialia à me eduiilur \t:\ (|uoque fuisse inventa (')

3. Cl. MYLON A HUYGENS. 13 AVRIL 1636.

Il [Monsieur Bouillant] m'a dit que Monsieur Defermat a trouué des Nombres dont les parties aliquotes sont des Nombres quarrez. Je ne vous asseureray pas si cèst précisément cette proposition n'ayant pu voir Monsieur Decarcaui, a qui Monsieur Defermat en a escrif, quoyque j'aye esté plusieurs fois chez luy, si vousauez quelque chose différente de ce que je vous enuoye vous me ferez plaisir do m'en faire part, je la communiqueray a nos Messieurs. Et on la fera tenir a Monsieur Delermat qui sera raui de conférer auec vous puisque vous trauaillez tous deux sur les nombres (-)

4. FR. VAN SCHOOTEN A HUYGENS. 3 MAI 1636.

Hic (■') cum Domino Fermatio conjunctissimus sit, obtulit mihi similiter cum ipso literarum commercium procurare, quod ipsum,

(1) Tume I, p. 3>.S.

(2) Tome I, p. 4.)!.. (') Carcavy.

118 ŒUVRES J)E FERMAT. - COMPLÉMENTS.

quommodo à me iieglecluin sit, vix dicere possum, nisi quod proprijs forte specuhitionibus intérim iiidulijcns niinis in ipsiiis invenlis inquirendis non safis fuerim curiosus ( ' )

5. P. DE CARCAVY A HUYGENS. 20 MAI 1650.

Je ne scay pas beaucoup aux matliemati(|ues mais J'ay une grande passion pour cette science, et comme nous y estes des pins advancez, Je pourrois espérer de nous y procurer quelque satisfaction par l'entremise de Monsieur de Kermat qui est mon ancien amy. Ce Grand Monsieur de Fermai qui est certainement un des premiers hommes de l'Europe, Et de uous faiie uoir des choses de luy qui mériteront uostre approbation, Ce me sera aussy un moyen de contenter l'inclination que J'ay pour vn si grand homme en luy faisant uoir en mesme tcms ce que uous aurez la bonté de nous enuoyer, et le public receura un grand aduanlage de la communication de deux personnes si excellentes qui feront uoir à la postérité que nostre siècle ne cède point à celuy des Apollonius, des Menelaus et des Archimedes (-)

6. HUYGENS A CL. MYLON.

[1" JUIN IGoG].

Les problèmes de Monsieur de Fermât sont tout a fait beaux dans

( ' ) Toine I, p. 4 lo. («) Tome I, |). /,i8.

CORHESPONDANCE DE lUIYGENS. II!) le gendre ('). et mal aisez h résoudre, au moins il me semblent tels a moy qui ne me suis gneres exercé dans les questions des nombres, parce (luej'av tousjours pris plus de plaisir à celles de Géométrie (-)

7. IIUYGIÏNS A P. DE CAHCAVY. 1" JLIN 1036.

Le Pore Mersenne ni'honoroit de sa correspondance pour m'inciter a l'estude des mathématiques a la quelle il me voyoit porté naturelle- ment; et m'envoyoit souvent des escrits de vous autres illustres et principalement de Monsieur de Fermai, que j'ay commencé a entendre a mesure (|ue j'ay profité dans ces sciences. Ainsi j'ay eu des mon j)rcmier ap[(reatissage une merut'illi'iis(^ estime pour ce grand homme, la quelle s'est augmentée de beaucoup ipiand j'ay appris estant en France que de mesme ([u'aux mathématiques il excelloit en toute chose ou il daignoif d'appli(jUfr son esprit, .le me croiray donc très heureux d'estre cognu d'une personne si rare par vostre moyen, et de partici[>er par fois de ses belles inventions. Les deux prohhuiies numé- riques (|ue Mon-^ieur Milon m'a envoyez sont de bien diflicile recherche et je doubliM'ois pres(|ue s'il y auroil moyen de trouver d'auti'cs tels nombres autrement (pie par hazard, si l'on ne m'asseui-oit (|ue Mon- sieur de FiMToal fii a des règles ccriaines, lesquelles je crov pourtant estre de celle sorte, (|u"il faille premièrement chercher (pielqiie nond)re a l'avanlnre ([ui ait cci-laincs proprielez, comme dans les

reigles ({u'on a donne pour les nombres parfaits et amicabb-s

Monsieur de Fermai qui s'est exercé dans toutes sortes

( ' ) Lire « genre » ( IL).

(-) Tome I. p. 42G. cr. OlùnTcs de Fermât, lome II, p. 3>.o.

120 ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

do problèmes el particulièrement dans ceux des partis de jeux n'aura pas tant pareille de peine à résoudre celuy que j'ay proposé touchant les dèz, qui n'est aucunement difficile a ceux qui scavent les principes de ce calcul et un peu de l'algèbre. Vous m'avez fait grand plaisir de le luy avoir envoyé et je verray avec beaucoup de contentement la solution qu'il en aura donnée ( ' )

8. P. DR CARCAVY A HUYGENS. 22 JUIN I05G.

Monsieur de fermât m'a enuoyé il y adesia (|nel(iues jours la solution de ce que uous auiez proposé touchant le parti des jeux, et vous verrez par l'extrait que ie vous faits de sa lettre qu'il a la démonstration generalle de ces sorte de question, et conclurez certainement auec nous non seulement pour la resolution de ce problème mais aussy pour quantité de plusieurs autres très belles spéculations ([ue nous auons ueu de luy tant en ce qui concerne les nombres que pour la géométrie que c'est un des pins grands génies de nostre siècle. Je tasche il y a desia longtems d'en tirer ce que ie puis pour le donner au public, et j'en auois fait la proposition à Monsieur de Schooten pour y employer les Elzcuirs mais les choses ne se trouuerent pas disposées pour nous procurer cette satisfaction (-)

(') Tome I, p. 4'S- ('-) Tome I, p. 4-i}..

CORUESPONDANCE DE HUYC.ENS. 121

9. ilUYGENS A [CL. MYLON].

7 MAiis tGo8.

Je ii'adjousteray rien touchant le traité de Monsieur Freniclc si non que je suis niarry de n'avoir pas sceu, auparavant que de veoir la solution de ces problèmes, (jue Monsieur de Fermât la jugcoit de telle importance. Car encore que je ne me sois jamais içuere appliqué aux questions purement arithmeliquesje n'aurois pas laissé d'entreprendre celles cy, afin de mériter si il m'eust esté possible l'estime de ce grand homme (').

10. IlUYGENS A J. WALLIS. 6 SEPTEMiiKi': IG58.

■ Nesciveram (-) equidem de Prol)lematis illis Arilhmeticis

tantis animis inter vos decertari. Quin imo idem de ijssentiebam quod te quo(|ue saepius expressisse video, non debere bonas horas talibus impendi nisi cum potioradeessent, (juae sane in geometricisoH'eruntur plurima. Intérim non nego subtilitatis laudem egregiam vos merilo ferre, qui,quae viro acutissimoFermatio quasi neminialij perscrulabilia

visa sint, non una via assecuti sitis Caeterum nec Fermalius

ut puto felicius hoc(') demonslrare poluit, (|uia vcstraesolutioni plane ac(|uiescit

(') Tumc II, p. i4<'>-

('■) Il s'agil (lu Comnterciuiit episloUcuin, Oxford, i65S, (|uc W'allis avait adresse à Huygens le 1 1 juillet.

(3) il s'agil de l'équation indcleiiniiioe na--\- 1 = 1-. (Voir OEiuTesde Fermât, tome 111, p. 437-)

l'KRMAT. - IV. 16

122 ŒUVRKS DR 1EI5MAT. - COMPLEMENTS.

Ego miror quoiiiodo tain confideiiter veram esse Kermatius pro- mittere ausus sit, (') ([uum ne per indiictioncni quidem inortalium quisquam id comperire [>osse videatur, iiatii ad |)rinios /'i aiit 5 numéros rem siiccedere niliil nisi levemtantiim verisimilitudinem inducit (-).

II. FR. VAN SCIIOOTEN A HUYGENS.

19 SBPTEMBKK IUo8.

Quod priorem vero Iractatnm concernil, qui certamen continet, ad quod Fermatius (') oinnes Europae Malhematicos provocavit, non malè item plae.uit, tum ([uod praeter literas quasdam humanitalis etiam illie aliae reperiaiUur, in quibus nonnuUa continentur scitu digiia ac pulchra. lu Fermatianis ubique aiiquid istius Nalionis redolere niihi videtur, nimirum, ipsum Vasconem esse; ita ut non abs re Dominus des Cartes, cum è Gallia redux ipsum Endegestae inviserem, eidemque intcr deainbulandum narrarem plura egregia à Fermalio fuisse inventa, de quibus niultum gloriabatur, tune responderit mibi : Monsieur Fermai est Gascon, inoynon. Il eslvraij, qu'il a inventé plusieurs belles choses particulières, et qu'il est homme de grand esprit. Mais quant à moy j'ay tousiours esludiè à considérer les choses fort généralement, a/fin d'en pouvoir conclurre des Reigles, qui ayent aussy ailleurs de l'usage. Dominus Freniclius (uli jam mibi innotuit) Fermalio haud multum in co absimilis eodem modo se cum Fermatio gessisse videtur, nimirum, uterque vanà captus gloriâ, prout sua sola sibi placuêre de Wallisij ac Domini Vicc-Comitis aliorumque invenlis non nisi cum

(') Il s'agit (Je renoncé faux : Potestates omnes nunieri 2, etc. {OEm-res de Fermât, lomc II, p. 4o4-) (■^) Tome 11, p. 9.1 1. C^) Œuvres de Fermât, tome II, p. Sii.

COKRESPONDANCE DE IIUYGENS. 1^23

dcspectu judicavit, douce tandem horuin duorum prudenliori responso convicti, ac utriusque piuribus profuiidioris in hisce scientijs erudi- tionis speciminibus visis, certamen id féliciter absque sanguine sit tinitum (').

12. WALLIS A IILIYGRNS.

I" JANVIER 1059.

Elsimi li arguniento coliigere forsan licebit. Uegulam iilamgeneralein quani se pollicetiir commiinicaturuni Fernialiiis pagina G, (^) modo id desiderem (quod itaque peto pagina 8) sed quam deinceps perendinat pagina 21. donec ipsc exposuerim qiiid valeam ea de re praostare, et tiindem déclinât, nec aliud siibstituit quam Robervallij et Pascalij testimonium, se id praestare posse, pagina iGo tradilis a me paginis 45 et 52, vel iiiferiorem vel saltem niliilo superiorem esse; praesertim cum et quaesiti quod pagina 4G de eodem subjecto reposueram, solu- tionem declinet (').

13. HUYGENS A P. DE CAUCAVY. •22 MAI 1659.

Il y a dans la lettre de Monsieur Fermât au (Chevalier Digbv, la dernière du Commercium Epistolicum (') de Monsieur Wallis, que le

( ' ) Tome II. p. iii.

(-} Du Commercium epistolicum ilo \\'i\\\\i (voir OEuvres de Fermai, tome III, p. .iyg cl suiv.) (^ ) Tome II, p. -ioS. (') OEuvres de Fermât, tome II, p. 402; tome III, p. Si.j.

124. (EUVRES DE FEI«MAT. - COMPLÉMENTS.

dit .Monsieur Fermât vous a mis en main il y a longtemps ses traitez de locis solidis et linearibus, ce que Monsieur de Wit nostre Pension- naire d'Hollande qui se plaisi fort au Mathématique ayant leu, il a grande envie de scavoir plus particulièrement qucdie OMiure c'est et comment Monsieur Fermât a traité cette matière ( ')

14. HUYGliNS A J. WALLIS. y JUIN 1059.

Videbis item methodum illani Huddenij ad maximi vel ininimi di'lerminatioiiem, (juam tamen in solidiim illi non debemus, sed primam ejus inventioneiii Ferinatio potins. Hujus cnirn methodum ego quoque jam pridem ad idem hoc compendium, quo lluddenius utitiir redegeram, atcpie omne ejus liindaincntum, clarius (|uani ab ilb» factum est, scripto explicueram in gratiam Doniini de Wit Hollandia» Pensionarij. Usus ejus longe maxiinus est ad inveniendas curvarum tangentes ('-)

1.5. P. DK CARCAVY A lIlJVtilîlNS.

l'i- AOUT !().')!).

.l'attendois aussy Monsieur de rcspondre à ce (juc vous m'auez

demandé |)om' Monsieur de Wi( louchant ce qu'il désire de 3Ionsieur

( ' ) Tome II, |i. .'i 1 1 • ( -) Tome II, p. ,'i {■;.

CORRESPONDANCE DE IIUYGENS. 125

de Fermât, mais je ne pouuois Irouuer mes papiers que j'auois preslé à Monsieur Boiilliaml, iloiil ic ne nie sounonois |)liis et (in'il m'a rendu du depuis ( ' )

16. P. DE CARCAVY A IIUYGENS.

13 SEPTEMRiiE IG.'jit [i;xpf:r)iÉK I.I-: -26 décembrr iG39].

Je n'ay pas toutefois négligé ce (]ue vous m'auiez ordonné et ayant eu occasion d'escrire a Monsieur de Fermât Je luy ay fait uoir ce (jue vous me mandiez par uostre dernière sur le suiet des nombres, et sur la difficulté cjue vous et Monsieur Sluze n'auiez pu résoudre touchant la proposition de la parabole et de la spirale de Monsieur Destonuille, ce que J'ay fait Monsieur d'autant plus volontiers que Je ne pouuois vous donner l'esclaircissement (|ue vous desiriez, n'avant ni le liure de Monsieur Destonuille ni le loisir d'examiner derechef une chose qui m'auoit paru véritable. Et que Je n'osois aussy escrire de cela au dit Seigneur Destonuille qui n'est pas mesme encore a présent bien remis de son jndisposition, Et qui ne scauroit s'appliquer a la moindre chose qui demande quchpie attention. Ce (|ue m'en a cscrit le ilit Seigneur de Fermât, Et que ie nous enuoye dans ce paquet, m'a fait voir que J'auois peut estre conclu trop uiste la certitude de la proposition dudit Seigneur Destonuille, Et Je ne croyois pas qu'il fallut tant de discours pour en faire uoir l'Euidence. Je joints a cela quelqu'autre chose (ju'il m'a escrit que nous serez peut estre bien ayse de uoir, VA Jaurav louiours une satisfaction très particulière de vous témoigner [)ar mes seruices et mon alfection, et l'esliine que ie faits de votre mérite.

( ') Toiiio 11, p. ^37.

126 ŒUVHES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

Pour co qui est des nombres il ne m'en <i rien mandé de particulier, mais je luv ay enuoyé tout ce que J'auois de luy pour l'obliger a le reuoir et le donner au public auec plusieurs autres belles propositions qu'il a encore par deuers luy tant pour les nombres que pour les lignes droictes et courbes, ce que ie crois qu'il fera puisqu'il veut bien se donner la peyne de reuoir ce qu'il en a desia communiqué à ses amis.

Voicy l'extrait des lettres de Monsieur de Fermât ( ' ).

17. HUYGENS A P. DE CARCAVY. 2(5 FfiviiiEii KiOO.

Je vous remercie beaucoup des extraits qu'il vous a pieu m'envoyer des lettres de Monsieur de Fermât ('-). Pourcequi est de la démonstra- tion de la spirale et parabole, je vous ay escrit que j'y trouuois de la difficulté, et que Monsieur Sluse non plus que inoy ne la pouuoit résoudre, c'est a dire que selon nostre jugement il y avoit de la faute en cette démonstration, comme il y en a en effect. Mais j'ay bien veu d'abbord ([u'en la cbangeant, l'on y pouuoit remédier. Et voicy comme je l'avois conçue, en gardant de plus près ce me semble l'intention de Monsieur Dettonuille que n'a fait Monsieur de Fermât ('■' )

La comparaison des autres sortes de spirales avec les lignes parabo- loides que donne Monsieur de Fermât est véritable ('), mais non pas fort difficile a trouver après que la première est connue. Et je m'estonne

(') Tome II, p. 534. Voit- OEuvrcr i/e Fermât, lome II, p. 438 et 44 1-

(2) Voir OEtivres tir Fermât, lome 11, p. 438 l'I 44i.

(') Tome m. p. zG el ■!-.

(') Voir OF turcs de Fermai, tome H, p. 44 1-

COHHESPONDANCE DE HUYGENS. 127

qu'il prend plaisir a inventer des lignes nouuelles.quin'ontpas aulre- menl des propriété/, dignes de considération.

Les proposilions touchant les surfaces des Conoides et Sphaeroides comme aussi de la ligne paraboli(]U(' sont les mesmes que je vous ay cydevant communitjuees, et à plusieurs autres de mes amis. Je crov bien pourtant que Monsieur de Fermât' n'en avoit veu aucune puis qu'il l'assure, mais d'autres peut esfre seront plus incrédules, si en les donnant au public il n'allègue celuy a qui il les aie fait veoir auparavant. La mesure de la superficie du conoide que fait la parabole autour de l'appliquée la quelle il promet en supposant la quadrature de l'hyperbole sera quelque chose de nouueau si elle est vraye (').

18. P. DE CARCAVY A HUYGENS.

G MAKS lOGO.

Je ne vous enuoyai l'escrit de Monsieur de Fermât, que pour iustifier la vérité de l'énoncé de Monsieur dEstonuille, et parce que nous me mandiezyauoir trouvé de la difficulté, pource qui est des autres lignes dont il parloit dans le mesme escrit, cela n'est pas difficile pour vous. Monsieur, non plus que ce qu'il m'escriuoit des surfaces des conoides et des spheroides, etie ne voulu pas le retrancher a cause qu'il desduit fout cela d'un mesme principe, mais ie puis vous assurer qu'il ne s'atribuera rien a uostre preiudice, car outre ([u'il n'en a jamais vsé de la sorte enuers qui (juc ce soit, jl a un cslime toute particulière pour ce (|ui vous regarde, permettez moy de vous dire qu'il se plaint un pende Monsieur Schooten en ce (ju'il n'en a pas vsé de mesme dans la publi- cation (les lieux plans d'Appollonius; Ne doutez pas s'il vous plaist,

( ') Tume III, p. 9.7.

128 ŒtîVUES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

que ce qu'il propose de la mesure de la surface du couoide (jue fait la parabole autour de son apprK|née ne soil véritable, El si la chose vous agrée, ou que vous ne desiriez pas vous peyner à en rherchcr la démonstration. Je la luv demandera}' très volontiers.

Il me doit enuoyer au premier iour touts ses Escrits de Géométrie et des nombres que j'auois icy et dont je luy ay fait tenir vue coppie, qu'il a voulu reuoir. Et enc(U'e un petit traicté par lequel il donne les lignes les plus simples qu'il se puisse pour résoudre les [)rol)lemes de cbaque degré. En quoy Monsieur Descartes s'est mépris, et .Monsieur Schooten ne s'en est aperceu. J'ay aussy receu dans sa dernière lettre la proposition suiuante. Voilà Monsieur l'extrait de la lettre de Monsieur de Fermât (').

19. HUYGENS A P. DE CARCAVY.

•27 MARS 1000.

Je vous rends grâces Ires humbles de l'extrait (-) de la lettre de Monsieur de Fermât de qui je trouui; cette dernière spéculation touchant les roulettes proporliounelles beaucoup plus belle (|iie la précédente des spirales ('').

Pour ce (|ui est de la proposition don! j'estois aucunement en doute, je ne voudrois pas qu'il prit la peine d'en escrire la démonstration séparément, pour me la faire veoir, mais plustost Monsieur ayant le traité entier et tant d'autres excellens ouurages de ce grand géomètre dont vous pourrez obliger le public lors qu'il vous aura tout envoyé, ainsi qu'il a promis. Il ne se plaint pas tout a fait sans raison de

(') Tome III, p. 38. Voir OEuvrex de Fermât, tome II, p. 44^. (-) Voir (JEuvres de Feriniit, loiiic II, p. 44 '■ (') (JEuvres de Fermai, lome 11, p. 4 JS.

r.ORItRSPOMtANCK l»K UUYCKNS. |-2<»

Monsieur Sclidolcii de ci' (|u'il n'a |)as lait iiiciirioii de luv en publiant ses lieux [)lans. Car encore (|irii n'ayt jamais veu ce (|ue Monsieur de Fermât en avoit escrit comme il m'a asscnrc (onsjoiirs, il l'a Idcn sceu et partant il n'auroit pas deu le dissimuler ( ' ).

20. F. \m CARCAVY A IIUYGENS. 25 JiiN 1060.

J'ay Irouué un petit liure de Monsieur Feiiiiat qu'il vous enuoye, il m'a aussy fait tenir pendant ce tems un autre petit traicté de snlutinne prnblemaliim geomeiricon/m per curvas simplicissinias et unicuique prnhlemaluin generi propric conuenienles, (-) (|ue Je nous feray coppier si vous le desirez, Il y fait uoir plusieurs fautes de Monsieur Descartes dans sa géométrie dont Monsieur Scliooten n'a dit mot.

Voiey Encore trois de ses propositions.

Voicy l'extrait d'une sienne lettre.

Voila Monsieur ce (jue J'ay receu de Monsieur de Fermât depuis (|ue Je n'ay eu l'honneur de uous escrire (')

f ') Tome lit, |i. i;.

(-) OEiwres ilf Fermât, lome I, p. i iS.

P) Tome lit, p. 85. Voir OEnvres de Fermât, loiiio II, p. 41^-

Fermât. — IV.

130 (EIVRES DR FERMAT. — COMPLEMENTS.

21. IIUYGENS A .1. WALLIS.

[ l.ï JUII.I.RT Kifif*].

Fermât scinl inv oen boock ( ' ), forte ctiarn ad vos, de Ciirvarum cum rectis comparatione. preci|)uiim iii eo vaiide parabolois die Heuraet hier en N(diiis apiid vos rectae squavit. (|Uoruiii scripta iniruni est illiiin non vidisse. veriin(amen et alias curvas ex illa paraitoloide enatas subtili admodum ratione rectificare docet (■')

22. IIUYGENS A P. DE CARCAVY.

I.^S JUILLKT IfifiO.

(Minute.)

Reineri'ie de ce qn'il me c()mmuni(ine, et qu'il remercie Monsieur Fermai de ma part, dn livre, de solulione ProidematumGeometricormn. non opns ul milii descrihatnr. (|nia hrevi ipse adero.

De spirali non ignorabam, visis qnae prius ex Kermatij literis descripsit e( coij,nita jam paraboloidis dimensione. non accusavi Fermatium nec accuso, sed per me lieet ut quisque genio suo obsequatui' {^).

(') De solutione prohlemalnni geoinclricoriim per eiiriKis simplieissimas et atiicuiqiic prolileinatiiin generi proprie coiivenientcs Disserlatio tripnriiln (OEm-rcs de Fermai , tome I, p. Il 8 ).

(-) Tome III, p. ()().

(M Tome III, p. ç);.

COKKESPONDANCE DE HUYGENS. i:$l

23. J. AVALLIS A HUYGKNS.

10 SKPTKMBRK 1600.

Fermatij qiieni inemoras lilielliini iiuviiiii^ ' )iiupervi(li; (|uoean(leni, quain priusfum nostri tuin vestri eliain curvamaequaverant rectao, cuii- (ern|)latiir. Quas aiitciii in Disserlalione sua curvas alias inde derivatas et redis comparatas, specie diversas existinial; non aliac sunt(aiil ego admoduin tallor) quaiii ejusdein curvac aliae atque aliae partes. In priniaria si(|uidem, deorsuni corttiniialà, repericnliir seciinda tertia aliaMUic in inlinituiii. Recta ulique axi primarite parallela, (iiia* inde

distat - lat.erisrecti, désignât [umctnni ((no incipit sPCiindaria((l('orsum

in inlinituni continuanda :) quaique al) hac lantundem distat, tertiain ostendil; quaM|ue (antundetn ab liae, ([uartani : et sic deince|)S. Quod ubi cxaniinaveris, facile deprehendes. Qn(»d el lileris ad Digba'uin Equiteni sciiplis denionstravi ( ').

24. CAHCAVY A IIUYGRNS.

('■' JANVIKK \('>&2.

Mon abscenscede Paris durant qnatre a cin(| nioys in'ayant empesché de me donner l'honneur de vous escrire, agréez s'il vous plaist que Je vous rende astheure ce devoir cl (|ue .le vous lasse part de quebjues

(' ) OEin're.i de l''ermal. lome I, p. i iS. (= ) Tome III, p. 127.

132 ŒUVKES 1)1-: FEHMAT. - COMPLEMENTS.

propitsitions que J'ay receups de .Moiisiciir de Fermât ('). Je les mets dans ce pacqiiel et ne doute point que vous n'en receuiez beaucoup de satisfaction, il me demande de vos nouuelles, et de ces belles spécu- lations que je luv anoil fait espérer (|ne vous donneriez bientost au

public

V'oicy la soluti(Mi de Monsieur Fermai (' ).

; 2 ijogoj Premier triangle ' ■>. r38i!>()

i> 16J017 ■i 1 jogoî

Sa méthode luy en donne une infinité d'autres. Si l'on vouloit la mesme somme des costez au lieu de la dilTcrence, il y auroil aussy jntinis triangles qui satisferoyent à la question, les plus simples sont les deux qui suiuent

i5i7 iS'.l

ijoti cl l'n-

i()6 lâOC).

25. HUYGENS A |LODEWI,IK HUYGENS]

iH MAllS !0()-i.

Vous avez pris bien de la peine a me copier la longue lettre (^^) de

(' ) A cet envoi se rapporlenl les fraguienls sur la Cissuïile (OEiuTes de Fermai, tome I. p. -285) et sur la (tourbe de Diocli^s (tome II. p. 454)-

('^) A un |irolilciiie <le Frenielc : Invcnire in numeris duo triangula reclnngulii ilti cnnstitMa ut luterum circa an'^uluin recluin diffi'reiitia sil eoi/ein, et quod m nltcro est majuf duorwn lateruni circa rectum, sit in reliquo hypotheiiusn.

(^) Tomit IV, p. 3.

('*) Voir (Mùn'rc! de Fermai, tome II, p. .\'jr.

CORKESPONDANCK KK IIHYdENS. I3:{

Mdiisiciii- (le Keniial, cl j.. vous en suis (jbligé, parce (\un cet lieiiie j av coiiteiilé ma curiosité, (|uoy que je ne tmuue guère de satisfaction dans sa doctrine. 11 suppose bien des choses touchant la nature de la lumière et de celles des corps diaphanes, desquelles il n'y a point de certitude; et après cela encore ce pitoyable axiome, que la nature o[)ere tousjours par les voyes les plus courtes, par leijuel je n'ay jamais veu qu'on ave bien demonstré aucune vérité. Pour faire donc l'accord entre luy et Monsieur des Cartes je dirois que ny l'un ny l'autre a prouvé le théorème fondameiilal des refractions, et qu'il n'y a (jue la seule expérience qui nous en rende certains (' ).

26. P. PETIT A IIUYGENS. 8 MVR* \m-2.

Joubliois et a vous dire (|ue Jay dinine a Monsieur vostre

père vue lettre (-) de Monsieur Fermât touchant la réfraction pour vous enuoyer. Jt; ne scay pas comment vous en serez satisfait mais Jy desirerois encores quelque chose et cette analyse ne me contente pas ny la Consliuction dvii triangle de temps et de lignes comparez |)arapres les vus auec les autres. Si vous men dites vostre aduis cela mobligera a vous en mander le mien car je ne scaurois trauailler (|iie forcé (^ ).

( ') Tome IV, p. 71 .

(-) Viiif Cr.uvre.t de l''eiiniii, lome II, p. 4 J7.

( •') Tonio IV. |). 75.

134. ŒIJVHES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

27. llUYGliNS A [LODEWDK HUYGENSj. 10 Avi.ii. 1002.

Lp prohiemc (') di; Monsifiir de Kfrinat m'avoil este desia commu- iii(|iio par Monsieur de Carcavy, (|iiov (jiic sans demonslration, a qui j'ay respondu qu'il y a 3 ou 4 ans que je l'ay trouvé le premier, et comniuni<|ué a Monsieur Wallis entre autres, qui l'a insère dans un sien traité imprimé en l'an iGScj. Ma demonstralion est encore beau- coup plus claire et plus parfaite que celle de Monsieur de Fermât (-).

28. lilJYr.ENS A [LODEWYK IIUYGENS]. •2-2 JuiiN 1002.

Voicy la démonstration de Monsieur Fermât (') que je vous renvoie qui est fort bonne et subtile, mais les principes qu'il suppose pour la refraction, qui ne regardent pas la géométrie mais la pbysique, ne sont point du tout certains, sed plane precaria (').

(') OEiuTcs (le Fermât, loiiie II, p. 454- (-) Tomo IV, p. 111.

(') Voir OJiiH'ies de Fennal, lomc I, p. 170. (') Tome IV, p. i5().

COHHESPONDANCE DE HUYCENS. 135

29. P. l-KTIT A IIUYGENS.

[•28 NOVEMBRE l()()2].

Jay escrif CCS jours passoz il iMoiisit'iir Fermai en luy enuoyaiit mon adiiis sur la joiiclion des mers ( ' ) a cause (jue ccsl son pays et a cause du parlement de tholose. El je luy aussi enucyé vos propositions, je ne scay sil y respondra. Je ci'oys (jue cela se doit fonder sur quchpie principe tiré de lexperience des pendules de diuerses grosseurs et pesanteurs et luesme longeur (-)

:}0. .1. (CHAPELAIN A [IIUYGENS |.

le vous dois auerlircjue Monsieur de Fermât Conseiller au Parlement de Toulouse et r(;xcellenl .Mathématicien que vous scaués s'est ciui- lement plaint à vu de ses Amis par lettres de ce que vous ayant escrit et proposé quelque Problème de considération vous ne l'aués pas jugé digue de vos rellexions et (|u'il n'en auoit point eu de response. A toutes tins j'ay respoiidu (|ue vous allendiés d'estre cliés vous en libellé cl hors de tout ce tumulte, ou le repos et les liures vous uuin- quoi(Mit. Yous vserés de l'auis selon vostre hou jugement et je ne croy pas que vous vonliés négliger vu homme de ce poids (jui nous tient lieu d'vn auti'c Yieta ( ■').

1 ' ) Ji'is et seriliiiienls sur lu conjoiictinn pro/w^éc (ici mers ocennc et incditerraiiéc /)rir les rivières il .JiiUe et ilc la Ciiro/ine. (*) Tome IV, p. Ayo. (' 1 Toiiui V. p. Si.

136 (El VliES DK lEUVIM. — COMPLEM RNTS.

31. J. CIIAPKLAIN A HUVGENS.

5 SEPiFiiimi: IGOl.

Pour Monsieur de Fermai c'est assés que vous luy ayés escril(') pour me itersuader qu'il sera demeuré content de vous; car quand vous auriés mesme desapprouué son sentiment sur le Problème (ju'il vous auoit proposé, il seroit hlasmable s'il vous en scauoil mauuais gré, n'y ayant rien qui doiue estre si libres que les pensées, ni (|ui soit plus du droit commun de la conseruer indépendante de celle d'aniruy (-).

32. HUYGENS A CONSTANTYN HUYGENS, Pkre.

5 FfcVRIEIl ICC5.

Tresmarry de la mort de .Monsieur Fermât de (|ui j'allendois de belles clioses ('').

33. HUYGENS A P. DE CARCAVY. 26 MARS 1665.

J'av esté extrêmement marry de la mort de Monsieur de Fermât, de

( ' ) l-ellro perdue. (-) Tome V. p. 1 1 r. ( ') Tome V, p. ■2'i2.

CORRESPONDANCE DE HUYGENS. 137

qui j'espeiois tousjoiirs les belles choses qu'il pouvoit donner et qui solebat nostras esse aliquid putare nugas. J'avois aussi quelques questions dignes de luy que je m'en allay iuy proposer lors que je receus cette triste nouvelle. J'espère cependant qu'on ne laissera pas perdre ce qu'il y reste de ses escrits, el puis que vous avez tousjours esté de ses intimes amis, je ne doute pas ((uo vostre intervention auprès de ses héritiers ne soit de grande efficace pour tirer de l'obscurité de si excellentes reliques (').

34. HUYGENS A LEIBNIZ.

l" SEPTEMBRE tUOI.

J'ay recherché la dessus ce que je me souvenois d'avoir vu dans les œuvres posthumes de Mr. Fermât, mais ce Traité (-')est impriméavec tant de fautes, et de plus si obscur, et avec des démonstrations suspectes d'erreur, que je n'en ay pas scu profiler ('■')

( ' ) Tomo V, p. 278.

C) De leqiiatioiium tocnliiun Iransmutalione {OKuvres de Fermât, tome I, p. 255-285).

(') Tome X, p. l'ii. Cf. tome X, p. 364 el suivantes^.

Ff.kmat. — IV.

138 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

IX. EXTRAITS DE LA CORRESPONDANCE

D'OZANAM AVEC LE P. DE BILLY

{HibL nat , nis. latin; 8600) (')•

I. LETTRE 23.

24- ocTOBitE 167C.

.... J'ay tiré ce que j'ay envoyé à V. R. (^) des manuscripts de M"' de Fermât, que M"" de Carcavy conserve avec grand soin. Il me les a tous (ait voir, comme croyant de me faire une grande faveur; aussy je luy en suis bien obligé, car il y a de belles choses tant dans les nombres que dans la géométrie. Quand il me les a prêté ça été sur cette promesse que je ne les fairois voir à personne, et que je ne feroy part aussy à personne des secrets que j'y trouverois; aussy je veux être bien religieux à luy tenir ma parole, puisque je le dois;ainsy je ne puis pas

(') Ce manuscrit a été signalé par M. Charles Henry (Recherches sur les manuscrits de Fermât, p. 13).

(^) Le 9 mai tô;!") (lettre 20), Ozanam avait proposé à son correspondant ce problème : Trouver quatre nombres tels que si on ajoute au solide des trois premiers le plan de deux quelconques des quatre, il vienne partout un nombre quarrc; le a5 juin (lettre 21) : Trouver trois nombres en proportion géométrique dont le solide avec le qunrrê de chacun fasse trois quarrés différents en fractions, lesquelles étant réduites à moindres termes, les racines quarrées des trois numérateurs jassent, de deux en dcitic, trois cubes en pro- portion géométrique : le i3 octobre lOyG (lettre 22) : Invcnire duos numéros ut alteruter eorum cum quadrato dato faciat quadratos : atque etiain alteruter vel eorum summa vel eorum differentia si augeatur altero qiiopiam quadrato, rursas quadratos efficiat.

r.OHRESPONDVNCE DOZANAM AVEC LE I». DE BILLY. 139

sans iiijuslicc vous donner le canon de M"' de Fermai pour trouver trois triangles rectangles dont les aires soient les cotez d'un triangle rectangle; je vous donneray seulement les nombres générateurs de

ses trois triangles, qui sont tels 49,2 qui ont beaucoups d'affinité

( ' avec les vôtres 7,0, car les trois plus grands nombres générateurs dans

18,1

les vôtres et dans ceux de M"" Fermât sont en proportion arithmétique, et deux des plus petits sont égaux. Peut-être que cela vous fera trouver un canon général pour résoudre cette question, qui me paroil bien difficile. .le croy que ce qui a fait consentir M'' de Carcavy à me faire voir ces écrits de M'' de Fermât, c'est pour luy avoir découvert un secret ([ui n'a pas encore été connu jusques à présent, bien qu'il ayt été cherché par plusieurs savans : c'est le moyen de tirer par une règle générale d'un point donné (juclconque sur telle section de cône que l'on voudra, une perpendiculaire. Comme je suis le maitre de C(da, je vous en feray part si vous en éles curieux. J'ay bien (juelqu'autre chose à vous dire, mais le papier me manque.

2. LETTRE 28.

27 SEPTEMBRE 1G77.

Je veux aussy vous demander quelque chose à mon tour.

Comme V. R. a eu un long commerce avec M"" de Fermât, peut-être qu'il vous aura découvert le moyen de faire ce dont il se glorifie en ces propres termes. J'ay passé à l'invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles de Diophante. On propose, par exemple, 2Q + 19^)7 égaux à un quarré. J'ay une règle générale pour résoudre celle équation, si elle est possible, ou de déterminer l'impossibilité.

140 (EUVKES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

el ainsy en tous les cas et en totits nombres tant des quart ez que des unitez. On propose cette équation double 2N -l- 3 e/ 3N -t- S égaux chacun à un quarré. Bachet se glorifie en ses commentaires sur Diopliante d^ avoir trouvé une règle en deux cas particuliers; Je la donne générale en toute sorte de cas el détermine par régie, si elle est possible ou non ( '). Voilà qui est beau, et si vous en savez le secret, vous me tairez plaisir de m'en faire part. Si vous avez une analyse pour résoudre ce prolilème, vous me ferez plaisir de me l'envoyer. Invenire tria triangula rectani^uia, quorum area* faciant tria latera trianguli rectanguli ('-). M'' de Fermât a donné un canon pour ce problème, mais point d'ana- lyse. Ainsy je demande une analyse, et rien autre chose. Le tout à votre loisir.

3. LETTRE 29.

1'=' NOVEMBRE 1077.

et c'est de cela que je voulois vous entretenir dans ma dernière lettre à l'occasion d'une semblable question que M"" de Fermât propose sans solution : Invenire (|uadratum, (|ui cum suis partibus aliquotis faciat quadratuin. Qui trouvera (|ue ce ([uarré est 81. De même il propose cette ([uestion : Invenire quadratum, cujus partes ali(juota* faciant quadratum. J'ay trouvé par une voye ilémonstrative que ce ([uarré est 9, et par hazard qu'un tel quarré est encore 2401, dont les parties aliquotes font le nombre quarré 4oo. Pour moyjecroyque M'' de Fermai n'a jamais résolu ces (juesfions, bien qu'il les ayt proposé, comme s'il les savoit.

(') OEuvrex de Fermât, lome I, (). 3o8. (') Œuvres de Fermât, tome I, p. Vu.

NOTES MATHÉMATIQUES.

NOTES MATHÉMATIQUES. 143

NOTES MATHÉMATIQUES.

SUR LA MÉTHODE « DE MAXIHIS ET MINIMIS ■.

(To.ME I, p. i33-i7<j.)

J.-M.-C. Di'HAHEL. — Mémoire sur la méthode des maxima et minima de Fermai, el sur la méthode des tangentes de Fermât et de Descaries [Mémoires de l'Académie des Sciences, l. 32, i864, p. aôg-SSo).

La méthode de Fermai, pour les recherches des maxima el des minima, repose sur un principe, non démontré, de Kepler : l'accroissement F(x zhe) — V(x) d'une fonction de la variable x est infitiiment petit par rapport à e. Pour trouver les valeurs de jc correspondant aux niaxiuia ou aux minima de F(x), Fermai égale à zéro l'accroissement F(.r-t- e) — F(j:). Ceci revient à égaler à zéro le coefficient tie la première puissance de e et conduit, |)ar conséquent, à noli'e procédé actuel.

Il faut toutefois remar(|uer que, s'il y a des dénominateurs ou des radicaux, les deux procédés ne conduisent |)lus à la même règle. De plus la méthode adoptée par Fermai ne permet pas de distinguer les maxima des minima, car il ne s'est pas préoccupé de rechercher quel était le signe de l'accrois- sement F(x ± e) — F{x) pour -t- e et — e.

C'est précisément parce que Fermât n'a rien dit relativement au sens de l'accroissement que Descaries a cru trouver des cas où la règle était en défaut et a essayé de la corriger. De là résulte sa méthode des tangentes. Ce n'est pas une rectification de la règle de Fermât, mais une décoin'erte importante n'ayant aucun rapport avec la méthode critiquée.

Huygens donne de la règle de Fermai la démonstration suivante :

11 fait d'iijjord celt(ï remarque : à partir d'une valeur Xo qui rend F(x)

lU

ŒUVRES DE FERMAT.

COMPLEMENTS.

maximum, la fonction F(.r) commence par décroître, quel que soit le sens de variation de x.

On peut donc trouver deux valeurs x cl x -^ e compreniïnt entre elles la

valeur .r, et telles que

|-(.r) = F(.r + e),

égalité qui est alors rigoureuse et qui comluil au même résultai que l'égalité de Fermât, qui, elle, n'était qu'approchée. Mais le principe en est différent, contrairement à l'opinion de Hiiygens qui ajoute : « et liœc est ratio methodi Fermatiani «.

Méthode des tangentes de Descartes. — Descartes a donné successivement trois méthodes pour la détermination des tangentes :

1° Une ligne courhe variable qui coupe une courbe fixe en un point fixe et en un point variable devient tangente à la courbe fixe lorsque le point variable vient coïncider avec le point lixe.

2° La tangente est considérée comme la position limite d'une sécante toui- nant autour du pied de la tangente jusf|u';i ce que <leux points d'intersection viennent se confondre.

F(.r, j) = o étant l'équation de la courbe; x, y désignant les coordonnées

€V

de N (^g. 26); celles de N' seront x ^ e, >' -t- -^• On aura donc les deux équations simultanées

F(.r, y) = o Y{x + e,y+^-\=o

d'où l'on tiie une relation déterminant la sous-tangente a. 3° La tangente est considérée comme la position limite d'une sécante tour-

nanl autour du poitit de contact jusqu'à ce (pie l'autre point d'intersection soit venu coïncider avec le premier.

Inutile de remarquer que cette dernière définition est la meilleure.

NOTES MATHKMAriOllKS. l.'i.ï

Mélhodcs des langeâtes de Fermât. - i" Feniuil immk'ih- hi rcclicicli(; <lcs tiingiMilcs à celle de inaxiina on iiiiiiiina. Mnis le pioiédc iTesl pus général cl lie s'applique (|u'aiix coiiilies iloni l'éipialiou esl résolue par rapport à l'une (les variables. Celle mélliode lui esl persoimellcî et alisulimienl disliiicle de celle de Descartes.

2" l'his lard il en a donne une >econde, inanireslenieni copiée sin- la troi- sième de Descaries, mais élaldie avec moins de ligueur.

Il considère un point de la tangente dilîcrenl du point de contact et écrit (pi'il est sur la i^onrhe, ce i|iii est inexact.

l'crniat a essayé d'appliiiuer la méthode des maxiina et mininia à la re(-lierclie des centres de gravité (con<inle paralioliipie ), liien (pie le sujet ne s'y prèle pas. Il a il'ailK'urs commis ipielipies erreurs.

M. II. Hiorard nous couuiiiiuicinc sur le Mémoire de Duliamcl ces inléres- sautes observations de M. \. Viihrv. i|iil a bien voidu, sur noire prière, les développer ilans la Note \\\ :

« Le Mémoire de Diibamel présente des inexacliludes : par exein|)le, celles-ci : Arcbimède aurait étudié des iuiiniiiient petits du second ordre dans son Traité des hélices (spirales), ce (|iii n'est pas. Ensuite Duhamel attribue à Kepler la propriété île rordonnée maximnni de ne vaiiei- qu'insen- siblement : c'esl Oresine ipii a éijonci' le premier cetle iinporlanle vérité dans le Traclatus de latiliuUnibiis furmnnint, publié pour la première fois en l'iSict réédilé en i/l^C, i.">o5 et i ") lô (M. Curlze). Il annonce, d'après la lellie à Merseniie{éd. (llerselier. I. III. p. ^.'iôjO ipie l'ciniat n'a pu Ironver la langente au folinui; or, dans les lellres de Fermai retrouvées par ÎM. Ch. Henry {lieckcrclirs, p. i8G), Fermai donne ce calcul dans une iinporlanle lettre, (u'i il explique sa mélliode et oii il dit d'ailleurs qu'il a reconnu « (|n'elle avail son maïuiuement " (-), Il ne s'était pas en elTet (iréoccupe des usyméiries (radicaux ) cl c'esl ponrcpioi Itescaiies lui a\ail pitqiose l'élude du l'oliiim à cause de son éqnalion inqiiicile ipii, par suile, peiisail l)e>carles, dt'\ail échapper ;i sa inélhod(? appli(iué(! seulement à la parabole, sujet trop simple et dont le résultat était connu. On reconnaît là la paresse naturelle dont s'accuse souvent Fermai. »

(') Corres/joridaiirc, éd. Cli. Adam el l'aul T.nnicry, loiiic II. p. \i>. yoir ci-dcssus p. 60 et suiv. (-) Tome 11, p. 1(11.

l'KRMAT. — IV. )g

U(j aîUVIJES DE FEIIMAT. — COMPLEMENTS.

II.

POUR LE PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION.

( ToMR I, p. ijS; ToMi: III, p. i>i; To.mic II. p. jJCi, i'*^-)

l.cs iniinuscrils de Lconanl de Vinci: les tnanuscrils B ef D de lu liililiollicqnc de t'[nftitiit publiés par CM. R\\ aisson Moi.mkn, Paris, i883. Ms. I), loi. 4 reclo. .].-['. RiciiTKR, T/ie literarj /Vorks of Leo/icirdo da Finci, t. I, p. n), n" 2"2.

.1. HoussiNKSQ. — Jiislincalion du principe de Eerin;il sur réconoinie du Icinps dans la Iransmission du mouvement lumineux a travers un milieu hétérogène, transparent et isotrope {Complcs rendus. I. 129, 1S99, p. ooô-oi i)-

La demi-force vive possédée par tout élémeiil d'une onde au dépari de celle-ci dans le milieu, se transmet inlégraiemenl avec l'onde même le long du rayon mené à partir de cet élément et normal aux positions successives de l'onde.

Les déviations élémiMilaires des rayons lumineux se calculent par la loi de Descaries ou des sinus, comme si les surfaces équiréfringenles étaient des surfaces de séparation de couches homogènes ou produisaient des réfractions proprement dites.

Or Termat a ohtenii les vraies lois de la réfraction en admettant comme point de départ que la lumière obéit, dans sa propagation, au principe de l'économie du temps.

Par consé(pienl la loi de minimum ou d'é()argne de Fermât se trouvi; justifiée, du moins pour le cas de l'isolropie, en ce qui concerne le trajet des rayons lumineux à travers un milieu de réfringence graduellement variable.

.1. UoussiNKSQ. — Extension du principe île Fermât sur l'économie du temps an mouvement relatif de la lumière dans un cor|)s transparent hétérogène, animé d'une translation rapide (Comptes rendus, t. 133, 1902, p. 46:'j-.'i70).

L'intégration des équations du mouvement vibratoire de l'élher dans un corps transparent hétérogène a montré que le principe de Fermât avait été légitimement étendu, des rayons brisés par la réilexion ou la réfraction, mais composés de fragments rectilignes, aux rayons courbes que suit le meuve-

NOTES MATHÉMATIQUES. IW

ineni liiiniiu'ux dans les corps doiil la coiislitiilioti varie gradiicllemenl d'un [iiiirit il l'autre.

l.e même principe de l'économie du temps s'appTupie encore an mouve- ment relatif de la Inmièrc dans un tel corps animé d'une vitesse V de trans- lation un peu comparable à la vitesse même do propagation des ondes dans l'éllier lihre.

La loi (le Descaries se trouvant vérifiée, le principe île l'(!rmal s'appli(|uc donc bien comme si le corps était au repos.

Les éfpialioiis du mouvement laissent eiilièreiTient arbitraire dans cha(|ue onde la Caçon dont varie, d'un point à l'autre, le déplacement transversal, pourvu ipie ce mode de variation soi! continu.

IIL

SUR UNE TKANSFOHMATION IMAGINÉE PAU FERMAT.

(To.MF. I, ji. '1)1, Cl Tome III, p. i;j )

(iiNO LoiiiA. — Sopra una transforma/.ione ideala da Fermât (') (Biblio- tlteca nialkenialica, ci" série, 1. 0, igoô, p. 343-346).

La ciiiva \\ rapprescnlata dall' equazione

(I) .v„=r/(.r)

si supponga passare per l'origine () délie coordinate (orlogonali) e se ne cliiami .ï^ 1' arco compreso fra il punlo 0 ed il punlo P di ascissa .r; sarà quindi

i= / \ ' +\J''(-i-)V<l.c.

Si costruisca ora una nuova curva T, laie cbe 1' ordinata j, dcl punlo di essa corrispondenle ail' ascissa a; sia equale a a„; Ti passera evidenlemenlo \^er V origine cd avrà per e(|uazione

•Jis

('} Note revue cl corrigée par i'auleiir.

148 <i:i NI'.KS l)K l'KKMAT. - CO M P LEMKMTS .

r, si tlediice finiiidi d.i 1',, ('()| mo/./.d dclhi liMsToniui/Joiu' i;e()mi'lriLM T iiidi- vidiintii dnllo (,'(|ii;i/.i()iii soj;neiili :

I -^y {x)YiU:.

Dello ^1 I' ;irc() di F,, cimliilo a iiaitire dell' origine, si polià similiiicnlc coslriiire mia lerza ctirva T, laie clio, délia v, 1' ordiiiala dcl siio |iiimIo di ascissa .r, si ahiiia i., ^-: v,; T, (■ ima ciirva [)assanU' pcr 1' origine e<l avciilo per C(|iiazioiio

essa piKi lilciiersi dcdolla dire llaiiu'iil(^ da r„, appiicando a f|ii('?la tiii\a la Irasfoiina/.iono T-. Siinilineiile, applicaiido alla sicssa T,, la liasIormaziorKi T""' si avrà iiiia ciirva T,,.-,, averitc pec csprcssioiic del siio aicji

0 fiuiiuli alla riir\a l\, di r(|iia/j()n(_'

. '■ (9.) y„=j ^/n + \f{x)\',Lv.

• (I

Nolisi (die dclla liaslormazioiic T esisie 1' inversa T^' e clic, applicandola ii voile di segiiilo alla sicssa ciiiva di parleiiza T,,. si j;iiiiit;<î alla cdiva W,, avciilc per (Mpiazioiie

(3) y^,,^!' ^I_„

+ 1 r {j-)Ydx.

t^e (|uadraliire iiidirale iielle Inniiole (■>.). (3) sono evidciileineiile liille dclla slessa iialiiia, eccezioiie lalla di cpiella pei' cul n ■:={), (dic è seiii|ire esegiiibile; oinle, se uiia di esse è elTelliiaiiile, lali saraiinn iiitle le alirc. Emerge da cio clie la trasloriiiazione T r un inolodo di derivazione «'lie aliilila a dediirre, da nna ciirva rellificahile, inlinile allie e (piindi a scoprire i-elazioni notevoli Ira curve diirerenli. Essa venne ideala da Peiimat, il qnale ne fcc(î applicazioni iiiiporlanli; sciiza pero presenlarlo eon la picna generalilà sollo cul è eosi facile eiuinciarlo, giovandosi ilei siniboli e dei concetli nioderni.

Una di lali applicazioni s' inconlra Ira le celehri Ail Lalnvcrani propnsi- tiones (') e mérita di essera rilevala.

(') OEuvres de Fermai, éd. P. Tannery ot Cli. Henry, I. I, p. 201, el, I. III, p. 17:!.

NOTES M VrilKMATIODKS. l'.i)

Si siippoiij^a clic hi ciirva T,, si;i la paraliola

allora r„_, sar.'i la ciirva di tM|iiazi()iH'

Oi'a c facile accci'lar si cho, i|ikiIuii(|iic sia la coslanlc a,

(jniiidi

( I ) ~77, , = V " '

rcla/.iolii' cli(> l"i;inu i' eiiiiiicia iii paroh; cou piciia j^cucralilà e precisioiic (' ). VA ygg;iiiii;4-c un Icorcuia, conccnipiilc le arec j;eiierale dalla rola/jone alUinio a Or délie ciirve cniisiderale, il ipiale cspiiinç la se^iioiile idciililà

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■'. 1 .;■ — a)

Un' alLia a|ipli(azii)iie délia iraslornialinne T, lievenienle nindilicala , po^j^ia ancoia snlla snpposizioiie clie l'o sia inia paraliida; ma 1' e(|ua7.ionc di ([iiesla devesi snpiioire posia solto la l'iprina

C^)'-

//(

r,i passa pel piinli) ( — /, — //(), lia \w.y parainelici p ^:i — e per diiTcren-

ziale deir arco

/ ■'^ -t- ^ \ ' , ' I— r ,

(0) f/.vo —\i\^\ ——] «•*•= f,\'/>- -t- --'':'

csserulo z^.v f- /. Volendo elie Pi si diparla del iiiede>iiii() piiiilo, pnnemo ( ' ) [.oc. cit.

150 (IMJVHIZS DE FEUMAT. - COMPLEMENTS.

Ripelendo sopi;» l", la sless;i opera/.ioiie e cosî coiiliiiiuuido si peivieiie alla cnrva F,, di ('(piazione

)•„ + m

-,rV''<-f^y-'-

l)er essa il diiïereiiziale dell' arco è poslo quindi

ds„ = - \/( /( -t- 1 ) //- + ( .?• -+- ly cLv;

SI piio scrivcre

'+/=-=^=. /'« = (" --1- i)/'. Jn -t- I

dz

(6) ds„= — \/i>l -H J'.

P"

Paragonaiido quesia espressionc a qnella di ds„ si vede siibilo essere ds„ il dilTereiizialc dell' arco di iiiia i)aral)ola aveiile per paramelro/^,, — {n + i)p, onde r„ è rcllificabile per inczzo di aiclii di parajjola; allro risultalo clic Ffumat |)ubblici'i Ira le succitate Propo.sitiones ad Lalmcram (' ).

A Fermât sembra essere sl'uggilo [e ne venue vivamentc rimproveralo dal Wai.us (')] clio la Iraslormazione T puù guidare ad una cnrva F, idenlica a r„ ('). Cil) accade qnando 1',, è la parabola scmiciibica di equazioiie

Infalli, cssendo in conseguenza

conie cqiiazioiic délia cnrva F, assumereino

•^' 3 *^ 3

1\/^

0 ancbe

3' / ipy

F, ù perlnnlo niia parabola seniicubica idenlica a F„. In générale F„ avrà per

( ' ) Lof. cit.

(-) Cf. Zkuthkn, Siil. de l' Acad. des Se. de Danemark, i8i)J, p- '3.

(3) Ofimres de Fermai, l. I, p. iOS, cl I. III, p. '-oa.

N OT ES M AT H KM \l' 1 0 U ES. 151

0(|ii;i/.ion('

(x 4- np)' - — /> ( j„ + -L n- \ ,

clic evideiilniiienle non ilifferiscc délia F,, se non pcr la sna posi/.ione rispctlo agli assi di rircilinenlo.

Qdcsla svista (forsc solo apiiaienlo) di Ff.rmat nulla loglic ai meiili insigni clie lo fecero ctdiocaro in prima linea IVa i gcoinelii clie, pur scn/.a adoperarc 1' algorilnio dcl calcolo infmilesimale, ma solo appiicando consi- derazioni de! li|)<) di (pielle invenlatc da Arciiimede, seiipcrofeliccmenle risol- verc dW'ficili questionidi rcllilicazioni, (|nadraUiree cnhalure. Ouanlo précède porge iiolevoli esempi di Irasformazioni di inlegrali (le(initi; ma non sono gli iinici clic si polrehheio addnrre inler|)ietaiulo, ai liime de' iiostri conccUi niodcini, molli passi dcllc opère del sonimo lolosano (')•

IV.

LA QUAUBATURE DE LA VERSIERA.

I ToMK 1, p. -iSi, noie, et Tomk 111, p. ■?.'i\.i

On considcrc ( /(/:{■ îj ) nne ciiconférencc (] cl nue tangente AT; du poinl o diamclralemeul op|)osé à \, on mène les sécantes oMN (pii coupent la cir- conféi'cncc en M el la tangente en N.

I^a vei'siera est le lieu des points m d'i!ilcisecli(Mi des perpendiculaires MF el des parallèles fini an dianièlrc! (ixe o\.

Son éi|uatioii est

xv- — a- (ri — .c),

a désignant le diamètre.

L'aire comprise entre la courbe el son asymptote est

rut\

c'est-à-dire i fois celle du cercle gcnéraleur.

Dans son Traité de^ coarbex spéciales rcinaii/iiables. 1908, ,M. (i. felxeira,

(') l'or aitro esem[)ii) veggasi la mia opéra Spezielle algebraisc/ie unti iraiiszendenle ebene Kiirven. 1" éd. (Leipzig, 190V.), p. I7J-476; v," éd., t. II (Leipzig, 1911), p. 81).

152 (l'UVI'.KS l»K l'EMMAT. — COMPF.KMENTS.

d'après !\I. (liiio t.oiia ('), rnppcllo. l. I. p. niS, qdc la veisieia a élé coiisi- dérce par fermai {OEiivres. i. 1, p •>;(), ci i. Il|, p. liîS) (|iii avait reinarf|iiH rpic sa f)Maili'atiir(' (Içpciid de cclli' du ('(M'cIc.

Dans iiiie noie, p. ISfi, M. Ci. 'rcixeira ajoiilc : nous cioyoïis, avec M. X.

Aiihi-y (-), (pie Fonnal se lappoi'ii- à Laloiivère ipiand, eu s'occnpanl do la fpiadraliirc de la veisiera, il dil (pic ce prohli'me lui avait, élii pi-()pos(;' par un j^éonnXrc cindil. II. liiiociiii).

V.

m c< DEUNIIÎR THÉOHÈME » DE TEUMAT.

(ToMK 1, |i. ^i)!; To.MK III. |i. '.^i.)

Iv-E. kl Miii:i!. \lli;(jineinei' neweisdcs Keiinal'sclu'ii Satzes, dass die ("ilei- cliiiiij^.j.' +y'- -- ^''diircli ganzc/alilen iiiihishar isl, l'in-allc diej(jnii;('n IN^Ieii/.- expoiionleii /., wciclie iiiii;erad(' l'iiin/.alileii sind niid in deii Zalilern dcr

erslcii - (\ —3) l{eiii(nilli's(^lieii Zalilen als FaUloren iiiclil verU(jininen

1

{Jouni.f. Maih., I. VO. i8.Jo, p. i3o-i38).

(') Jiililiollici-n inalhcinotira, |S(J7, p. 33.

(^) Essni sur l'Iiisloirc de la géomciric dex courbes {Aiin/ics du -Icadcniia polytecli- nicii do l'orut. l. IV, igog, p. 83).

NOTKS iMATHKMATIOllKS. 13:1

1*. Mansion. — Remarques sur les lliéorènics arillmuMiques de Keriuat (Nouvelle Coirts/iondance mathéinatifjue. I. \, iSjy, p. 88-91 ^^ 122-125).

Les (|iialre principaux théorèmes de Fermai seraient les suivants :

I. Si i> est un nomhi-e premier (|ui ne divisi; pas a, il divise l'un des lermes a'- — I de la suite

(I — 1 , n' — I , rt' — I , . . . , ai'~ ' — I ,

el /. est un diviseur de /' — 1 (I$iiassIiNnk, /'rrcis des f/t'inres de Fer/iiat, p. i43). Euler a généralisé comme il suit le tliéoiéme de Fermai (Cf. Nomidle Correspondance inalhémalijiie^ l. 1\', p. 7Î-7G) : a^ — 1 est ilivisiblc par /> ([uand p est un nombre (pielcou(|ue, premier avec o; cr est le nombre qui indique combien il y a d'entiers premiers à /' (H non supérieiU'S à p.

II. I/e\pression 9/ -i- 1 ofi A ^ 2'" ne renferme {|ue des nombres premiers {Précis, p. I '1 '--i43).

Feuler a montré l'inexactitude de i-etle proposition pour m =r 5. Ivl. Lucas a énoncé (pie, pour m := n. ou trouve

.^'.031. _,_ I — - , , ^(j8c) X nombre en lier;

il montre de plus ([ue 64i est le plus petit diviseur de ■.>.^- + i, cX 114689 le plus pelit diviseur de t'"'-'" -h 1 (.lui dclla /?. Accadeniia délie Scienze di Torin<i, 1.7 Janvier 1878).

IIL Tout nombre est égal ii la somme de p nombres de la lorme

n(n — \) n H (p — 2),

ou de /) nombres pcjlygonanx de p cùlés t Précis, p. i5(')). |'our/> = 1 on a doiu' le tbéorème suivant:

Un nombre (jiielc(>n<iiic est lu somme de ijuatre carrés dont i/aelr/ues-u/is peuvent être o ou \ .

hémonslralion par Lagrange en 1770 (Mémoires de llerlin, p. i!^), d'après (lauss (Disi/uisitioncs, ^ 293).

Démonstration simpiiliée d'Euler, dans Le(;k.>ukk, lissai sur la théorie des nombres, 1™ édition, n' Partie, § IV, p. igS-p.o.'i.

Pour p -^ .'i on a la proposition suivante :

Tout nombre est la somme de trois nombres de la foiine , c. à d.

I KIIMM. - 1\ . 20

154- ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

trois rioml)res Iriaiigiilairos (Gauss, Disqiiisitiories, § 288-293). — Domons- tralion de la proposition p;énérale : Cauchv, Exerciccx de Mathématique.'!, i. 1, p. >.G5-.i96.

IV. Il esl impossible de résoiniie en nombres entiers l'équalioii

sauf pour m .— 2 (Précis, p. .jS).

Ce théorème a été démonlré seulement i)Our (luelques cas particnliers :

Par Eiiler (Kiiir «i — =3, m 1= \ ( Als^èhrc, dernièie section, Cltap.XllI et \\ . — Voir Lk(;kndiik, fissai sur la lliéoric des nombres, '^' l'artie, SJ 1, p. 401 ^ 10;

Par [.étendre ponr m — ô ( Mémoires de r Académie de Paris, iS-jS);

Par niricliiet pour nt — 1 '1 ;

Par l>amé pour m ^^-j\

Rar Knmmer pour une infinité de nombres premiers, en |)articulier pour ceux phi> petits (pie 100 ( ' ).

É. Lucas. — Théorèmes généraux sur l'impossibilité des écptations cubi(|ues indéterminées (Itullelin de la Société matkématiiiite de France, I. 8, 1880. p. 173-182)-

E. iiK .loNQiiiÈitKs. — Derilicf Ihèorème de Fermât (résumé) (Comptes rendus, t. !»8, 1884, p. 8G3-8(i/,).

Théorème. — L'équation a" -i- b" ^^ c" ne j>cul être résolue par des nom lires entiers pour u > i.

C;' théorème résume les trois propositions suivantes:

1° L'équation de Fermât est impossible si a et " sont des nombres pre- miers;

■)." L'é(|uatiou de Fermât esl impossible si l'un des nombres mineurs a et b est premier, l'autre étant composé;

3° L'équation de Fermât est impossible si « et ^ sont deux nombres composés.

Kelativemeut à 2°, M. de Jonquières démontre que si l'équation de Fermât esl satislaile, c'est toujours le plus petit des deux nombres mineurs a et /'

( ' I / oir plus loin, |). 1 ')8, le résumé du Méuioire de M. MirimHiiofT et, ci-dessus, p. l 'yf..

Itappelons ici que ce llicoréme el ()lusicurs autres (le Kerninl ont été l'objet des eObrls des luallicnijlicieiis de l'Oratoire, en particulier de Malebranche (Cii. Hkmiï, Hccherclies sur tes inaniiscrils de Feriiril, i87<), p. i)i; finticttinn llonrompngni. I. XII, 1879, p. 556 et siiiv.).

N()Ti:S MATHÉMATIQllKS. 155

qui esl premier, el, le plus jrrand qui osl composé. Il ne pcul de plus y avoir qu'une seule unilé de iliiTérence entre les deux nombres majeurs b et c, de sorte que la démonstration de la deuxième proposition dépend de celle-ci:

f,a différence des puissances «'••"'" de deux nombres eniiers consécutifs n'est jamais égale à la puissance /«''""' d'un nond)re premier, si n > >.

Cetle (]uestion a attiré l'atlenliou d'Ahel. On lit eu elTel, dans le Tome II des Œm-rcs coniplèles d'Ahel (a" édition, p. 'j'i), le passage suivant d'une lettre adressée à llolmhoe en iSaS :

« L'équalioii a" = ^v H-c" (« > il esl impossilile ipiand une ou plusieurs des qiiantilés a, h, c, a -h /^ n + c, b — c, '{/à, '{/l, 'i/c, sont des uoiul.res premiers.

>> (Copenhague, l'an v/6o6432r2i() (en comptant la partie décimale 4 août 189.3). »

S. Realh. — Sur une équation indéterminée (.Vo«i'c'//e.v Annales de Malhé- malùjiies, (3), I. 2, i883, p. 289-397).

Not(! sur la résolution en nombres entiers de re(piation

Théorème. — Tout nombre de l'une des formes 3a'± S, ju-zç: 1, ainsi (juc tout carré de la forme (3rt' — 1)-, est la ililféreucc entre un cube et un carré.

Tliéorcme. — La somme du carré et du cube de loiit nombre pair jieut s'exprimer pai' la dinérence entre uti carré et un cube.

l'Iicorèmc. — Le carré de lout nombre Iriangiilaire est en même temps la somme d'un carré et d'un cube, el la dilVéreuce eulre un carre et un cube.

Tkcon'-me. — L'unité peul être représentée, d'une inllnité de manières, soil en nombres eniiers, soil en tiombres rationnels, jiar la diiïérence entre une somme de deux carrés el une somme de ilcnx cubes.

G. -15. Matiikws. — Note in connexion witb Fermal's last tbeorem ( The t/es- senger nf Ma/ hématies, l. 15, i885, p. 6876).

E. Catalan. — Sur le dernier lliéoréme de Fermai {/iulletin de l'Académie royale des Sciences de Belgique., (3), I. 12, t88(), p. .|98-.')oo).

E. de .lonpiières a énoncé, relativement au dernier théorème de Kermal, la proposition suivante :

Soient trois nombres a, b. c premiers entre eux deux à deux et vérilianl la

150 (ELIVHES DE FRKMAT. - (,0M l' LKM ENTS.

relation

a" + b" =c".

Si /( est premier' el > 3, o ei b ne peuvent être simultanément premiers; si rt, supposé plus petit (|uo b, est premioi-, on a

( Alli ilt;ir Accadcinia pontificin dei i\uoi,'i lAncci, v) janvier 1 88.'i ).

On peut, à cette projiosilion, ajouter les suivantes données sans démons- lialions (dans les neuf premières propositions, a est premier) :

1. fl' -i-=.m (//).

•2. rt" — I -r.OIV (/(/;).

:î. TouI diviseur premier (le ( — n divise rt — i.

V. (7 -H /> et c — a sont premiers entre eux.

.') '(a — I et 'ib+i sont pi-emiers entre eux.

(i. Le nombre [uemier a (s'il existe) est compris entre

'{l iib" ' cl yn (l> + \ )""'.

7. «et b surpassent /;.

S. Le nombie li. (|iii salislail \\ rci|iialion

{b ^-\)" — b" -=rt'', est compris entre

a \/ - cl — I + rt 1/ -• V II \ Il

!l. Soit /' un nombre enlier > «; il y a au plus un nombre entier entre

\/iib' ' et '\Jn (b ~>r !)"•'.

10. « n'étant plus forcément supposé premier, aucun des nombres

ri + b, c — (7. V — b n'est premiei-.

11. Cliacun d'eux a la forme N ou la forme — N, dans lesquelles N est un

n

nombre enlier.

12. Soil, s'il est possible,

a -h b — c'",

c — a — b'", (■ — b — II'" :

NOTKS MATHKMATiyUES. 157

oii a alors

c—.:)\1(n). 13.

'° (.r-f-.v)" — .r" — 7"— «.o (.r-4-j)l',

I' élanl (lo la lorme

l'= |l,.r'' '-H tt,.c"'-y+H,x"-'y-^...-h II, y"-'. ■2' Les coefllcienls soiil dormes par la rimiuiie

H„ =;);[(:„.,,„+,],

le signe + correspoiidaiil an cas où // est pair.

3" Le polynôme P est divisible par .r^+ xy + y^

Il esl divisible pai' ( r»-(- ,^■y -h y-)- si n ~ ;)K{6) + i (CAiniiv, Journal de t.ùtinUtc, I. .S, iS'io. p. i\.\).

IV. La dillërence des puissances «'''°" de deux nonihies entiers conséculifs a cl (7 + I élaiii diminuée île i. est divisible par

//rt ( n -(- 1 ) ( rt' -4- rt -i- I ) ;

les fadeurs a,ii -\- \, a- + a -^ \ sont premiers entre eux deux à deux. !■"). Si,datis réi|uation de Termal, le nombre a esl premier, on a

a"—\ — .Ml [nb{b-\-i)[b''-\-b -+- i)].

l(i. Le nombre f est compris enire

a + b et - (rt + b).

1*. \LtNsio>. — Sur le deiiiier tbéorème de Fermai ( Bulletin de l'Académie royale des Sciences de f>el,^ique, I. \'.\, 1887, p. ili-i". Keclification, l. 13, p. 225).

Soil ^'il esl possible

.i"-f- V

« _i_ x.n — -H

/( l'ianl premier im|)air, ,/■, j, :; trois nombres premiers entre eux cl tels

qu'un ail

a:<y < z.

L. de .lon(|uières a montré que le nombre moyen y *^sl "" nombre com- posé.

158 (Eli VUES DE FEHMAT. ^ CÔMPr.EMEATS.

On peut coiiipléler celle proposition et montrer que le plus i^rand des trois nombres .r, y et z est lui aussi im nombre composé.

M. Martûnf. — Dimoslrazione di un célèbre leoicma <li Fermai. Calanzaro, Dastoli, 2r pages, 1887.

BoRLKiTi. — Sopra il leorema di l'crmat relalivo ail' equazione

{/iealc hlitulo Lombardo di scienze e lettere: Rendiconti, ')/ série, t. ^0,

1887, p. 211-X'?.[\) .

B. Varisco. — Ilicerclie aritnieliche conlenenti la dimoslrazione générale del leorema di Fermât (Giornale di Math., I. 27, 1889, p. 371-380).

n. MiRr«A,\orF. — Sur l'équation .r^' -+- /•'''+ j" = o (Journal de Crellc. I. lU, 1893, p. '.(i-So).

Soit II le nombre des classes d'idéaux formés avec une racine primilive 6 (le ré(|uation .1' — 1 =r o, ), étant premier.

Dans un Mémoire iiiséié au tome W) du même journal, Kunmiei- a prouvé que l'équation

,z-^-t- v'-\- Z'^^z <i

est impossible en noml)res entiers, si II n'est pas divisible par À.

Dans le cas où II = o (mod ).), l'éqnaiion est cncoie impossible (les "/. éianl alors 37, 59 et 67) (').

M. Mirimanofî traite le cas parliculier de >. = 3; eu s'appuyaut sur la Ibéorie des unités c()mplex(>s. (Celle dernière théorie est exposée dans le même journal, l. 109, 1892, p. 82-88.)

T. Pépin. — Sur l'équation indéterminée

•r'+cy'-=z'

{/tfemorie délia /lontijîcia Accadeniia dei i\'uovi Lincui, 1892, p. '.\i--x).

Les solutions de l'équation considérée se déduisent de la ibéorie des formes quadratiques.

(') Abhnndlungen der Beiliner Académie, iSJ^j.

NOTES M AT H ÉM AT ion ES. 15!»

\.-S. IJang. — Oiii en SiEtning af FeiiiiiU [.r"-t- j" ^;"J {/Vyl Tidssinifl for Malhemalil;, t. i, 1893, p. io5-io7).

Duroitoom. — Suniiu! généralisalion possible du ilernier lliéorème de Fermai. {Annales de la Société scientijîi/tie de liraxcllcs:, I. 17. 1893, A, p. 81 ).

Kelaliveiiieiil au deiiiiei- lliéoièine de Feiiiial sur l'impossihililé de la rela- lion (/"-!- b"~c", M. Diilorduir croii (jue celle relation est encore impossilile si l'on suppose /i ralioniK'l et dilléreiil (I(î i et 2; en parliculier la rela- tion v''' -+- ^l> = y/t est impossible riuaiid l'un des trois nombres a, b, c n'est |)as un carré parfail, et celte impossibilité résulte de celle proposition géné- rale :

La relation v''' + ^ l> = v''-' + \^'^ est impossible si c esl difTérenl de a et de b, (luand l'un des (|natre nombres a, b, c. d n'est [)as un carré parfail (Eucliue, iC Livre des /i'/ewe/iis, prop. XLII; éd. lleiberg, t. ;i, Leipzig;. 1886, p. ^48-49).

(î.-B. Matiiews. — Note in connexion witli F(M-mal's lasl llieoreni ( Tlic Mes- senger 0/ maC/icmatlcs, 2' série, l. 2i, 189:4, p. 97-99).

Soil /. un nombre entier positif et soit /■ = r ' . Le proiluil

!•*= Il (/•«+/■>+ n)

<'lendu à tous les groupes disliucls possibles /*, /?, rV des racines de l'équa- tion .(■'• — I ~ o, s'annule quand /.• est <livisible par 3 ; mais dans tous les autres (!as, c'est un nombre entier dilférenl de zéro.

Il est évident géomélriciuement, (|uand les racines sont représentées sur une circonférence de cercle, et quand 1*^ ne s'annule [las, (|u'on a

OÙ U/, est lin nombre positif entier.

Supposons /. = 7 et éciivons pour simplifier

alors I* esl le produit de S') facteurs {xpy} et peut être réduit à la forme

I», = (oi2)'(oi3)'-(oi4)'(oi5)-(oi6) { o-iS )' ( 02 '1 y ( 025 )■' (026 ) (o34)'(o3.''))'(o36) (o35)'(o36) (o56)

160 ŒUVKKS DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

c'esl-à-dire

I>,= (oi2)Moi3)'(oi ',)-(oi5)'(o?,/l)'= — 2', d'où

Les valeurs correspondantes do U/. pour

/, =:/), 5. 7, 8, lO, i4 sont :

U/. :^ I , I , '>., 3, II, 9.'. 29.

Supposons n cnlier el lel que

/( /, -t- I ^ ij

soit premier. Alors les lacines de \;\ ('(jn,;;ri)eiice

.r'- — I ^E o (niod^)

sont réelles el premières avec 7, el lu congrnence

Ua = o (mod^)

(!sl une condition nécessaire pour cpie les trois racines distinctes ./•„, .ip, .r^ satislasscnt à la relation

.Ta + J'p + îy = o (rnod7).

Si par exemple /.■ = l'i, la condition csl

2*. 29 ^ 0 ( mod^)

el la seule valeui' possible de 'j esl 29;

.f'-H )^+ -^= o (niod43) (>st impossilde, à moins que l'un des nombres

x'\ y'-', c^, y'-' — ;■■', :;' — ,/■■', /-'—y-'

ne soit divisible pai' !\?).

Quand 7 t= 39 la coiif^ruence devient

.r"- -+- y- -i- :' ^ o ( mod 29),

el ceci peul être vérilié par des valeurs de x. y, z. premières avec 29. l'ar e\em|)le

■i—\, y = 2, ; = i3.

NOTKS MATIIÉMATIOUHS. 161

Supposons (|iie dans la relation x'' + y'' H- 3''=:o, p soit nn grand nonilire premier, el snii k un nomlire piemier avec 3 el tel que (/ = ^/> -(- i soit pre- niiei-. Si l'on suppose (|ue .r, >', :: esl une solution entière de

X'' + j/'-f- ;'' — o,

il sera pos<iliie de choisir /. d'une iuliuilé de manières, telles que Ay* -h i soit pieu lier el non un facteur de .'\ y, :■ ou ûc yi' — z'', z'' — .r'', a:'' — y'';el telles (|ue /, soit premier avec 3. Ceci étant, nous avons

Ll/,= o (mod^).

Si l'on pouvait montrer f|ue, quand /> esl donné, il y a une iiifiiiilè de nombres premiers /./>+ i pour lesquels la congruence

U/, ^=o (mod^) n'est pas satisfaite, le théorème de Fermât serait démontré.

(î. KoR.NECK. — lîeweis des Fermat'schen Saizes von tier Uumoglichkeit der Gleicliung .v"-i-y" — z" fi'ir ralionale Zahlen uiul «>2 {Arc/ih' d. Matlie- matik iirid P/iyxi7., i' série, I. 13, iSy'i, p. 1-91.

(i. KoR.NECK. — Xaclilrag zu dem Heweise des Fermat'schen Satz.es {Ibid., 2= série, t. 13, 189^, p. 268-267).

É. 'Picard el H. Poincari-. — Uappori verbal concernant une démonstration du théorème de Fermai sur riuipossliiililé de l'équation x" + y" z= z" (Comp/cs rcii'ltis. I. 118, 189'), p. 8.'|i).

La (lémorlstiation proposée par M. Korneck ne |)eut èlre acceptée, car elle s'appuie sur \\\\ lliéorème inc.iact :

77ico/èi/ie. — Soient des nombres n et /. premiers entre eux {n étant sup- posé impair) et non divisibles par un carré. Si l'on a, eu nombres entiers,

n:c--h Ay-=z", X est divisible par /(.

11 est facile de voir que la jjroposition esl inexacte. Par exem|)le, |)our

/( = 3 , /. =r I , j- = _/ := i := '1 ,

« = 5, /. zi- 3, x=:i, /=3, - = 2, ....

l'F.RMAI. I\ . 2 1

16-2 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

E. DE Jonqlièhes. — Sur une queslion d'algèbre qui a des liens avec le der- nier Ihéorème de Fermai (Co/7!/;<e5 re/îf/j^, 1. 120, 1895, p. 1 139-1143).

Soient a, h, c des quantités non transcendantes et > o, /; un nombre

entier > o, et a=pq.

])ans la formule

a" =€" — b"

est-il possible d'exprimer c el b par des fonctions algébriques de p el 7 telles que l'identité littérale s'établisse finalement entre les deux membres ? Dans le cas de /; > 2, le problème est impossible.

D. Gambioli. — Memoria bibliogralica suH' ullimo teorema di Fermai {Periodico di Matemalica per l'insegnamcnto secondaiio fondato da D. Besso, (2), t. 3, 1901, p. 14:">-I92).

D. Gambioli. — Appendice alla mia memoria bibliogralica suH' ullimo teorema di Pietio Fermai {Periodico di Mmtemalica (2), t. i, 1901, p. 48-5o).

F. LiNDF.MANN. — Ucbcr den Fermalschen Salz belrcll'end die Unmôglichkeit der Gleicbung jr" = j"-i-:" (Sitzungsberichle der malhemal.- physikal. Klasse der Kgl. Akademie der iVissenscha/ten zii Miinclten, t. 31, 1901, p. 1 85-202 el 495).

A. -S. Werebhjjssow. — Sur l'équation x* -h j* = .\.z' {Recueil math, mosco- vite, t. 2.^, 1905, (en russe) p. 466-473).

E. Maillet. — Sur les équations indéterminées x^-i- j'i=c3* {Annali di Mal. (3), t. 1-2, igoo, p. 14J-178).

E. Maillet. — Sur l'équation indélerminée a:" + y" ^ bz" {Comptes rendus., t. HO, 1906, p. 1229-1230).

E. Maillet. — Sur le dernier théorème de Fermai {Toulouse, Mém. (10), t. 5, iQoS, p. i32-i33).

A. Rang. — Nyl Revis for al Ligningen x* — y'= :' ikke kan bave ralionale Lôsninger {Nyt Tids. for Matli., t. 16, igoS, p. 3.5-36).

F. Lindemann. — Ueberdas sogenannte letzle Fermalschen Theorem(y}/M//c/i. Ber., t. 37, 1907, p. 287-352).

L. ScHLESiNGER. — Ucber eiii Problem der diophanlischeii Analysis bei Fermât, Euler und Poincaré {Deutsche Math. Ver., t. 17, 1908, p. 56-57).

Étant donnés cinq nombres entiers A, R, C, D, E, déterminer x de telle

NOTES MATHÉMATIQUES. 163

façon que l'on ait

V(x) = A + Bj? + C.r'4-D-r=' + Ex', y{.T) étant un nombre carré.

A. -S. Werebrussow. — Sur l'équation

-^^ -t-y' + -' — 2«'

(Recueil mathématique moscovite, l. 26, 1908, (en russe), p. 622-624). A. HuRwiTz. — Ueber die diophantische Gleicliung

{Malh. Ann., l. 60, 1908, p. 428-43o).

Résolution impossible en nombres entiers. L'auteur en déduit l'impossibi- lilé de l'équation de Fermât

L.-E. Dickson. — On the lasl tiieorem of Fermât {Messenger (2), t. 38, 1908, p. 14-32).

L.-E. Dickson. — On the congruence x'"- -\- y"' + z"' ^ o (inod p) (J. fur Maih., t. 135, 1908, p. i34-i4i).

L.-E. Dickson. — On the lasl theorem of VarrcïAl (Quart. J., 1. lO, 1908, p. 27-43).

L. Best. — Benels der Fermatschen Satzes, Darmstadt, Schlapp, 3 p. in-8'', 1908.

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A. r,ÉiiARi)i>. — Kini acliiol de la (Icinoiisttation du grand Ihôoréme de Fermai

,C" -H y" =: z"

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Fermât a trouvé une propriété aritlnuéticpie (|ui est traduite par l'égaillé

a'' =1 Dtp -+- a. Généralisée elle devient

p étant premier et les autres nombres entiers f|ucicou(|iies.

Application de la formule (1). — Soit (2) ,^;i7^_^37^ -37.

(i) fournil aisément

?. /« -\- ,r.

l 3 //i H- j;,

I T) //; -H ,r,

.i''" ^^ I -j m -\- x,

J i3 /« -t- x,

f I () m -+- X,

■ 3(") m -+- .V.

Diuir .c" — .r, (|ui est niulli|)le de 2, 3, j, 7, i3. 19, 3-, est uiuliiple de leur produit (>t je puis écrire

x^' — .c = 2 . 3 . 5 . 7 . 1 3 . 19.37/» = V ni.

r''— y= Vm'.

='"— ; = !>/« ". .r" + y" — :^' -i- V m, — X -i- y — z-,

ou, en vertu de {2),

( 3 ) .c -h y — z — Vm,;

16G ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

il est aisé de prouver que Pwi esl positif; (3) donne

x = Pw,-i- (; — r)

et, si j'ai x < y < z, donne

X > P -h I ou x>i9i9i9i.

Conclusion. — Si l'équation (2) admet des solutions entières, elles sont supérieures à ce nombre, ce qui n'invite pas à penser que cette équation en admet.

Reniar(]ue. — De la formule

je tire aussi aisément

a'' = 2.3.5.7. 18.29.85 = 6729450m -+- a, rt"r= 2.3.5.7. '•^- '7-'i9 = 'i "2-] (\ orront -+- a,

et j'en conclus comme ci-dessus pour les solutions entières de

j. -t- / — -.' ,

supposées possibles, des nombres considérables.

La même remarque est applicable à autant d'équations de Fermât que l'on veut considérer.

PRIX WOLFSKEUL.

En vertu des pouvoirs que nous a donnés M. le \)' Paul Wolfskehl, décédé a Darmstadi, nous fondons par les présentes un prix de cent mille marks sous le nom d'Einhunderttausend Mark, qui sera délivré à celui qui donnera le premier une démonstration du grand théorème de Fermât.

Dans un testament, M. le D' Wolfskelil observe que Fermât (C^'hc/w, Paris, 1891, t. I, p. 291, observ. H) affirme mu talis mutandis que l'équa- tion a-^-+-)'^ = c' n'a pas de solutions entières pour tous les exposants X qui sont des nombres premiers impairs. Il y a lieu de démontrer ce théorème soit en général, suivant les idées de Fermât, soit en particulier, conformé- ment aux recherches de Kummer (Journal de Crelle, t. 40, p. i3o et suiv. ; Abli. der Akad. d. Wiss., Berlin, 1867), pour tous les exposants X pour les- quels il a, en somme, une valeur. Pour plus amples renseignements,

NOTES MATHEMATIQUES. 1G7

consulter Hilbeut, Théorie der algebrahchen Zahlkorper (Jaliresbericht der deulschcn Malhentatiker-Vereinigung, t. IV, iStjl-'SoS. P- '72-173, et Encyklopddie der matliemalisclicn Wissensc/ia/ten, Htl. 1, Teil 2, Arilhmetik und Algebra, 1900-1904, ' C, !\b, [i. "iS).

La fondation du prix a lieu sous les conditions suivantes:

La Kônigliclie Gesellschafl der Wissenschaflen in Gollingeii décidera en toute liberté à qui le prix doit être attribué. Elle refuse d'accepter tout manuscrit ayixwi [loiir objet de concourir;! l'obleiilion du prix du ihéorème de Fermât; elle ne prendra en considéralion (|ue les Mémoires mathématiques ([ui auront paru sous forme de monoirrapliie dans des journaux périodiques ou qui sont en vente sous forme de Volumes, en librairie. La Sociéié prie les auteurs de pareils Mémoires de lui en adresser au moins cinq exemplaires imprimés.

Seront exclus du Concours les travaux qui seraient publiés dans une langue qui ne serait pas comjjrise des savants spécialistes désignés pour le juge- ment. Les auteurs de pareils travaux pourront y substituer des traductions dont la (idélité soit certaine.

La Société décline toute responsabilité au sujet du non-examen de travaux dont elle n'aurait pas eu connaissance, ainsi (|ue des erreurs qui pourraient résulter du fait que le véritable auteur du travail ou d'une partie du travail était inconnu de la Société.

Elle se réserve toute liberté de décision pour le cas où plusieurs personnes s'occuperaient tle la solution de la question ou pour le cas où cette solution résulterait «le travaux combinés de plusieurs savants, en particulier en ce qui concerne le partage du prix, à son gré.

L'altiibution du prix |)ar la Société aura lieu au plus lot deux ans après la publication du Mémoire à couronner, (^et intervalle de temps a pour but de permettre aux malbématiciens allemantls etéirangers d'émettre leur o|)inion au sujet de l'exactitude de la solution publiée.

Dés qiie le prix aura été attribué par la Société, le lauréat en sera informé par le Secrétaire au nom de la Société et le résultat sera publié partout où le prix aura été annoncé pendant la dernière année écoulée. L'attribution du prix par la Société est itiullaquable.

Le payement du prix sera fait au lauréat, dans l'intervalle des trois mois (lui suivront son attribution, par la caisse royale de l'Université de Gotlingue ou aux risques et [)érils du destinataire en un autre endroit qu'il aura désigné.

Le capital pourra être versé contre (luitiancc, au gré de la Société, soit en argent comptant, soit par simple transmission des valeurs financières (|ui le

168 ŒUVRES ItE FEUMAT. - (.OM l'LEMENTS.

coiislitueiil. Le payeiiieiil du piix sera tlonc considêcé comme effectué par la Iransmissioii de ces valeurs, lors même que le total de leiu' valeur au cours du ji>ur u'alteindrail plus cent mille uiarks.

Au cas où le pi'ix u'aurait pas été délivré au i3 septeuibre 2007, aucuue réclaïuaiioii ullérieure ne seiait plus atluiise.

Le (loucours poiu' le prix W'oll'skelil est ouvert à la date de ce jour aux

condiiious énoncées ci-dessus.

(iorriNGr.N, 27 juin 1908.

Die Konigliclic GcscllscliaJÏ der Wisscnsclio/tcn.

M.

UN l'KOHLÈME DE TRIANGLES RECTANGLES KIMÉRIQUES.

(ToMii I, p. j-2i-r>J: ToMi: III, p. 2(ii-?.(jj.)

P. Tanneiiy. — Sur ini proi)lèuie de Fermai (Itullelin de la Société inatlié- ma tique de Fiance, t. IV, année i885-i88G, p. \\-'^')).

I. Diophaute ramène un de ses proidèmes {V, 2.5) à la recherche de trois triangles rectangles en nomhres (') tels que le pi'oduil des trois hypoténuses pai' les trois hauteurs soit un nombre carré.

Il se donne ensuite l'un des trois iriauj;les, soit ( J, 3, '\); comme la hau- teur de ce tlernier, !\, est un carré, il lesle donc à cherchei- deux triangles («,,/',,(■,). (a,, b.,, c,), tels ([ue

(1) a,c,= 5a,Co.

Le resie du problème est corrompu.

Bacliel a donné de la première des deux questions une solution assez élé- gante ipie Cossali a traduite de])uis en langage algéhrit|ue, mais (|ui n'étant,

(') On appelle ainsi un groupe de trois nombres («, b, c), entiers ou jractionnaires tels que n- = i--h <•'-: n est l'iiypolùnuse du triangle rectangle, b sera la hase, c. la hauteur.

NOTES MVTIIKMATIOUES. Ki!»

I)ieii enlendii, milleincnl générale, ne s'applique i)oinl à la forme spéciale (i) à laquelle coiuhiit le lexle de Diophanle.

Fermai s'esl proposé la divinalinti de la soliilioii perdue, mais il y a élé moins heureux qu'ailleurs ('). Au lieu de s'allaclier au texte même, il a ahordé le prohiéuie a priori d'une façon qu'on peut représenter comme suit :

Soit à traiter, en général, le problème

(3) o,c, = /MfloCj;

d'après la théorie des triangles rectangles en nomhres, on peut poser

di-P'-hq-, r, = ■>./„/, a., ^r- /■'- -+- .«', (% ^ 2 rs,

/>, 7, / , A- étant des indéterminées.

Si l'on suppose d'ailleurs r—p, ré(|ualion (2) deviendra

d'où

r'- --

'/'

Dans ses Iransformalions subsé<|ueiiles, Fermât a commis une erreur de

signe, en sorte qu il résout le problème de rendre carre le nombre '- ,

(/ — m s

el non pas le problème (lu'il s'élail posé. Il a reconnu ensuile son erreur et,

sans donner d'antres explications, s'esl contenté d'affirmer qu'il avait résolu

généralement la (lueslion et d'en donner une solution particulière, pour

m — 5, en nombres assez grands pour (|u'on ne pût, dit-il. imputer leur

découverte au hasard (-). Ces nombres sonl les suivants :

«1 = 48543669109, ^,= 36083779309, c, = 3j47-'-'^7à28o, a.,-^ 'i 2 636'] 5 9.1)38, ^j= 4' 99069.5400, c..= 7394200038.

2. Il est difficile de révoquer en doule l'affirnialion de Fermai, qu'il a résolu généralement le problème; cependant il peut y être arrivé en abandonnant la

(') La solution do DiophaïUc a él(: reconstituée d'après le texte de Bachel par le tra- ducteur allemaiid Scliultz (Berlin, 1822); elle reposesur un artifice tout particulier cl ne peut conduire aux nombres iiulicpiés |>ai- Fcinial.

(') Quaestionem ipsam Diophanieani nos iteruin exaniini subjicienics el luelliodum nostrarn sedulo consulentos, tandem gcncraliler solvimus. lïxeanihim lantuni subjiciemus, confisi numéros ipsos salis indicaturos non sorti, sod arli sohilionem delieri.

Fermât. - IV. 22

170 ŒUVHES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

voie qu'il avait d'ahord essayée et en retrouvant soil l'artifice de Itioplianle, soit quelque antre semblable.

Si en effet, dans l'équation (3), on substitue

^ r= //!<( j- H- i), i = /(.r-Hm-), p^ty,

on arrive à l'équation indéterminée

(l\) j:' — ini-.r — wi-( w' -t- i) ^.v',

qui, sous sa forme générale, est incontestablement rebelle ;i toutes les mé- thodes de Diophante et de Fermai que l'on connaît.

Mais il est certain, d'un autre C()té, (|iic c'est au contraire en suivant sa pre- mière voie que Fermai a obtenu les nombres qu'il a donnés. Si l'on calcule en effet les nombres générateurs de ces triangles, il vleni

/? = /• = soS 708, // = 78980, «^ 1-973.

Ainsi nous retrouvons l'hypothèse fondamentale /> = r, (|ui conduit à l'équa- tion (4).

Il m'a paru intéressant d'appeler sur cette diffinillé l'attention des mathé- maticiens.

En nous bornant d'ailleurs au cas spécial on m =^ 5, sur lequel ont porté les calculs de Fei'mat, l'éciuation (4) devient

( 5 ) x' — 75 r — 65o =■ v' ;

nous rencontrons une nouvelle complication.

Il est facile de voir que, dans ce cas, nous avons une solution immédiate (/> =:r — I, 7 = 2, i= 1). A la vérité, elle ne permet pas de construire les triangles demandés par Diophante; mais, avec la méthode de Fermât, une première solution en donne une inlitilté d'autres par voie de dérivation suc- cessive.

Comme, en général,

ma — s /?(' — I .V = //) '- , V HZ />ip >

/«.v — /■/ ■ ms — /f

celte solution immédiate correspond au couple de valeurs

a, = i5, ,r,=r4o. En substituant dans le premier membre de ré{iuation

X = i;") -+■ x\

NOTES MATHÉMATIQUES. 171

le lenne caiistHiil devieiil le carré (4o)', el l'équalion transformée peut être traitée d'après la mélliode de Diophaiite. On obtiendra ainsi une seconde

valenr .r.= —jr^, d'où l'on pourra déduire les triangles suivants, salislaisanl

au problème de Fermât:

<'/, = 87i25. <;, = 7923, (•, = 86764,

/72=r4*>325, 6^=: 82877, fjT= 32636.

Oi' ces nombres sont certainemeiit déjà assez compliqués pour ipie Fermât les eut sans doute donnés, s'il avait fait la même déduction, d'autani c|u'elle esl ime ap|iiicatioii d'une de ses niétliodes. D'autre part, sa solution numé- rique n'a cerlainemeut pas été obtenue par cette voie; car, si l'on poursuit la recherche des solutions sui%antes, on arrive presque immédiatement à des nombres beaucoup |ilus élevés que ceux qui correspondent aux triangles de Fermât.

La fai-on dont il a obtenu les nombres générateurs de ces ti-iangles reste <lonc un mystère, et il peni èlre peiniis de penser que, (|Uoi (|u'il en ait dit, il aura été aide par le hasard dans une certaine mesure.

Je ne prétends point au reste traiter la question à fond; Je me bornerai aux (pielques indications suivantes pour épargner des tentatives inutiles à ceux qui voudraient l'aborder.

Si (par une restriction spéciale) on jiose

en même temps rpie

l'équalion (5) prend la forme

;• — .\ ;2 _ H — 2 « ; • -)- „\

D'après les valeurs numeri(|ues el la solution de Fermai, B + w' se trouve un carré, el, si l'on pose

on trouve

L'équation |iroposée se i-amène dès lors à

;' — 2 M - — /V — i'- ^i ù

172 ŒUVHES ni<: FEHMAT. - COMPLÉMENTS.

et l'on prendra

Z — Il -{- If.

Si l'on se donne c — i, on Irouveia d'iiilleuis qne, pour oblenir ainsi la soiulJDn, A el B sonl soumis à une douijle coiuliliori ; si au rontrairc on cherclie à déterminer r de manière à ohlenir la solulion en conséf|uence de celle délerrniualioii, ou tombe sur une éf|uaiioii beaucoup plus complexe que la ])roposée.

S. [{oBKKTs. — Sur le aS" problème du '>" Livre de l)io[)baul(' el la solulion de Fermai ( issocia/ion françai<;c pour l'avanci'incnl rtcs Srie/ices. 1 5" Session : Nancy, i. 15. -s Partie, i886, p. .'i-^-'io).

1. Dans un Mémoire sur un problème de l'ermal {/lii/lrlin ilc l,i SociéU- mathéinalique ilc France, séance du i déceudjie iS8r>), M. l'an! Tanuery rappelle l'affirmaliou île Fermai, ([u'il avail découvert une solulion ;i;énérale du problème eu question, doui il doiuie un résultat riuméiiqiiect particulier à l'appui de sa déclaration.

D'après M. Tannery, on ne sait pas comment Fermât était parvenu à sou résultat, encore moins le procédé dont il se servit dans le cas général.

Enéludiaiit le travail de M. Tannery, j'ai retrouvé le résultat particuli(»r et, de plus, un procédé (|ue l'on peut appeler général et dont Fermât pou\ail très jirobablemeul être en possession.

Comme nu certain intérêt s'allacbe toujours à la vérification, non pas de la bonne foi, mais de l'exactitude des assertions de Feriuat à l'éf^ard d'énon- cés de ce genre, j'ai pensé qu'il serait utile de meilre mes conclusions en évidence.

i. Diopbaute se propose de trouver trois carrés tels (|ue, si l'on relrancbe successivement cliacun d'eux du produit des trois, les restes soient des carrés. La question se réduit au problème île trouver trois triangles rectan- gulaires numériques tels que le produit des trois perpendiculaires, multiplié par le produit des trois bypotéiiuses, soit un carré. .Ius(|ii'ici sou raisonne- ment est facile. Il supi)0sc, ensuite, un triangle rectangulaire donné dont les côtés sont 5, ^, .J, et se met à résoudre l'équation

(<) . n',C, = .")(/., c,,

oii les deux liy|iolénuses sont désignées par (/,, «. el les deux peri)endicu-

NOTKS MATilKM VTIQIIKS. 173

laircs par c,, c^. Mais ici le texte devient corrompu à t(!l poiiil ijiie la iiiétliode reste problémati(|iie.

Dans sa Noie sin- le pioblènie, Bacliet (loiiiie une solnlion

.-.. 1. 3.

(')"). (i3. i(). où

(iô. iG. 1 5. i>. . ") .3 - [3.

On peut obtenir d'autres solutions de cette sorte (|)ai- exemple .">, '\, ■'>; i3, I >.,.'); 65,(10, ■>5). Mais elles ne satisfont pas à la condition imposée dans le texte.

:?. Snppléanl à la Note de Hacliel, {'"erniat nuM, en ctïet, l'éf|uation

'/(/''+"r)^^-*(/''-f--^-')'

ou

mais par erreur il résout

m

II

7

""■-

■v'

-.-,,

équation rt'soiuhle eu remplaçant '/ par \ — m — //. v par ;/* — //, piiisun'on

aura

m ( \ ^- //( — n Y — n ( /)/ — /i )^ ! \ in{in — n) — ii{\ -^ m - ii)\ — Q,

le terme consianl étant un carré positif. Ayant reconnu son erreur, Kermat ajoute :

« Quœslinnein ipsam Dioplianleain iioi'o ilcruni examine siihjicù'iiles et inelliodum noslram seduli ronstilentex, tandem generaliter soh-imiis : exem- pluni lanturii suh/icieinu.s, coiifisi numéros ipsos satis indicaluros non sorti, sed arti solutionem deberi. In propositions Diophanti quœrenda duo triait- '^tila rcctangida ea conditione ut productum sub liypotenusâ itnius, et perpendiculo ad productum sub /lypotenusa et perpendiculo atterius habeat ralionem quant ij ad \ .

« IHn duo triangula, primuni. cujus hypotenusa 48543603 109, basis

174. ŒIJVKES DE FEHMAT. — COMPLEMENTS.

36088779309, perpendiculuin 32472275580, secunduin, cii/iis liypolenuxa 42636752988, basis !\i QqoÔQb^Sr), perpendiciiltim 73i)'i 200088. »

4. Keporlons-nous au cas spécial — = 5. hi nous posons

(

(,y3_ 5,.3) (5,, — ./) = (5.S- - <7)V= n,

les valeurs // = 2, /? ^ ^ = 1 donnenl !(> système évitlent

5. 4, 3, ■', 4, 3. •i. 1. o.

Mullipliant par /* et remplaçant iq par \ -i- 2, ^v p;ir \ + i , on aura

- i6\--48X'-39\=-H3\+9=n= fs-h - + h\'\ ,

dormant

/, _ ' C V — '99 X 24

24 6778

Les valeurs que l'on en lire pour /'/, /.v, //) soni

8770 1997 205708

6770 (5778 9 X 6778

ou, en prenant / = 9 x <'>773,

ly = 9 X 8770, .V =r 9 X 1997. /' ^= 200708,

nombres (]ni donnent la solution de Fermai.

Égalemenl on peui rt'ni|)lacer iq par «X + 2, is par AX -h i; le résultat sera le même à un l'acteur commun près, mais il convienl souvcni de faire ^ — o, rt = I.

5. Une solulion disiincle résulle quand on remplace o X + 2 par -, />X + 1

n

par - dans l'équation s

'iW^ P°) — à* (/>- + ■<-) =^ o.

Le coefficient de X étant i3a — 6 b, si l'on pose

a = 6, /' r= i3, ou aura

6(i3'+6=)X + (6'-hi2 X i3-3 X i3') = o.

NOTES MATHÉMATIQUES. 175

d'où l'on lire

2 V 82 .1 82

M. Taiinerv a donné celle solution. II y parvient en faisant usage de la

trimsforiuée

.r^ — 75.r — 65o = □.

Il prend pour la forme du carré (4o -t- /i \)-. En prenant la forme

(4o-»-/rX-H/(X')',

il aurait rencontré la solution de Fermât.

(i. Maintenant, à propos de la déclaration par Fermai (pi'il avait résolu la

question généralemeni, il est possible qu'il n'avait pas l'intention de dire

qu'il avait résolu

rt,c, = ma, Ci,

m désignant un nombre arbitraire, mais seulement en supposant que ni soit riiypolénuse d'un triangle rectangulaire donné. En effet, celle-ci est l'idée de Diopliante. Supposons donc un triangle donné ayant les côtés

). ( ,a' H- v' ) , ■?. >./jtv , >. ( jjL^ _ V- ) . L'égalité

2?.. 2/>7. 2/.( />' -H ^/- )

p J p-

!J- \U-- /

F \F-- est satisfaite par les valeurs

p ^ jj., y =1 V =r .ç r= 1 .

Si 2>.'fxv est un carré (4 A-'), l'équation prend la forme

1.2/J(/ .!{ P' -^ '/') - , , '—i ~ — = /■(!■'■+ "■'■) — hypoténuse.

F \ IJ-- 1

La résolution de {a) se trouve ramenée à rendre carré

(JL- OÙ

m = v(fx- -1- V-).

176 <KUVI{ES l)K FEHMAT. - COMI» LKMENTS.

Uemplar.ons - par X + y et supposons que la forme du carré soil,

ou aura

_ 3 V' -f- 1 -i JUl' v' -H fJL*

2 (y" — fA'''v)

.V ' ~ (Sv'-h i2(ji.-v-+ jji')-+ iG/jL»y-{v- — p.-)'''

Désignaiil par a, h, <■ les côlés du triangle

on trouve

De plus

(Jl'-t-v'', -.ifxv. v" — fj.-

, /(a- — ■2C- -h (JC

Il ^ :

2VC

a i(j(7-' + i3ac- + 24a'''c

_ ;:^ -y —

s 1 6 rt^ — II ac- H- 8 a- c — 4 v'

lits — 1 IX~ <l

_ ^vr 4- (a + -...c) \ + A \M .--. --f-!- r

r

4 c' + 2/1 ac^ 4- 1 <> ri"- c

ifirt'' — I I (7C--t- 8n'c- — f\c'

d'où l'on lire

on a

.j jj. I i28rt''+ 24oa'c- -+- i3r)rt-c--4- 33«c''-!- Sc^ [ !> 3 c ] I G (7 ' — 1 1 rtc- -t- 8 n' c - .1 r' [

Si l'on li'aite récpialiou

2'/(/)^+ f]')[i.--— v(/^- + v')i-(;o-4- fx-.v-) — >P.

\ =

|V^(V^_f,-i,-2^_^-<(p._^

OU

^ =v(,.-\ -+-I), ^ =rzpL[(23!-hC)\ -T->|,

Les expressions ci-dessus données renferment la solution (h; Fermai et celle de M. Tannerv.

NOTKS MATHEMATIQUES. 177

7. .V;ù dit que les mois de Fermai ii'iiidiqiieiil pas nécessairemenl qu'il préleudait avoir résolu l'équation (i) pour un nomlire ari)ilraii-c m entier ou fraclioiuiaire. I^'exemplc niiméri(|ue ipi'il dotiiie appartient au cas moins généial.

Mais il convient de citer II' probjéino dont il ("ail inenlion dans sa corres- pondance avec Mersenne (').

Trouver deux triangles rectangles, en sorte (|ue le contenu, sous le ])lus grand côté de l'un et sous le plus petit du même, soit en raison rionnée au contenu sous le pins grand côté et le plus petit de l'autre.

Voilà le problème nettement énoncé dans la forme la plus générale.

Pour le moment, nous mettons de côté la grandeur relative de la per|)en- diculaire.

(considérons l'équation

k-/'r/(//--i- (/-) /N

L-'/-.s( /■■- -+- s^) //

011 /// peut être plus grand que n.

( ') Clic |)iir M. Mario, Hlsloire tics Sciences iiiatlicinatitiiics, tic, l. IV, p. loy. Coni- Miuiiiiiué à l'AiMciéniio îles Sciences, séance du 3 dcccinliro i8S-.>. ; je n'ai pns vu celle Note (S. R.).

Voici la Noie à laquelle l'ail allusion M. S. KoberLs et qui a élé connnnniiiiiée à l'Aca- déniio des i-incei :

(',. IIknrv. Sur quelques /iroposilio/is incdilet dr Fermât (Séance du 3 décendire i88>.).— Les pruposllions suivantes sont extraites d'une Correspondance inédite de l'ermat avec le Père Mersenne, possédée par M. le Prince Ballhasar Boncompagui. Cette Correspondance renferme un grand nombre de problèmes proposés à Frenicle, à un M. de Saint Martin, ù un M. de Sainte-Croix. Voici les propositions inédites:

I. Tltéorèmc. — Soient trouvés deux carrés desquels la somme soit carrée, comme o et i6. Soit chacun d'eux multiplié par un même nombre composé de 3 carrés seulement, comme ii. Ces deux produits seront 09 el 17G qui satisferont à la question, car chacun d'eux et leur somme sonl composés de 3 carrés seulement; et ainsi parla même voie vous en trouverez infinis, car au lieu de 9 et iG, vous pourrez ()iendre tels autres ». carrés que vous voudrez desquels la somme soil carrée el au lieu de 11 lel autre nombre que vous voudrez composé de 3 carrés seulemenl. Si vous prenez au lieu de 1 1 un nombre composé de 4 carrés seulement, comme 7, chacun des deux produits, ensemble leur somme, scronl composés de 4 carrés seulement. — Que si vous voulez non seulement ■>. nombres, mais 3 ou lel nombre que vous voudrez desquels un chacun, ensemble la somme de tous, soil composé de 3 ou 4 carrés seulemenl, il ne faudra que trouver aulanl de carrés ([ue vous voudrez des nombres desquels la somme soil carrée ot les multiplier chacun d'eux, ut suprîi.

Ce ihéorème est vrai, même sans les restrictions qu'y apporte Fermai ; il n'est qu'un cas parlicidier de propositions trouvées postérieurement par lui. On sait en effet que

t'KRMAT. — l\. ■■''

178 (i:UVI!i:S DE lEUMAT. — COMPLEMENTS.

Dans sa Note an i\' problciiK' du ô' Livre de IHopliaiile ('). l''ermal donne plusieurs solulions de réqualion

Wl'( H- — ('-) /"

i<',r( ir- — .!■'') Il ' par exemple, il pose

a =r 9. m -\- n, r i^ m — « = ./■, ir r= ■? + //;,

lir=C)in, i:='>.in — /(. IV := 'i /« 4- /(, a? = 4 "* — ■'-".

// := m -+- /i //. (' =: ! nt — 4 ". "' "= 4"' X ^z ni — ■•>. n.

<]es valeurs soni irouvées facilemenl, jinisque nous avons les solutions

(/ := o, w -.— T et « 3= (', (V ^ o.

Mais en remplaçant /', y pai' //" — c-, i in'\ i\ s par u' — ,i'-, an ,r, on trouve

P'/{p'-i-'/-) __ '■>.in'(u-— ('-) («--)- 1'^)- /•.v( /■= H- .V- ) '!U'.r((r- — .r-) (iv- + X*)-

en sorte «pie l'on peni l'aire

(«=-t- .'M- /•■'(/•'-+•«■) "■ /' '

el les côtés des deux Iriangies sont

(tv--h.v^) {p--h '/'). {iv- -h .r-) {p° — 7'), 2/jy(ir- + x').

{11"- -h !'•) (r- -t- .S-). ("'- -1- '■') (/■■' — s--), ?, rx(ii'- H- (•■-).

tout nombre entier qui, débarrassé de la plus grande puissance de 4 qui le divise, n'est pas de la forme 8.r -+- 7, peut être mis sous forme ternaire x^- -^ j- -h z^ el l'on sait do plus que tout nondîi'c entier osi la somme dé quatre carrés ou d'un moindre nombre de carres.

II. Prohlimcs. — Trouver deux triangles rectangles dont les aires soient en raison donnée, en sorte que les deux petits côtés du plus grand triangle ditlèrent par l'unité.

Trouver deux triangles leclangles en sorte que le contenu sous le |)lus grand coté de l'un et sous le plus petit du même soit en raison donnée au contenu sous le plus grand côté et le plus petit de l'autre.

Trouver un triangle duquel l'aire ajoutée au carré de la somme des deux petits cotés fasse un carré. Voici le triangle: -JioSyOg, igoiSi, 78320.

Data suinnia solidi sub tribus lateribus Iriaiiguli rcctanguli numéro et ipsius liypo- Icnusa, inveiiire terminos intra quos area consiitit. Nec moveal additio solidi el longitu- dinis : in problemalis enim nuniericis quantiiates omnes sunl liomogenœ, ut omnes fiunt.

Ktanl donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence de deux nom- bres dont le produit est un nombre carré. (H.)

(') Note au tome 1, p. !iS-j>i et au lonio III, p. ■>.'nyi[\\. (11.)

NOTKS MATHKMATIQUES. 179

Mais aussi, on peul résoudre

in(u- — i'*) tn ..

r.t (r- + s') n (';ir, si l'on pose

(/r(««— r-) — M /-.v (/■-+*•«) = 0.

011 aura, en reinplaçanl r, \ |iai' X, i; ", r pai' n\ — i, i,

{a\ — I)'— («\ — I) — MX(i 4- \-) =o, d'où l'on lire

)/ =z s el

2///--t-8/(- //i- — 8/i- ()/)iit Par conséquenl, en ]){)sant u- — c- pour/», 2«i' pour 7, 011 peiil avoir

p'j(p--^<j-} _ ■iiii{ii-—i'-) _ //( (u'-+-f-j-rs(r--\-s-}~ r.<;(r- — s-) 11

en faisant

Ui'iu- — i'-) m

rx \ r- — .«' ) '2 /(

La condition spéciale du prolilènie, coninii; énonce dans la correspon- dance, sera salisfaile, si l'on a

p^ — if ~- pij - ( M-— i'-)- — 4h-i''- — 4 '"'("■— ''') > o ;

cela arrivera pour m assez ^Taud, si le coefficient de la plus grande puis- sance de m dans le premier membre de l'inégalité est positif.

Four rendre ni assez grand, on peul écrire mk- pcjur m.

l'ar exemple, si l'on pose

on aura

4«('( u"- — i'-) '/;

axyw'^ — x"^) Il

Le coeflicienl de /«'. la plus grandes puissance de m dans chacune des expressions

{u- — ,.')^ — 4 «=.■- — ;,«"("' -- '•'),

( w'- — .r-)-— ,4 \v--x'- — 4 if.r (ir2 — x= ), est positif.

Ue la même manière, j'ai résolu d'autres problèmes de Fermai, par exemple ces deux-ci :

180 ŒUVRES l)K FERMAT. - COMPLEMENTS.

(1 Trouver un liiangle duquel l'aire ajoutée au quarrc de la somme les deux pelils côlés fasse un (|uarré » (').

Voici le iriaiiRle

205769. 190281, 78820 (-).

« Trouver deux triangles rectangles dont les aires soient en raison donnée, en sorle que les deux petits côtés du plus grand triangle diffèrent par l'unité » (').

VII.

théoki*:mes suu les nombres polygones.

A.

(ToMK I, p. 3ii, XLVI.)

T. Pépin. — Théorème de Kermat sur les nombies polygones {Atli delt'Ac- cademia ponlificia dei iMiioti Liucci, t. hiî, 1890, p. ii9-i3i).

E. Maillet. — Extensicui du théorème <le l'<>rmal sur les munbres polygones {/liilletin de la Socirlc rnathémalique de France, t. 23, 1895, p. /|0-49).

Les nombres polygones d'ordre m sont de la forme

— {x^ — x) + a\

où X est un entier (|uelcoiique.

Gauchy a démontré le théorème de Fermât sur les nombres polygones en s'a|)puyant sui' le lemme suivant (') :

Lemine. — Soient /• un nombre impair pris à volonté et s un autre nombre impair compris entre les limites

V/3A-2-I, V//1A-.

(•) loir l. II, p. 260, lettre de Kermat n < Saint-Martin > , 3i niiii \C)\'i. (II.). ( -) loir t. II, p. 263, lettre de Fermât à .Mersenne, août i()43. (H.). (') yoir t. II, p. 252, lettre de Fermât à Mersenne, ifi février i6/i3, avec invitation de proposer ce problème à M. de Saint-Martin. (H-). (}) K.rercices de Mathématiques, t. I, p. 273.

NOTES MATHÉMATIQUES. 181

On pourra toujours résoudre simultanémeiil en nombres enliers les deux équalions

.? = i -h « H- (• -(- ir.

Des lliéorèmes semblables oui lieu, plus ^'énéralemeul, pour des nombres de la forme

— .r--f- — .r -H V.

2 2 '

OÙ a>o; a, j3,y entiers et où «eip n'ont d'autre diviseur commun (jue i ou 2.

Théorème /. — Si a et (3 sont impairs et premiers entre eux, tout nombre A, supérieur à une certaine limite fonction de x et p, est la sonmie de 4 nombres

de la forme

X 3

— .f-H c (rt > o).

22

On peut assiî,'ner luie limite inférieure de A telle (pic celle décomposition ait lieu de p manières différentes, 0 étant choisi arbitrairement.

Théorème II. — Ce théorème est semblable au théorème I, a. étant impai- remeiit pair, quand A esl impair et (3 paircmenl pair, et (|uanil A est pair et

o • • . • /« 3

'*! 1 111 n Q I ru ( Il o ri I 1 1 o ■ ■< I <^> I '

p impairemenl pair ( — et — premiers entre eux).

Théorème III. — Il esl semblable au théorème 1 (juand x esl i)airement

- et - premiers entre eux). Des résultats analogues peuvent s'obtenir pour des nombres de la l'orme

« ■ 3 , — .z*+ —x- ; 2 2

il suflil de s'appuyer sur un théorème dû à Liouvillc (Le Besgur. Exercices d'Analyse numérique, Paris, Leiber et Faraguet, 1859, p. ii3).

E. Maillkt. — Quelques extensions du théorème de Fermai sur les nombres polygones {Journal de Matliéinaii>iues (5), l. -2, 1896, p. 3r)j-38o).

Théorème I. — "s'y l'expression 9(x) = «.z-+ «,.r*-t- .. . + n^, où les coeffi- cients rt, a,, ...,a5 sont donnés et rationnels, est entière et positive i)our toute valeur entière de x-^^l, ^ étant lini et de degré 2, 3, 4 ou 5, tout nombre entier supérieur à une certaine limite fonction de «, «,, o,, ..., «5, est la somme d'un nombre limité (au plus 6 pour le degré 2, 12 pour le degré 3,

182 ŒLIV|{I-:S DE FEKMAT. — COMPLEMENTS.

96 pour le degré 4, '92 pour le degi-é 5) de nombres i)osiliCs cp(j;), ii un nombre limité d'unilés près.

La démoDSiralion se lait en n parties, la première correspond an cas où <p(x) est (le degré 1 ou 3, cl la seconde au cas où 9( ') est de degré l\ ou 5.

La |)remière donne lieu à une application aux nombres pyramidaux et an théorème suivant :

Théorème //. — Tout nombre entier ï 19272 est la somme de 19, nombres pyrami<laux au iiliis.

IL

(ÏO.MH; I, p. 3^1, XL VIL)

fi. WiîRTiiEiM. — Fermat's Observatio znm Satze desNilvouiacbus (Zt'<7.çc///(/< fiir Malheinatik iiiid P/iysi/,\ t. i3, 1S98, p. 4 1-^2 [Historiscli- litterariscbe Abl(îilung]).

Proposition concernant la géuéralion des cubes comme sommes de nombres impairs consécutifs.

VIIl.

PR()BLK^ÎK DK DÉCOMPOSITION D'UN RAPPORT EN UN PRODUIT DE K RAPPORTS DE MÊME FORME.

(lOMIJ 1, |l. J97.)

P. Tannery a proposé à ce sujet la (|uestion 237G dans V Intermédiaire des Mathématiciens, t. 9, 1902, p. 170-171 :

Il Fermai {Œuvres, 1. I, p. 897), dans un lexle resté inédit jusqu'à ces derniei's temps et (|ui ne |)araît jamais avoir appelé rattenlion des malbéma- liciens, a posé le problème suivant:

De combien de manicrex peut-on décomposer le rapport en un produit

de /.■ rapports de la même forme?

» Il a noté, connue à proposer à tous les mathématiciens de son temps, le cas

/i 1= S, A' =t: 10.

NOTES MATIIÉMVTIOUKS. 18»

» Le prohième scellerai ne semble pas su.sceplil)lc d'une soliilion analy- liqiie; surdos iioinl)res particuliers, il pcul èlre résolu par uti làloiinemenl inélhodi(|ue, pnis(|ue le udiiibre des décom positions csl évidemment liniilc. Par e\ein|)k', pour l'exemple choisi par Fermai, ces décompositions sont comprises erilre celles qui donueiii les fadeurs les plus voisins en valeur numérique :

9 _ 90 S() 88 S; 80 8,". S.'i 8.5 8t 81 §'~8^^8K^8^^86^85^8^^83^8^^87^83'

et celle qui donne les facteurs les plus éloig;nés :

9 0 -*- ' 9'-t-' p'h-i 9*-^' 9"-+-i

8 9 'X 9' 9*

9"h-i 9°' -1-1 9'''+i 9-^"-i-i 9'' =

9''= g64 " fjUS q556 ^.',12 |

» iMais déjà, dans ce cas, la longueur des calculs est excessive.

» Dans ces condilions, il me semble que ce serait un sujet d'étude neuf et intéressant que de reclierciier les propositions généialcs (|ui sont applicables à ce mode de décompositions, el d'examiner en particulier les cas corres- pondant aux valeurs les plus faibles de X. «

Au tome 10, 1908, p. 3o-3 1, M. Padoa (Kome, actuellement (îèiies) a montré comment on pourrait traiter le problème.

Nous transcrivons ici sa réponse :

i> Soient /;, ./■, y des nombres entiers positifs, je vais démonirer que la

condition

« H- i .r 4- I )• -H I

est équivalente à la condition

(■■0 (j; — n) (y — n)^^ /i(n -h t).

» Si la condition (1) est vériliée, puis(|ue est irréductible, il existe un

nombre entier |)osiiif z tel (|ue

(3) (.^. + ,)(^^.+ , ) = („+,);

et

(4) a:y = /i:., d'où

(5) .r + j ==;-..

181 ŒUVUES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

» Des égaillés (/)) cl (5) on défluil

(6) {.r -,i)(y-n) = n[z-(z-i) + n],

d'où la condition {?.).

» Kccipi'oquenienl, si la condition (2) est vérifiée, il f'nulrine.r — /; on y — n soil divisible par /(, et par suite aussi .r on y; il existe donc un nombre entier positifs r|iii vérifie la condition (4). Si la condition (2) est vérifiée, la con- dition (6) l'est aussi, (|iiel que soit j. Des conditions (4) et (6) on déduit la condition (5); des conditions (4) et (5) on déduit la condition (3), des condi- tions (3) et (/)) on déduit la condition (i).

I) l*ai- conséquent, si n est donné, pour obtenir tous les couples de valeurs de .c et j i|ui vérifient la condition (1), il est nécessaire et suffisant de déter- miner tous les couples de nombres entiers positifs dont le produit est « (« + 1) et d'ajouter n à tons les nombres calculés.

>i l'ar exemple, si /i ^= 8,

/j( // -1- I ) — I X 73 = 2 X 3G = 3 X 2 1 =r 4 X 1 8 = 6 X 1 2 — 8 X 9 ;

par suite, les couples de valeurs de .r (H y sont

9, 80; 10, 44; ''■ 32; 12. 26; i4, 20; i(), 17.

c'est-à-dire que

9 _ I o 8 1 1145 12 33 1 3 >.7 _ 1 5 2 1 1718

8 9 80 ~ 10 q') ' ' 32 12 iG i4 20 i() 17

IX.

LES PROBLÈMES DE STATIULE.

(TojIK 11, p. i, 1|, iH, i'j, ■>.'), iV), ■.>.8, 3l, 3'). :)!S, "((), 87, iSiJ, ()2. )

Voii- sni- ces (piestions:

P. DuiiEM. — Les origines de In .Viatique, I. '1, l'aris, 190G, (^,liap. XVI, p. 161 et suiv. (loucliision p. 289.

Disciple convaincu de la théorie inaui!;urée par Albert de Saxe, Fermai

NOTES MATHÉMATIQUES. 185

pousse celle-ci jnsqu à ses conséquences les plus iinu-ceplables. D'où le long débal etilrc Fermât, li(jherval, Pascal cl autres, débat (|ui ii'eul rien d'oi- seux, qui contraignit, an contraire, les géomètres à i)asser an crible la ibéo- rie du centre de gravite, à séparer les vérités précieuses des inexactitudes auxquelles elles se trouvaient mêlées.

X.

LES NOMBRES AMIABLES.

(ToMt: II, p. 2o-.>i, 72; To.ME IV, p. 65-68.)

Les nombres égaux à la somme de leurs parties aliquotes sont des nombres par/ails. Une formule qui en donne un grand nombre, la seule connue, est 2"(2"+' — 1), le facteur j"^' — i étant premier (Kuclidf,, /'^/rnte/Us, livre », propositioti 36).

Les nombres amiai>le.i sont tels que cliacun d'eux égale la somme des par- ties aliquotes de l'autre.

Une règle parlicnlicre, la plus ancienne et la plus simple pour trouver ces couples, peut se traduire par les deux formules

2"(3.2"— l)(3.2"-'— I) et 2"(9.2-"-'— 1),

les 3 facteurs entre parenthèses étant des nombres premiers.

Elle est de Thabitben Korrab (F. Woepcke, Journal asiatique, année i852, n" 12). Cf. FuLER, Opiisciila varii argumenti, t. 2, Berlin 1750.

Les nombres

220 = 2'-. 5. 1 1 ,

284 = 2^7l,

cités par Stifel et par Mersenne et qui sont bien amiables puisque

220 = 1 H- 2 H- 2= -f- 71 -H 142,

284 = 1 -H 2 -H 2--I- .j + I 1 -(- 22 H- 10 -H 20 -1- 44 -l- ÔJ -+- I 10,

répondent dans ces formules à n ■= 2.

Voir É. Lucas. Théorie des nombres, Paris, 1891, p. 374 et suiv. \. «lÉitARDiN. — Sur la détermination des nombres amiables {Malhesis, (3), t. (i, 1906, p. 4i-44)-

A. Géharoi.n. — Nombres amiables ( -issociation française pour l'avancement des Sciences, Congrès de Clermonl-Ferrand, 1908, p. 36-48).

IFRIIAI. — IV. 2^

186

ŒUVHES DE FERMAT.

COMPLEMENTS.

XI.

LES CARRÉS MAGIQUES.

(ToMic II, p. i8S.)

É. Lucas. — Les carrés magiques de Fermai restaurés el publiés sur dos documeuls originaux et inédits (?) {Journal de Mathématiques élémentaires, i885, p. lo.'iii", i3o-i3(5, i48-i.53, 176-180; 1887, p. 32-34).

On ap|)elle carré magi(iue l'ensemble des nombres égaux ou inégaux pla- cés dans les cases d'un carré de telle sorte que la somme des nombres ren- fermés dans cbacune des lignes, des colonnes et des diagonales soit toujours la même et égale à un nombre fixe appelé la consiante du carré.

La question des carrés magiques est donc purement algébrique puisque, par exemple, pour le carré de 4, elle consiste à trouver iG [lombres assujettis à 10 conditions. Il est aisé de voir que les conditions du problème ne sont pas toutes distinctes et que l'une d'entre elles est conséquence des 9 autres.

Carrés magiques de trois, dotation et symétrie. Si l'on l'ait tourner le carré magique ci-desssous ( A^'. 28), par exemple,

2

9

4

7

5

3

(j

I i 8

t''ig. j8.

autour de son centre, il reste magique, el celte rotation donne naissance à trois autres carrés (fig. 29-31).

'1

^

3 8

9 . 2

5

1

7

(j

8

I

6

3

.5

7

4

9

■2

6

7

2

■

5

9

8

3

4

t'ig. -g.

t-'ig. in.

l'i^. 3i

N ( ) r E s M \ r H K M A F 1 (^) U E S . 1 87

l>e symétrique d'un (|ut'lconc|ue de ces carres par rapport à la ligne tlu inilioii est encore inagi(|ue. Donc :

Tout carré magique donne 8 solutions dislincles.

Dans le cas où l'on ne snp|)Osc pas (|uil soit nécessaire de prendre des nombres consécnlifs à partir de (//(, ni des nomlires tons distincts, les principes derolalion el de symétrie ne donnent (|ue ^ solutions distinctes au lieu de 8.

Si lous les nombres du carré son! égaux, il n'y a pins qu'une seule solu- tion.

Carrés niagiqiiex de quaLra (/ig. 32).

Un carré reste magique si l'on aui^meute on si l'on diminue Ions les élé- ments d'une même rpiantilé.

1

i5

-1

/ -1

1 2

C^

/'

9

8

10

1 1

f)

,3

3

2

i6

Un carré reste magique lors(|u'on multiplie on qu'on divise tous les nombres l)ar une même (|uatitilé.

Le carré obtenu en ajouiani les nombres iiguranl dans des rases correspon- dantes de deux carrés magiques est encore un carré magif|uc.

Tout carré pair (c'est-à-dire dont le nombre de cases sur le côté est pair) se divise eu (piatre (|uai tiers par deux ligm-s meilianes rectangulaires el l'on a la proposition suivante : tout carré pair reste magique, si l'on écliange simultanémeni, sans les tourner, les (piarliers opposés.

On a, |)our les carrés impairs, la proposiliou suivante :

Tout carré impair reste magique, si l'on écbange simultanément, sans les tourner, les (|uartiers opposés ainsi que les IVagmenls opposés de deux ran- gées médianes.

Pour les carrés que!conc|ues on a la proposition suivante:

Tout carré reste magique si l'on écbajige deux liorizoniales, puis deux ver- ticales ([ui sont toutes les quatre à la même dislance duCentre.

188

(EUVKES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

Quelijues propositions sur les carres de quatre.

'J'Iiéorème I. — Dans tout carré de quatre, la somme des angles du carré extérieur, celles des angles du petit carré intérieur, les sommes des angles de chacun des deux rectangles médians sont égales à la constante.

Théorème II. — Dans tout carré de quatre, la somme des quatre boules noires de l'un des carrés {fig. 33 el 34) égale la somme des boules blanches du carré apposé par rapport au centre, et la somme de l'un de ces carrés augmentée du carré adjacent formé de croix ou de points vaut deux fois la constante.

-^ I

-¥ i

; ! ù I

Fig, 33. Kig. 3^.

Théorème 111. — Dans tout carré de quatre, la somme des extrémités d'une rangée exlérieuie égale la somme des nombres intérieurs de la rangée exté- rieure opposée: la somme des extrémités d'une rangée intérieure égale la somme des nombres intérieurs de In rangée voisine et la somme des e.vtrémités d'une diagonale égale la somme des nombres intérieurs de l'autre diagonale.

Corollaire. — Pour former un carré avec i6 nombres pris au hasard, il faut, qu'eu prenant les sommes de toutes les comi)inaisons des nombres deux à deux, on trouve dix sommes de deux nombres égales à dix sommes de deux autres nombres.

Carrés à quartiers égaux.

Ce sont des carrés dans lesquels la somme des angles de l'im des quartiers est é2;aie à la constante.

tiu. 35.

On a ainsi cinq petits carrés ombrés dont la sonmie e^t égale ù la constante

NOTES MATHÉMATIQUES. 189

(fig.^b). Ces carrés permellent de trouver de 24 iiiuiiières différentes, quatre nombres placés régnlièremenl, dotii In somme est toujours égale à la constante.

La Table d'addition.

Formons (/?-. 36) avec (|uatre nombres quelconques <i, b, c, d et quatre autres nombres f|nelcoii(|nes p, 7, r, s une Table d'addilion, comme celle

a

h

c

d

p

ap

l>l>

cp

dp

'l

n.,

b'I

tv/

dq

r

ar

hr

cr

dr

s

as

bs

es

ds

de Fyibagore pour la iiiulliplicaiion, mais en adoptant celle notation que ap signille la somme de a et de p.

Il est lacile de voir qu'on peut obtenir ainsi, avec ces seize nombres, I 102 Tables d'addition. Ce nombre se réduit à 144, si l'on ne considère pas comme différentes les 7 Tables déduites d'une première par rotation ou par symétrie.

Dans ces Tables, la somme des termes de cbacune des diagonales reste constante ei égale à

« + ^ -i- c -f- f/ -H /) -i- 7 -t- /• -4- .ç.

ToiitoTable générale d'addilion de 16 nombres renferme toujours 24 sommes de quatre nombres égales à la constante, et 36 égalit.-s de sommes variables entre 2 groupes de deux nombies.

Formule d'arithniL'li'iue.

Si, dans le carré fondamenlal, on considère ap, bq, ... commodes produits et si l'on fait la somme des nombres de cbaque ligne en donnanl le signe —

190 (EUVKKS DE FERMAT. — tJ^MFLEM ENTS.

aux nombres de la première diagonale, le carre des sommes obtenues donne

[ — ap + es -H dq + hr^ -H [-h dr — hq 4- rt.Ç -H C})^ + [+ 6« -h dp — CI- 4- '77]- H- [+ c^ -h «/• + /'/3 + ds \- ;

en faisant la somme, on obtient

( rt' + />2 + c^ H- rf^ ) ( p"' + 7- -t- /•- -h .S'-' ).

Si l'on permnie de tontes les manières possibles les lettres /*, (/, /■, s, on obtient 2^ i'ormnies.

La (piestion de la décom|)osition du prodnil des sommes de t\ carrés en '^ carrés est donc inséparable de la lliéoric des carrés magiqnes à quartiers égaux.

A addition d 'éq iiiilifférenccs.

Heprenons la Table d'addition des 16 nombres, supposons rr, b,c,d et p,q,r,.<; rangés dans l'ordre croissant et de pins

b ^1- p < a -V- </,

de sorle que ap et hp sont les deux pins peiits nombres de la Table. Si l'on échange la première ligne des quartiers de droite avec la seconde ligne des quartiers de gaiicbe, on obtient une seconde Table; pour que ce soit une Table d'addition, il faut et il suflil (]n'on ait les deux relations

a -+- c/ = /' -H c,

/ï + Ç = /■ -H q.

Si l'on Corme avec deux équidifférences a. h: c. d dp. q : r. s, c'est-;i-dire avec biiit nond)res ditrérenls, mais t(ds que

a -{- d -rz b -i- (\ p -h \ ^ q -h r.

trois Tables d'addition, on pourra former 34')6 carrés magiques à quartiers égaux.

La somme des huit nombres, placés dans les deux diagonales, égale la somme des huit autres nombres.

Il en est de même de la somme des carrés et de la somme des cubes (').

(') Cf. du iiiùine iiiiteur, Hccrcation.s i/iatJiriiii>lifpic\, l. IV, p. S;), ul Théorie de.f nombre:!, l. 1, iScji, p. \i^.

N ( ) l' E S MAT H É M M' I Q U E S .

191

XII.

PROPOSITION CONNUE SOUS LE NOM DE « THÉOKÈME DE FERMAT ».

(TOMIC II, [). 20(). )

É. Lucas. — Sur l'exleiisiuii du ihéorèine de Feimat généralisé {Coin/iles rendus, 1. S'»., 1877. p. .\\)-'\42).

Soient a el ^ les racines d'une équalionquadratique ii coefficients coinmen- siirabies et premiers entre eux

Considérons les l'onclions numériques simplement périodiques de ces

racines :

a" — ''" .,

U„ — ^ CI V„=:a"+/>".

Soit p un nombre premier, non diviseur de Q el \=r(a — by-. Les termes ll„ divisibles par /> ont un i-anj^ ét;al ;i tous les multiples d'un certain

diviseur 9 de /j +-( — ); ( — | désignant le reste de A - par/j; ce reste est

égal à o, -f- I ou —I, suivant (|ue A est uu muliiple, un résidu quadratique ou uu non-résiilu (luadraliquc de /^. F^e leruie U„ de rang n =: p^9 est divi- sible par/j'-'. (Alti délia li. Accadeinia délie Scienze di Torino, i87(>.)

Soit m un nombre ([ueicoiuiue décomposé en ses facteurs premiers, qu'on ne sujjpose pas diviseurs de Q

m =r p^ r?s'^,

et

<\i(r>l) m />^-' /•?-'.«''

"-mH.7

on a le théorème fondauieiital doiiué par la congruence

ll.i ,„, ^ o (mod m ) Les termes U„ divisibles par /?( sont ceux dont le rang /( est un mu!(iple

192 ŒUVRES DE FEKMAT. - ^(IMPLÉMENTS.

quelcon(|iie d'un certain diviseur p. de <li{rii). Ce nombre p. est l'exposant auquel apparlienl a ou b par rapport an inodnie m.

En faisant h^=i on retrouve le théorème de Fermât généralisé par Enler.

Si Up±i est divisible par p sans qu'aucun des diviseurs de /> ± i le soit, le nombre/) est premier.

Théorème. — Pour que le nombre p = 2*''+' — 1 soit premier, il faut que la congruence

3 = 2 cos — '—r (niod2'î+'— 1)

soit satisfaite après la disparition des radicaux, et il suffit que le premier membre de cette congruence ne s'annule pas dans la première moitié de l'opération.

C.-A. Laisant. — Quelques conséquences des théorèmes de Fermai el de Wiison (/Voucelle Correspondance mathématique, 1879, p. i5(3-i6o et 177-182).

H. l'iCQiiF.T. — Sur une généralisation du théorème de Feiinat (Comptes /•e/îf/(«, t. !)G, i883, p. iiSb-iiSg).

On sait que les 3 «( points d'intersection d'une cubique plane avec une courbe de degré m, C„,, ne sont |)as arbitraires. Si l'on se donne 3 /« — i |)oinls, le dernier est bien délenniné. On peut supposer que la courbe C,„ ait en un |)oint donné 3 /« — 1 points confondus avec la cubi(|ue. C„, rencontre la cubique en un certain point fixe bien détei'miné. Si I'du opère sur ce point comme sur le premier et ainsi de suite, on obtiendra des es|H'ces de poly- gones curvilignes fermés si le premier sommet est convenablement choisi, mais dont les sommels'sont parfaitement déterminés: polygones (jui sont î» la fois inscrits el circonscrits à la cubique. Le nombre total des sommets des polygones de n côtés répondant à la question,

N- [(3m — 1)"— (-!)"]%

se calcule à l'aide de la représentation elliptique des points de la courbe. Dans le dénombremenl des solutions étrangères que conlient N intervient la fonction

2,„(.r) t= .c"— i;r -l-i.r — l,r -h...±.r

où f et n sont deux entiers quelconques, a, b, c, ..., / les diviseurs premiers de n.

NOTES MATHÉMATIQUES. 193

Si n est premier,

i;,(.i) = x" — X = x {x"^-^ — i) ~ o ( modrt);

c'est la fonction df. Fermât. On généralise le théorème de Fermât en disant que

ln{^c) = x--lx" + ...±x"'"''=o (modn),

quels que soient les entiers x et n.

Pour le ilémonircr, il sulïit de s'appuyer sur les propriétés de la fonction

1° y, X et a étant trois nombres quelconques et a un nombre premier, on a

2° Si n ne renferme ([u'un facteur premier, on a par définition

i„(j:) — x'yx " — ij.

3° La quantité

l„{x)--l„{y)

est toujours divisible par x —y.

É. Lucas. — Sur la généralisation du théorème de VQvmàl {Comptes rendus, t. 96, i883. p. i3oo-i3oi).

Une première généralisation du lliéorème de Fermai donne, d'après M. Picquel,

x" - Ix" -^ Ix"'' -Ix"'' ^. . .±x"'" ■■' =o (mod«).

On peut ajouter que si A et B sont deux polynômes en x, dont les coeffi- cients sont des nombres entiers inférieurs et premiers à n, l'expression

A(.rî('')-i) + B(j-,r,){x-.r,)...(x-.f^„„)

est divisible par /;, ([uels que soient les entiers x et n supposés |)remiers entre eux, r,, .r,, ..., x^j,,, désignant tous les nombres entiers premiers et inférieurs à n. La démon-itralion résuite immédiatement du théorème d'Eulcr fiui sert de base à la théorie des congrueiices démodule (juelconquc.

I'krmat. — l\'. 25

194. ŒUVRES HE FERMAT. — COMPLEMENTS.

A. Pellet. — Sur une généralisation du liiéorème de Fermai {Comptes rendus^ t. 90, i883, p. i3oi-i3o2).

Si l'oti considère la fonctioi

Zn{.r)^=:x" — Z.v -I- l.r — Z.r -\-...±x ,

on vérifie qu'elle est divisible, quel que soit x, par la plus haute puissance

a* du facteur premier a divisant /(.

Il suffit de s'appuyer sur ce théorème de Fermât généralisé : La quanlilè y"' — y""' est divisible par «" quel que soit y.

S. Ramtor. — Sur une généralisation du théorème de Fermât {Comptes rendus, t. 9(;, i8S3, p. i^aS*.

M. Ficquet a démontré {Comptes rendus, t, 96, i883, p. i i36-i iSg) que la fonction

n n n

„ ,c II ^ iib , <iii. . .1

x" — ZX -^ IJC — ...±x

»

où .c et n sont deux entiers quelconques, est toujours divisible par n. On peut généraliser ainsi celle proposition : Le nombre

(1 = 7 /■ = V (J. = 0 r = t

lyx"'--^''

où N =f-^'ff' . . . /;"- et où /■,, r^ r^ peut devenir chaque complexion

de lettres différentes parmi i, ■?. v, est toujours divisible par N.

U. PicQUET. — Sur la généralisation du théorème de Fermât due à M. Serrel {Comptes rendus, t. 9('), i883, p. i424)-

D'après M. Serret, qui a énoncé dans les Annales de Terquem { i855, p. 261) que la fonction i„(.r) est divisible par n, le quotient - 2„ (x) est égal au nombre de congruences irréductibles de degré n, suivant le module premier/», pourx=yj.

En rapprochant de ceci la Note relative à l'interseclion d'une cubique plane et d'une courbe de degré m, ou arrive à la conclusion suivante :

Quand 3 m— i est premier, le nombre des polygones réels à la fois in-

NOTES MATHÉMATIQUES. 105

scrils et circonscrits à une cubique plane est égal au nombre des congruenccs irréduclijjles de degré n, suivant le module iin— i s'il n'y a pas d'ovale. 11 est égal au double du nombre de ces congruences s'il y a un ovale, sauf pour m r= 1 , auquel cas il ne faut jamais doubler.

L. GiA.NNi. — Il teorema di Fermai e alcune simplici sue consequenze {Periodico di Mateinalica per l'insegnaniento secondario dir. da I). Besso, t. 2, 1887, p. I i4-i2o).

É. Lucas. — Sur les théorèmes énoncés par Fermai, Euler, VVilson, Slaudt et Ciausen {Mathesis (2), t. I, 1891, p. 9-12).

a, b, c ... étant des nombres premiers inégaux deux à deux, posons A = a', B = ^i», C — ct,

X = a-i-j3 + y-t-

S'il y a cp(7) nombres premiers et inférieurs à 7, pour tout entier x premier à (], la différence

est un multiple de (j et par suite de A.

On en conclut que l'expression x'(^?"> — i) est un multiple de A, H, C, . . .; et comme ces nombres sont premiers entre eux deux jà deux, cette expres- sion est divisible par </ pour toutes les valeurs de x.

On a, pour les nombres de IJernoulli, l'expression

dans laquelle .\„ désigne un nombre entier et 2, b, c, .. ., l tous les nombres premiers qui surpassent île 1 tous les diviseurs de a.

G. V^AccA. — Prima dimoslrazione di un teorema di Fermât {Bibliolhecn Matheinalica, pub. par G. Eneslrom (2), t. 8, 1894, p. 46-48).

Exposé de la première démonstration du théorème de Fermât «7''— 1:^0 (inod/>), donnée par Leibniz {Malheniatisclie Sc/ui/ten, éd. (jerhardt, t. 7, p. i54}-

Cf. È. Lucas, Théorie des nombres, 1891, p. 422.

196 (EUVRES DE FERM\T. - COMPLEMENTS.

(r. CoRDONE. — Sopra iina generalisazione del leorema di Fermât {fihisCa di mat., t. 5, i8f)5, p. 25-3o).

H. MoDRE. — A t\vo-fol(l generalization of Fermat's tlieorem {Bulletin of tlie American Mathematical Society, t. 2, 1896, p. 189-199).

|{. LiPsciiiTZ. — Solution complète d'une question proposée par Fermai {^Bulletin des Sciences mathématiques (2), l. 22, 1898, p. 123-128).

Fermai 11 énoncé ainsi son théorème (Œuvres de Fermât, t. Il, p. 209) :

0 Tout nombre premier mesure infailliblemeril une des puissances — i de quelque progression que ce soit (c'est-à-dire géométrique) et l'exposant de ladite puissance est sous-multiple du nombre premier donné — i ».

11 ajoute : « Mais il n'est pas vray que tout nombre premier mesure une puissance -+- i en toute sorte de progressions. Car, si la première puis- sance — I, qui est mesurée par ledit nombre ])remier, a pour exposant un nombre impair, en ce cas il n'y a aucune puissance -I- i dans toute la pro- gression qui soit mesurée par ledit nombre premier .... En un mot, il faut déterminer quels nombres premiers sont ceux qui mesurent leur première puissance — i et en telle sorte que l'exposant de ladite puissance soit un nombre impair. . . »

La (|uestion proposée pai' Fermât |)eut être décidée absolument en faisant usage des racines primitives relatives à un nombre premier impair.

a étant un nombre donné quelconque positif ou négatif, et p un nombre premier impair, qui ne divise pas le nombre a, il s'agit de trouver la condi- tion nécessaire et suffisante qui comporte l'impossibilité ou la possibilité de la congruence

(1) «"^+1 = 0 (mod/j). Soit ■: le nombre le plus petit pour lequel on a

o- — 1^0 (mod/O-

Dans le cas où la congruence ( i ) est impossible, z est impair ; dans le cas où la congruence (1) est possible, z est pair. Considérons la congruence

(2) «'" — aso (mod/?),

où le noml)re u est nécessairement un non-résidu quadratique par rapport au module p.

Les nombres />, pour lesquels la congruence (i) est impossible, sont ceux et exclusivement ceux ciiez iesfpiels, dans la congruence (2), u est un non

NOTES MATHÉMATIOUES. 197

résidu quadratique par rapport an module p, avec /;£x, en désignant par -x^ la |)lus haute puissance de 2 contenue dansyj — 1.

Les nombres |)remiers />, pour lesquels la congruence a-'-f-i := o (mod/?) devient impossible, et qui ne sont pas embrassés |)ar la règle de Fermai, sont les suivants :

Pour

a = 2,

p = 89, 337,

a=:— 2,

/)=:28l,

a ■= 3,

p — l3,

a=-3,

p — 37, 157, 61,

a= 5,

P— 'O9, 181,

a TZZ — 5,

P- 61, 29.

J.-H. Jeans. — The converse of Fermal's iheorem {The Messenger of Malhematics {1), y.-l~, 1898, p. 174)-

Le problème consiste à trouver un nombre n, non premier, tel qu'on ait

2"-' — ii=o (mod/i)-

Si p est un facteur premier de n on a

2"-i_ I = 2"-'[; 2(2''-' — i)H-2 j*" — Ij^

il suffit alors de satisfaire à la congruence

+ a/»-' — 1

— 1

[ ES o ( mod/^ )

pour chaque facteur premier /^ de n.

Dans le cas de deux facteurs premiers, pour des valeurs de p variant entre 3 et 3i, les seules solutions obtenues de n sont 34i, «387, 4369, /4681, 10261.

Dans le cas général de plus de deii\ facteurs premiers, pour des valeurs de/> supérieures à 7, la seule solution connue est n = 645 (due à M. Kossett).

Donc.jusqu'ici, les deux seules solutions [)lus petites que iouosont34i et64.'5.

Posant f{p) pour 2-'' -i- 1 , n =/ {p) est une solution évidente, si p est un nombre entier tel que/(/>) ne soit pas premier; et

198 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

est une autre solution, si /(/j) et /(y) sont tous deux premiers avec p>q>'i.p, pour

2/(/')-'— i = o [mod/(9)J et 2-' '•?)-! _, = o [uiod/(/>)].

L.-E. Dickson. — A généralisation of Fermal's tiieorem (An/ials of Male- malics (2) t. 1, p. 32-36).

( Résumé dans Comptes rendus, t. 128, 1899, p. io83-io85).

La fonction

F (a,N) — a''— la' + la' — la'" -h . . .± a'"' ■"' ,

où a est un entier (|uelconque et N un entier r|uelconi|ue dont les facteurs premiers inégaux sont r, s, C, ..., w h fait l'objet de nombreux travaux :

T. ScilÔNEMANN, Journal (le C relie, t. 31, 18:46, p. 269-325.

A. Pkllet, Comptes rendus, t. 70, 1870, p. 328.

L.-E. Dickson, Bulletin of the American mathematical Society, 1897, p. 381-389.

J.-A. Srrret, Mémoires de l' Académie des Sciences, i865.

R. Dedkkind, Journal de Crelle, I. o!t, 18.57, p. 1-26.

S. Kantor, Annali di matematica, (2), I. 10, 1880-1882, p. 64-73.

IL PiCQUET, Comptes rendus, t. 9G, i883, p. ii36.

E. Lucas, Comptes rendus, t. 96, i883, p. i3oo.

De tontes ces considérations, il résulte (|ue la fonclion F (a, N)est divisible par N pour toutes les valeurs possibles de a et de n.

M. Dickson démontre à nouveau cette proposition d'une façon plus simple, par exemple :

1° On pose

N = rPs''r, donc

F(fl, N) = fa'' - a') - («~- a"V - (/- a~) + («"'- a^J.

D'après le théorème de Fermât, chaque (|uantité entre parenthèse est divi- sible par rP, s" et f, donc par leur produit N.

NOTES MATHÉMATIQUES. 199

2" La dénioiistratioii peut encore se déduire de la formule

F(rt,,:,-N) = F(a, N)?-F(a,N) (mod^-),

oii g est un nombre premier, « et N deux nombres entiers quelconques. Donc V (a, gfi) est divisible par,?.

Théorème. — Si 9 {d) désigne combien il y a de nombres premiers à d et non supérieurs à rf, nous acons pour tous les entiers a e< N, N étant > \, la formule

29(rf) = F(«,N), ,1

la somme étant étendue à tous les diviseurs propres d de a^~', c'est-à-dire que d ne peut diviser a'""' si m < N.

U. [Jricard. — Démonstration du théorème de Fermai (traduction en espé- ranto) {Nouvelles Annales de Mathémati'/ues {f^), t. 3, igoS, p. 34o-342).

J. Pkrott. — Sur le théorème de t\-Tmal (Bulletin des Scie/tces mathé- mathiques (2), t. 2i, 1900, p. 175-176).

p étant un nombre impair, en inscrivant dans chacune des/> cases rangées en ligne droite un des nombres

f, 2, 3, ..., a,

où l'on a o <a </>, on obtient une certaine configuration. En le faisant de toutes les manières possibles, on aura en louta'' configurations.

Si l'on excepte les a configurations où un des nombres 1,3, 3, ..., a figure dans toutes les cases, toutes les autres configurations peuvent être distri- buées en un certain nombre /( d'assemblages, île sorte que toutes les/? confi- gurations d'un assemblage se réduisent à des permutations circulaires d'une d'eiiire elles.

Ou a donc

a -+■ lip n^ aP , d'où

«''"'= 1 (modyy).

K. Hemskl. — Uber einige Verallgemeinerungeii des Fermatsclien und des Wilsonscbeu Satzes (Arc/i. der Matkematik und Physilc, gegrùndet durch Grunert, (3), I. 1, 1901, p. 3i9-332).

W.-F. Mkvkr. — Ergiinzungen ziim Fermatsclien und VVilsonschen Satze (Arc/i. der Malliemalik und Pliysik, (3), t. 2. 1901, p. i4i-i46)-

200 OEUVRES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

(î. Candiuo. — Sul leoreina di Fermai {Giornale di Matematiche de Ballaglini. t. 'i-O, 1902, p. 223-221^).

Tliéorème île Fermai. — Si p est un nombre premier, l'un ou l'autre des nombres a, a''~' est divisible par p.

Théorème de Kummer. — Soit p un nombre premier impair, a et h deux

a'' -H bi' ,

nombres premiers entre eux : a -\- b et n ontaucun autre facteur com-

' a-h b

mun que p ; si af + bP est divisible par pi, alors a -\- b est divisible par pi ^ ;

même propriété quand un des nombres a, b devient négatif.

Les deux proposilions ci-dessus donnenl lieu aux corollaires suivants :

Corollaire i. — Si/) esl un nombre premier qui ne divise pas a — i, le nombre W — 1 n'esl pas divisible par/».

Corollaire 2. — S\ p divise a — i, quels que soient les nombres a et p, p divise le nombre a''"' -t- a^-- -(-... + a' -t- o -(- i .

Corollaire 3. — Si /> divise a— 1, le nombie a^"' esl pour le moins divi- sible par pi.

Corollaire ff. — Si/>eslun nombre premier, un et un seul des nombres a — I, a'"-' -t- a"'~^ -H . . . + a -t- 1 est divisible par p.

Corollaire 5. — Si l'expression W — <7, où p est un nombre premier, est divisible par pi, il en esl de môme d'un des nombres

a, a — i, a>'^^-\- aP-'-h . . .-h a -i- I.

Corollaire 6. — Si le nombre premier/^ ne divise aucun des nombres a,

« — I, rt -f- I, il divise le nombre W-^ -t- «''^^-t- . . . + a- -i- i .

a''^' — I M. Liiucii. — Zur Théorie der Fermat'schen Quolienlen r=cp(a)

(Math. Ann., t. 60, igoS, p. 471-/190).

A. Raker. — Bemark on ihe Eisenstein-Sylvesler extension of Fermal's Iheorein (Lond. M. S. Proc. (2), t. 4, 1906, jjp. i3i-i35).

M. Lbrch. — Sur les théorèmes de Sylvesler concernant le quotient de Fermai (^Comptes rendus, t. H2, igolj, p. 35-38).

A. AuHRV. — Etude élémentaire sur le théorème de Fermât (l^ns. Math., t. 9, 1907, p. 418-460).

NOTES MATHEMATIQUES. 201

XIll.

LA SÉRIE RÉCURKENTE DE FERMAT ( NOMBRES DE LA FORME 2" ± 1 ).

'Tome II, p. ?.o5.)

E. FjUCas. — Sur la lliéorie des nombres premiers (Alti délia R. Accade- niia délie Scienze di Torino, t. 11, 1876, p. 928-987 ).

Théorème 10. — Le nombre 2" — i est premier.

É. Lucas. — Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de ilistribulion des nombres premiers (Comptes rendus, l. 82, 1876, p. 165-167).

D'après les théorèmes 10 et 11, le nombre A = 2'-'' — 1 est premier: c'est le plus grand nombre premier connu; mais les calculs n'ayant été faits qu'une fois par l'auteur, il y aurait lieu de les refaii'e pour établir en toute certitude ce résultat.

É. Ia'cas. — Nouveaux théorèmes d'arithmétique supérieure {Comptes rendus, t. 8:}, 1876, p. 1286-1288).

É. Lucas. — Théorèmes d'arithinétique {Atti délia /?. Accademia délie Scienze di Torino, I. 13, 1878, p. 271-284).

É. Lucas. — Sur la série récurrente de Fermât {Bullettino di Bibliograjia e di Sloria délie Scienze inatematiche e fisiclie, puhblicato da B. Boncom- pagni, t. 11, 1878, p. 783-798).

Formule de H. Le Lasseur :

2"' + --(- I ={2'"+'-^ 2"+' -t- 1) (2^" + '— 2"+'-!- l).

On retrouve, par exemple, la décomposition suivante de M. Landry

2^*-)- r = 5 X 107067629 X 536903681.

Les formules de Le Lasseur et Aurifeuille permettent la décomposition des

Fermât. — l\'. 20

202 (EUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

nombres 2" it I en leurs facteurs premiers (Àtti delta R. Accademia délie Scienze di Torino. t. 8, if>7i).

Après :ivoir donné le Tableau des diviseurs propres des ditVéreuls termes de la série récurrenlc de Fermai, l'auteur rappelle (|ue la décomposition de 2" — I a été donnée par Fermât, celle de 2" — [ par Plana, celles de

3'' — I, 2''" — r, 2''' — I, a"'' — 1 par M. L;mdry.

Pour la recherche (Jes diviseurs propres île 2'" -i- i, on a avaiilai^e à appli- quer le théorème snivanl :

Théorème. — Les diviseurs de 2'" H- i appartiennent à la forme linéaire 16 «7 -+- I . On a les propositions semblables suivanles :

Théorème. — Les diviseurs propres de a-"'"' -^ b"-"'"' apparliennenl à la forme linéaire 8 ahnq -+- 1 .

Théorème. — Les diviseurs propres de o"'"' -\- b"'"' sont, pour n iin[)air, de la forme linéaire '^abnij + t, lorsque «/y = 4 ^' + • ! "'l ceux de a"''" — A"'"' sont, pour « impair, de la l'oirnc linéaiie 4 «'"'7 -t~ ' . lorsque (7/> ^4 /' -1-3 ; etc.

R. Rawson. — Note on Merseime-Fermal's problem [Edacalional Times.

t. 71 , 1899, p. I23-I2Î) ).

A. (ifiRARDi.N. — Décomposition des grands nombres (As<:ociatio/i française pour Tavancement des Sciences, (]ongrès de Lille, 1909, p. i4S-i56).

XIV.

LES « INOMBRES DE FERMAT >> {î'"-h\).

rToME II, |1. ioO. )

A. Cunnin(;ham. — On Fermat's numbers {Report of the meeting of thc Rri- tish Association for the ndi'anceiiw/it of Science, 1899, p. 653-654).

A. (^uNMivGiiAM et A. Wksteiin. — On Fermat's numbers {Proceedings of the London malhemalical Society , (2). t. 1, 1904, p. i75).

NOTES MATHÉMATIQUES. 203

Tableau des résultats relatifs aux nombres de la forme 2-"-»- l = F„.

n. Facteurs de F,,. Trouvés par

o — 4 Fo^'-jK;, tous premiers. «

5 { . , L. Eiiler, I7J2.

6

\ 2*.9.7. 17-i- 1 Landry, r88o.

/ 2*.s. •V>,5628'>.<)i49-t- 1 Landry cl Li; Lasseur, 1R80.

9 2 "".37-1-1 A. -E. Western, lyoS.

\ 2". 3. i3-i- I /

A. r.iinniinrham, iSar».

, 2'*.7-t- 1 É. Lucas el P. Pervouctiine, 1878.

j 2'^. 897 -I- I

•>.'6. 7.139-

A.-E. Western, ic)o3.

18 2-».i3-t-i A. -E. Western, 1903.

23 2-5.3-1-1 P. Pervouiliine, 1878.

36 >.».5h-i SeclliolT, i88(i.

38 2". 3-1-1 J. Cullen, A. Ciinningham, A.-E. el

F.-.L Western, i9"3.

T. (lOSSET. — ()ri tlie faclors ol' fermal's atiinbers ( The Messenger of Alalhenialics (2)1. 3i, 1900, p. i53-i54).

Chaque fadeur réel (autre <iue le nombre lui-même ijuaiid 'i<4) peut être mis suus l'une des 4 formes siiivanles:

(1) {i6fj± 4r-+-( &\q± 25)S

(2) (32/>± 8)--i- (2,56^/== 'ii)\

(3) {64yy± i6)^-H(256çr ± 127)-, (.',) (32/>r+(2Ô67±i)-.

Le Tableau suivant donne une liste des fact('urs premiers connus des nom- bres de Fermât avec leur décomposition en facteurs composés.

Le facteur composé avec le sij^ne supérieur est, dans chaque cas, un facteur (le

2'-"-' H- v/ — 1 ,

el celui qui est affecté du signe inférieur est un facteur de

20i

(EUVRES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

Noml)ri"s Hp TiTriiat. Facteur premiei- réel Koriiie.

64I 1

0 700 417 I

f)7 -^.So (u 3 10 7>, I I

2 424 853 3

319 4S9 I

074 849 I

I I 4 689 I

•26 o 1 7 79! 4

63 766 i'9 3

i3('i3i 489 1

1G7 77->. 161 I

2 748 77yo*"'9 44i ■'

G )97 069 -jM\ f) )7 !

2-" -t- 1

72

" H- 1

■>2'

-H 1

n

>-'

-hl

l'-'

*-^

-J- 1

,•>"■

-h (

«-"

-h 1

Facteurs premiers composés

409 y/—

89 /-

394 180 \l —

l-'.7 1/ —

2 . zp

2 55f) ±

S o83 1 1 1 ±

I 552 zfi

540 q:

983 ±

260 zp

4 672 ^:

7 '-iO'^ =t:

3 692 H 12455 ±

1 {'>4o 929 dr

2 0^9 33f> qi

1^7 \f —

68 y/—

217/--

2ul7 /—

3 218/^

25 y/ —

3 5"j(m/~

a3(> 920 y/—

I 548 3l9y/^

J.-C MoREiiKAD. — Note 011 Feiiiiars niiinl)ers [BnlleLin of the Ainerica/i mal/irmaticfi/ Society, 12), I. Il, iqoj, p. .jilS-ô^J).

Fermai, dans la considéralion des nombres de la forme F,

I moll-

ira <iiie F„, F|, ..., F; sont premiers. Il crut |)oinoir conclure que F„ est premier pour <'haque v'aieiir de n.

En 17Î2, Fuler montra qne F5 possède le facteur fi-ii : île 1878 à 1903, on trouva des facteuis appartenant aux huit nombres suivants de Fermai :

F,. F„ F,,, F„. F„. F„. F

F3,.

A celle liste on [lent ajouter F,, l'épin a démontré que la condition néces- saire et snfflsanle pour que F„ soit premier est que

1',,= ^

jif-..-"

-t- I s o (rnodF,,),

où a est un non ri'sidn qnadrati(]ui' relatif à F„. A l'aide de y. =3, l'auteur démontre que F; n'est pas un nombre premier.

.J.-G. MoREHiîAi). — Note on tbe faclors ol Fermal's numbers (Amer. M. S. Bull., (2), I. 1-2, 1906, p. 449-451).

A. CuNNiiNGHAM. — On liypereven nunihers and ou Fermais numbers (Ao/((Y. M. S. Proceed., (2), 1. ii, 1907, p. 237-274).

NOTES MATHÉMATIQUES. 205

XV.

PHOHLÈMES DE FERMAT SUR LES TRIANGLES RECTANGLES NUMÉRIQUES.

(ToiMF. Il, |>. 'Ji et siiiv.)

T. Pépin. — Solution de quelques problèmes numériques énoncés dans la Correspondance de Fermât {Memnrie délia /iontijtcia Accadeniia de' nitoii Lincei, 1892, p. S^-ioS).

Dans une lettre adressée par Frenicle à Fermât (2 août i64i), on trouve l'énoncé des problèmes suivants, que Fermât avait proposés à son corres- pondant.

1° Cbolsir un nombre qui soii la somme des deux petits côtés de tant de triangles rectangles qu'on voudra et non plus.

2° Déterminer à combien de rectangles un nombre donné est la somme des deux petits côtés.

Frenicle l'onde sa solution sur le principe suivant (et sa réciproque), savoir :

Tout nombre premier de l'une des deux formes 8 l± i est la somme des petits' côtés d'un triangle rectangle.

Celle proposition pouiiait être complétée de la façon suivante :

Le reste obtenu en retranchant deux unités à un carré n'est divisible par aucun nombre premiei- 8/-i-3ouS/-i-5.

Un cas particulier a été traité par Fermât.

Dans sa lettre du 6 septembre i64i, Frenicle propose à Fermât deux ques- tions analogues aux précédentes.

I" Trouver le uKjindic iioinlire rpii soit autant île fois qu'on voudra, et non plus, la somme de deux carrés.

!" Ti()ii\er un triangle, au(iuel le ilouble du carré du petit côté étant ôté du carré de la différence des deux moindres côtés, il reste nu carré.

Le premier de ces problèmes se résout au moyen d'une formule donnée par Legendre.

20G ŒUVHES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

Soil N =a"[î"'7"" ... , a, [3, y élaiil des nombres premiers de la forme X* -+- ay''.

Le nombre N sera aulanl de fois de la forme jc' +(77' qu'il y a d'unités dans le produit

Celte formule permet aussi de résoudre im problème proposé par Fermât: Trouver combien de fois un nombre donné A est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

On trouve <|ue ce nombre ésl

(2« + l)('2P-h l)...(Ty+l) — I

ayant posé

A =fl»6f*cY

a, b, c facteurs premiers de la forme t\l+\.

Problème de Fermai. — Déterminer les triangles rectangles en nombres entiers, dont la somme des deux petits côtés est égale à tin nombre donné A. Le problème revient à résoudre en nombres entiers l'équation

(1) A^.ï''— 2/S

de manière à vérifier les inégalités

X > iy > o.

Le théorème suivant (reposant sur la théorie des formes quadratiques) montre qu'il y a toujours des solutions:

Théorème. — Parmi les suintions de l'équation (1) qui appartiennent à la même valeur N de \fi (mod A) ou à la valeur opposée — N, il y en a tou- jours une et nue seule, qui vérifie la condition (il y a 2l^~' solutions telles que les côtés du triangle soient premiers entre eux)

x > 2 y > o,

fx désignant le nombre des facteurs premiers, inégaux, de l'une des formes 8 / ± I (lui entrent dans la composition de A.

Le nombre des triangles rectangles dont la somme des petits côtés est mesurée para", a désignant un nombie premier 8/± i est exprimé par la

NOTES MATHÉMATIQUES. 207

formule

(aa + i) — I — a.

2

Piirini ces triangles, un seul a ses côlés premiers enlre eux.

l'reiioiis K:=a^b'^,n el h de la forme 8/zti, ici jj. = 2 ; il exisie deux triangles reclaii{?les donl les côtés sont premiers et dont la somme des petits cotés est égale à A.

Le nombre total de triangles est

( a a + I ) ( '^ fl -H I ) — 1

Dans le cas général A = a"*? . . . c^, le nombre total de triangles est

j^_ (?.ot + i)(2(3 4-i)...(?-y +1) — I

Exemple. — Trouver le plus petit des nombres entiers qui sont 4 fois, el non plus, la somme des deux petits côlés d'un triangle rectangle. \'A\ faisant N := 4, on a à résoudre.

(2a-t-l)(2(3-(-l) ... (2y + l) = 2 X4+lr=:9,

donl les solutions sont

a = ;3 =: I, o — . . . = y,

(3=0, 7 = 0.

On trouve ainsi

c := lor ,

•^■ = 90,

/ — 20

= 89,

r=8o,

= 39,

= yi.

■-84,

= ^5

= 85.

= 68,

=: .j 1 ,

dont la somme des deux pelils côtés est 1 ig.

Une extension proposée par Fronicle (2 août i6')i), relative au périmètre du triangle, comluit à la |)ropo>ilion suivante :

Le périmètre d'un triangle reclaiigle, donl les côlés sont inesurés par des nombres entiers, n'est Jamais le double d'un nombre premier, ni le double d'une puissance de nombre premier.

208 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

XVI.

MÉTHODK DE DÉCOMPOSITION DES GKANOS NOMBRES.

(Tome II, p. 2jj.)

C. IIknry. — Sur divers points fie la théorie des nombres {Association française pour l'a\'ancenient des Sciences, 1880).

I. Sur une méthode de décomposition des grands nombres.

La méthode de décomposition indiquée par Fermai ne diffère pas du pro- cédé qne l'on trouve dans le Dictionnaire des Mathématiques de Monlferrier (art. nombre premier).

Ce iirocéclé repose sur le théorème suivant :

Théorème. — Si un nombre impair est premier, il est d'une seule manière la différence de deux carrés entiers.

Si .r et y sont les deux carrés, on doit avoir

d'ofi l'ou déduit la condition

N.

(Ajoutons queMontferrier a consacré à cette méthode un article original dans la Correspondance mathématique de Quetelet, t. 5, p. 9/1.)

La même méthode fut appliquée i)ar F>e Lassenr et Aurifeuille, F. Landry {Au.T mathématiciens de toutes les parties du monde., Communication sur la décomposition des nombres en leurs facteurs simples. Paris, Hachette, 1867, in-A").

IL Sur une formule de décomposition.

La formule de décomposition dont il s'agit est la suivante, donnée par Le Lasseur et rappelée ci-dessus, p. 201 : *

2*' + --|- ) — (.jl' + l-^- 2' + ' -f- 1) (2"'+'— 2'' ' -+- 1).

NOTES MATHEMATIQUES. 209

Oïl U-oiive, dans un manuscrit de Sophie Germain (n° 9118 du fonds fran- çais de la IJihliolhèqne Nationale, p. 84) la proposition suivante :

'( Aucun nombre de la forme /<* -t- 4 excepté 5 n'est un nombre premier ». Or on a

p'-\- 4 — {p'--^^y— 4P"-={P^-^' ■i + 2p){p--h -2 — lp).

En prenant le développement plus général de la ([uanlité />' -t- 4 y' et en faisant /> =; 1 et 7 ^ ?.' ou trouve

2'"*--+- 1 =(2"-*-'-+- 2'+'-l- l) (2" + ' — 2' + ' 4- 1).

On trouve dans les Mémoires de l' Académie de Berlin (1777, p. 2^9), avec d'autres notations, les identités suivantes dues à Nicolas de IJeguelin :

2' -t- I = ( 2' + 2' -H 1 ) ( 2' -h I ),

2'» -4- I =r (2 = + 2'+ 0 (''-'+ 2'+ l),

2"-)- I =r (2'' -h 2' -H l) (2"-!- 2^-4- 2'+ l),

2'"-(- 1 := (2'-»- 2^ -f- 1) (2*+ 2'+ 2^-1- 2^-H 1) ;

il est à remarquer que ces identités sont des cas particuliers de celles de Le Lasseur.

Dans le cas de /=4. on a en effet

2'» -M = ( 2' + 2=5 + I ) ( a' — 2^ -H I ) = ( 2' -+- 2^ -*- I ) ( 2« -+- 2" H- 2« + 2^ H- I ).

Nicolas de Beguelin a consacré d'autres Mémoires à la théorie des nombres.

XVII.

UN PROBLÈME DE EHENICLE SUR LES TRIANGLES RECTANGLES EN NOMBRES.

(TOMK II, |). iKvt.)

T. Pépin. — Solution d'un problème de Frenicle (^Atli deW Accademia pon- lificia dei nuovi Lincei, t. :58, 1880, p. 284-289).

Le problème de Frenicle dont il s'agit dans ce Mémoire : « Trouver deux triangles rectangles, tels (|ue la dillërcnce des côtés de l'angle droit soit la

I'f.rmat. IV. — 27

210 ŒUVRES DE FERMAT - COMPF.EMENTS .

même el f|iie le pins grand côlé de l'angle droit de l'un soil hypoténuse de l'antre ( ' ) » revient à résoudre en nombres entiers le système des trois

équations

; x--f- )•'= ;',

(1) u'+i''- = jc\

f II — i' = X — y

avec la condition .x>y. Cette dernière exigeant la condition ti > v, la deuxième équation doit être résolue de deux manières difîérentes

(i) u ^ a- — e-, r^îae, x=:rt^-|-e-,

(2) iiz=.iae, V :^ a- — e-. x^=^a^-\-e-,

suivant que M est impair ou pair. La troisième équation du système (I) donne

j =: 2e{rt -(- e) ou y^^ia{a — e).

En substituant dans la première équation les valeurs de a- et j, on obtient l'une des deux équations

c' = a'-)- 5 e'-i-6n-e'+ 8ae\ ;»= 5 a' + e'--\-Ç>fj°e- — Srze',

suivant le système adojjlé pour u et c.

Le problème se trouve ramené à la résolution de ces deux équations eu nombres entiers et positifs, satisfaisant en outre à la condiiion f? > e.

La première équation détermine les solutions oii le plus grand des deux côtés de l'angle droit du plus petit triangle est mesui-é par un nombre impair. La deuxième équation détermine celles où ce même côté est mesuré par un nombre pair.

XVIIl.

L'ÉQUATION DITE « DE PELL ».

(ToMK II, |i. jT), /|}3.)

A. Maiike. — Communication à l'Académie des Sciences d'une copie d'une lettre inédite du mar(|uis de L'Ilospilal, (|ui fait partie de sa correspondance, conservée à la Hiblioibèqne nationale, fonds français, n" '2.'}:î()8.

( ' ) Cil. IIknkv, lieclierc/ies sur les maiitisrrif.i de Fcrtnni. p. 171 .

NOTKS MATHÉMATIQUES. -211

Celte lellre est relative à la solution de l'équation

A.r--M= 1- pro[)Osée par Fermai (Comptes rendus, i3 février 1879). (H. Urocard.)

A. Genocchi. — Il carteggio di Sofia (îerniain e Carlo Federico Gauss (Atii délia reale Accddeinia délie Scieiize di Torino, t. 13, 20 giugno 1880).

Format, dans un manuscrit récemment publié par Ch. Henry (Cl'. Œm^res de fermât, t. Il, p. 433), siiécifie le caractère particulier des solutions données par Frenicle et par Wailis à réf|uatioii ci-dessus.

H. KoNEN. — Gescliichle der Gleicluing <'— Dh^=i. Leipzig, Hirzcl, 1901; 182 pages in-8° (résumée dans le Jiullelin des Sciences mal/téniatir/ues, k'' l'arlie, 1903, p. 45).

A. IJouTiN. — Développement de \/N en fraction continue et résolution lies écpialioTis de Fermai {Association française pour l'avancement des Sciences, Clernionl-Ferrand, 1908, p. 18-26).

Les équations en question sont

XIX.

UN PUOniÈME m WALLIS.

(Tome II, |i. >4S-3ji.)

« Dans la lettre 10 de son Commercium epislolicum, Wailis propose d'in- tercaler, dans la série

5 Si 209 i4"' 1069,5

6 .50 140 000 2772

un terme entre 1 et -> ce qui, d'après lui, fournirait la quadrature de l'iiy- perboie, de même que dans la sér'ic

1 , 6, 3o, i4o, 600,

212 ŒUVRES DE FEUMAT. — COMPLÉMENTS.

g l'intercalalion d'un terme — i entre i et 6, fournit la quadrature du cercle.

C'est, en effet, de celte façon que Wallis pose la question qui le conduil à son expi'ession de n sous forme de produit d'un nomhre indéfini de facteurs (voir Œuvres de Feintai, t. Il, p. S/iS).

» Ouelle est la véritable loi de formation des termes de la première série proposée ci-dessus? Les nombres donnés sont-ils exacts?

» Que représente, en fait, le terme dont Wallis propose l'inlercalation ? »

1'. Tanneuy.

(Question 782 de V Intermédiaire des Mathémaliciens, t. 1$, 1896, i>. 57.) Cette question n'a élé résolue que dans le Volume de igo.i. Voici l'élé- gante solution qui en a été donnée, I. 10, p. 7S-79, par M. (i. Vacca (Gènes) :

« Le terme moyen entre les deux premiers tie la série

5 3i 209 1471 io6?.5 0 00 \!\o b3o 2774

donne, ainsi que Wallis l'affirmait, l'aire d'un segment d'hyperbole. Voici comment les termes de la série peuvent s'écrire :

3 3 î 1 4 6 /, I

1 I

2 3

1 2 1

4 + 5 + 6'

5

ou encore

8 6 7 «

9

/ (x + x' )" dx, l \x -i- x'^Y dx, / (x -h x^y-dx, ..., / (x -hx-)" dx,

» Le terme moyen entre les deux premiers est alors

,1 1

(x + x-f dx,

qui dotuie l'aire d'un segment d'hyperbole. ><

r

NOTES MATHEMATIQUES.

■213

XX.

SUR UN PORISME DE FERMAT.

(Tome II, p. 4oG; Tomk III, p. 3i7-3iS. )

Le porisnie énonce a fixé l'allenlion de Leonhard Eiiler qui a déclaré que Fermai en avail demandé inutilemenl à plusieurs matliémaliciens la dé- monstration géométrique. Cependant c'est sous le nom d'Euler que ledit |)0- risme fut signalé aux rédacteurs des i\'om'ellcx Annales de Mathématiques, où ils le proposèrent comme question à résoudre ((2), t. 8, 1869, n° 957, (). 479-480); mais l'altribution à Fermât lui fui bientôt reveiidi(|uée par G. Dostor {IbùL, p. 558). V'oici, ajoute-i-il, ce que dit Euler à ce sujet dans les Variœ denionslrationes geoinetricœ (A'oiv' Commentarii Acad. Scient. Inij). PeLiopol., I. 1, p. 49) :

Reperitur in coniniercio epistolico Fermatii propositio geometrica, qunm geometris deinonstrandam proposait, qiiœ elsi ad naluran circuli spectat, nilnlque difficullatis primo intuitu involvere videtur, tamen a pluribus geometris frustra est suscepta, ncque usque adliuc ejus demonstralio est tradita.

La Rédaction reçut de plusieurs collaborateurs la solution géométrique désirée qui parut au cahier de janvier 1870 (l. 9, p. 4')' c' Gerono saisit

Fis. 37.

l'occasion de la résumer très simplement en ces termes (p. 42) (nous re- prenons les notations de Fermât):

« L'égalité à démontrer (/f^-. 37) AV--i-BO' = AH' se réduit à ()V'=2.A().VB

214

(EUVI5ES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

en y remplaçant respeciivemenl AV, BO, AR par A() + OV, OV-t-VH, AO -+- ()V+ VB. Or, si l'on prolonge la perpenilicnlaire EP {/i^'. 38) jusipi'à

M c

Fi g. 3S.

ce qu'elle rencontre la droite I)C en un |)oinl M, la similitude des triangles EDM, AOl) donnera

on aura de même

» De là

RM _ im

Al) ~ AO'

EM _ MC Al) ~ VB"

EM' DM.MC El'^

)i Mais

donc

ou

AD- AO.VB "" AO.VIt

EM UÇ EP ^ OV"

DC' OV-

AD' '~ \O.VB OV=

AO.VI5

c. () . F . Il . »

Au cahier d'avril du même Volume (p. 189-191), Lionnel puhlia une démon- slration rpi'ii considérait comme rentrant mieux dans la pensée de Fermai.

Nous transcrivons ici son article, en l'adaptant aux notations précédentes.

n Eiiler dit, nvec raison, que Fermai, eu projiosant celte question aux géo- mètres de son temps, avait en vue un mode de démonstration exclusi- vement géométrique, à la manière des anciens qui rejetaient toute espèce de démonslralion algébrique (demonstraliones quœ analysin oient). Sans cette explication, ou aurait de la peine à com|)rendre qu'une question si facile à

NOTES MATHÉMATIQLIKS. 215

résoudre ait été proposée par Fermât, et qu'aucun des j;éomètres contempo- rains n'en ait donné la solution. Celle que nous proposons aux lecteurs des /VoiH'elles Annales nous paraît remplir toutes les conditions exigées par le célèhre géomètre toulousain.

» Menons (/?^. Sg) les droites EA, EU justju'à la rencontre de la direction CD en

A', B'. puis AF perpendiculaire à EA' jusqu'à la rencontre de A'B'en F. L'angle AEB inscrit dans un demi-cercle étant droit, les lignes AF, BB' perpendicu- laires à EA' sont parallèles, et de plus, égales entre elles comme opposées dans un parallélogramme; donc les triangles lectaugles ADF, HCli ayant l'hypoténuse égale et un autre côté AD = BC, le troisième côté DF= B'C. De plus, les droites parallèles AB, A'B' étant divisées aux points V el C, 0 et U en segments proportionnels, on a

AB : A'B'=AV: A'C = OB: B'D;

donc le triangle ayant pour côlés les droites AB, AV, BU, dont la plus grande est moindre que la somme des deux autres, est semblable au triangle qui a pour côtés les droites AU', A'C, B'D; donc pour établir l'égalité

(0

\V2+B0^=AB^

il suffit de |)rouver que le dernier triangle est rectangle, ou, autrement, (ju'on a

(2) A'C'-hB'D^=A'B". .

Or la sonnne des carrés faits sur A'C et !VD, sommes des droites A'D, CD et CD, B'C, est égale à la somme des carrés faits sur A'D, CD, B'C, plus CD-, plus deux fois la somme des rectangles (A'D, CD), (CD, B'C); et, d'autre part, le carré fait sur A'B' somme des droites A'D, Cl), B'C, est égal à la somme des carrés faits sur ces trois droites, plus doux fois la somme des rectangles

216 ŒUVKKS DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

(A'D, CD), (CD, H'C), (A'D, B'C); donc, pour démontrer l'égalité (2), il suffit de prouver qu'on a

CD'=2recl(A'D. H'C),

ou

(3)

2 AD- =2 recl(A'l), DF),

en observant que AD est égal au côté AN du carré inscrit dans le cercle, dont

le diamètre AB=rCD, et (|ue B'C=:DF. Mais chacune des lignes AA',AF, A'F,

dont la dernière égale A'D + DF, étant l'hypolénuse d'un triangle reclangle,

on a

A'D'-+-DF»-t-2 AD'= AD' H- DF'-f- 2 rect( A' [), DF),

ou

2AD==2recl(A'D, DF).

C. Q. F. D. )i

On lit dans les Exercices de Géoniélrie, par F. G. M., /i'édil., 1907 (Tours, A. Marne fils; Paris, V' Poussielgue), p. 592-093 :

Théorème de Fermât. « Soient ABCD {fig. !\o) un reclangle dans lequel AH = HC ^^2, E un point

A'

v\-i. 4o.

([uelconque de la demi-circonférence décrite sur AB couiine diamètre; on a

la relation

AG'+BF'=AB».

(Fermai, question 957, Nouvelles Annales, (2), l. 8, 1869, p. 479 et 558; puis

1870, p. 189.)

» Soit

AF = a, FG = ^, BG = c.

» Pour vérifiei' la relation, remplaçons chaque ligne par sa valeur en fonc- tion des segments n, b, c.

NOTES MATHEMATIQUES. 217

» Il faut prouver qu'on a l'égalilé suivante:

(r) {a-i-b)^+(b-hc)-={f,+ &-^-c)-.

■) Développons et réduisons :

ti- -\- -2 ah -i- 0^ -h b'^ -h 2 Oc -i- c^ ^ a- -h 1 ab -\- b- -i- 1 ac -\- ■'. Oc -\- c-,

>' 'l'oul se réduit à prouver qu'on a 6-:= lac.

» Elevons des perpendiculaires FM, GN, on obtient un rectangle semblable au rectangle donné. D En elïel,

l'M EF EG (ii\ . F(

donc

\lt ~ El) ~ EC ~ lu: ~ ^"**' 1)G

FG* ou i-=2MF=.

» Les triangles rectangles AMF, NBG sont semblables, car ils sont équi- nngles; donc

■rrp = > d ou Mr^=rtf;

M t c

donc l'égalité bypothéiique (i) est vérifiée, et le théorème est démontré.

Il /Vote. — Catalan, dans ses Théorèmes et Problèmes Je Géométrie. 6' édi- tion, 1879, donne deux démonstrations, p. 168-169. La solution donnée par les A'. A., 1870, p. 190, est de Lionnel, ancien professeur à Louis-le-Grand, auteur de nombreux articles aux Noin'eUes Annales, de 1868 à i885. »

XXL

LA MÉTHODE DE LA « DESCENTE INFINIE OU INDÉFINIE ».

(T0.MK II, p. 4 il- )

A. Genoccmi. — Sur un manuscrit de Fermai récemment publié (') {Ma- ihesis, t. 4, 1884, p. 106-108).

Fermât énonce les applications de la méthode dénommée par lui « la des- cente infinie ou indéfinie ».

(') Cm. IIenhï, Rcclierclics sur les iiianiiscrits de Fermât, p. 2i3.

Fermât. — IV. 28

218 <l<:i)VF5ES DE FKHMAT. - COMPLEMENTS.

*Lo raisorineincnl s'appuie sur un piiiicipe employé déjà par Euclide au sujet des nombres entiers, savoir Ntillum numeruni in infinituin passe di- minue.

La manière adoptée par iMilei' et Lagrange pour exposer la métliode de Fermât semble inexacte, puisqu'ils supposent qu'il est nécessaire d'essayer, par (les substitutions effectives de petits nombres, de voir si pour ceux-ci la proposition est vérifiée.

(Eui.KK, t. tJ, art. 210, p. aSg, 2^/|. 3o2, 3.>t, 35y.) (Lagranue, Mémoires de l' Académie de Berlin, 1777, p. i4o.) l^a même méthode a été appliquée aussi par Campanus do Novare, contem- porain de F.,éonard Kibonacci : aucun nombre ne peut rationnellement être divisé en moyenne et extrême raison.

Lagrange s'est servi de la méthode de Fermai, non pour démontrer l'im- possibilité de certaines équations, mais pour trouver les solutions les plus simples en nombres entiers d'équations possibles.

Cf. Legf.nurf, Théorie des nombres, 3° éd., I. 2, p. 1-12; Lejkunk Dirichlet, Journal fiir die reine und angewandte MaUiemaiik , t. '.\, 1828, p. 354-37.5; V. Lebesuiik, Journal de Mathématiques pures et appliquées, I. 8, i843, p. 49-70. Pi t- lïS. i853, p. 73-86; Ed. Lucas, Bullcttino di Bibliografia e di Storia délie Scienze niatemaliclie c /isiclie, t. 10, 1877, p. i78-ii.)3, 239-2.38.

X\ll.

LIN THKOKEME SUR LES NOMBRES PREMIERS DE LÀ FORME 4./ + 1.

(TciiK II, p. ji'-.)

s. Ukams. — Scolies pour un lliéoréme de Fermât {Nouvelles Annales de Mathématiques, (3), t. h, 188.J, p. 367-372).

Le tliéoréme de Fermât dont il s'agit est le suivant :

Théori-me. — Si le nombre/', compris dans la forme linéaire 4'/+ ' est-

NOTES MATIIEMATIOLKS. 210

premior ou composé de facteurs premiers de cette forme, p est la somme de deux carrés.

Eiiler donne une démonstration de ce Ifiéorèmc dans les Nomeaux Com- mciiUiires de l'élersboitrg (i. 4, p. 3 et t. 5, p. 3) et il ajoute le corollaire suivant :

Corollaire. — p étant de la forme précédente, le nombre 9= ■—, — est

4 la somme de deux nomljres triangulaires (dont l'un peut être nul).

A ces deux théorèmes on peut ajouter les propositions suivantes :

I. Un nombre donné p =: ^q -h i étant la somme de deux carrés a:' el j^, on peut i)oser en nombres entiers a, b, .r, y

a — h — y,

el toutes les solutions entières de l'éfiuation indéterminée

.r- -+- y- —. p sont fournies par l'identité

, I \5 / 1 \t ,/"'"-*-« b'--ir b

c'esl-à-dirc

{a + b + \)- -ir {a — b)'- = 2{a- + a + b- -h b) + \ .,

en attribuant à a e{ h îles valeurs convenables, c'est-à-dire des valeurs entières telles i|ue le deuxième membre de légalité se réduise à la valeur de p.

II. Si un nombre donné p impair ou double d'un impair est décomposable en deux carrés |)remiers entre eux, en sorte que l'on ail

p = x'- -^y\

les racines ;r et y des carrés composants sonl exprimées par le syslème de formules suivant :

/' m- — //( /;'- — n

^=p-[ — : — + —:—

' ni- -t- m n- -t- 11

y-=p

m et /i étant deux entiers convenablement déterminés.

220 (KUVKES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

III. Soit/j un nombre entier impair résiillant do l'addiiion de deux carrés J7* et /- premiers entre eux. Selon que le nombre considéré /? diminué de l'unité est ou n'est pas divisible par 3, l'un des carrés en lesquels se décom- pose p est ou n'est pas divisible par 9.

S. He.ilis. — Développemenls nouveaux sur quelques propositions de Formai {i\otivef/es Annales de Mathématiques. (."5), I. 5, 1886. p. ii3-i22).

\XIII.

m THÉORÈME SUR LE NOMBRE 7.

(TOMK II, p. 4<4.)

T. Pépin. — Sur un ibéoréme de Fermât (Atti dell' Accademia pontijicia dei nuo\'i lÀncei, I. 36, i883, p. 23-33).

De tous les nombres, 7 esl le seul qui, étant le double d'un carré moins 1, soit la racine d'un carré de la même nature; 7 est double du carré 4 moins i, c'est-à-dire égal à S — i, et son carré f\() est le double du carré 2.5, c'est- à-dire •'jo, moins I (M.

L'assertion de Fermât revient à celle-ci : le sysiéme des deux équations

■ly-'—x — x,

2C' — 1 =: ,r',

lorsque l'on exclut la solution évidente x= )•:= 3 = 1, n'admet qu'une seule solution en nombres entiers et positifs, savoir

x = -, V — 2, c — 5.

Si un autre nombre que 7 vérifiait le théorème, il devrait dépasser l'unité suivie (le 38^8 chiffres.

A. (lENOCcHi. — Démonstration d'un théorème de Fermât {ISouvelles Annales de Mathématiques (3). t. i, i883, p. 3o6-3io).

(') Cil. IIkmiy, Recherches sur les manuscrits de Fermât, p. 17O.

NOTES MATHEMATIQUES. 221

XXIV.

VARIA.

l'. Tannerv. — Sur la date îles principales clécoiiverles de Fermât {Bulletin des Sciencex ntatliématiques, 2"= série, t. 7, i883).

« L'époque de celte vie où le merveilleux génie d'invention du géomètre toulousain est dans toute sa plénitude d'aclivilé peut se marquer de i636 à 1641, entre trenlc-ciii(| et quaranle ans. Après celle date, il iie'poursuit guère que des applications particulières des méthodes générales et des théo- rèmes fondamentaux qu'il a découverts; ou hien il s'use sur des problèmes de détail, comme ses Porismes de Géométrie, sans plus rencontrer désormais d'idée rénovatrice et féconde. »

J.-l*. Gram. — Nogle Hemœrkninger oin Fermat's Taltheori {Festxkrifl til H. G. Zeullien fra venner o^ élever i anledning af hans 70 aars fôdselsdag, i5 februar 1909, Kohenhavn, Kgl. Hofboghandel Audr. Fred. Host & Son, 1909, p. 48-62).

E.-N. Barisien. — Sur quelques formules de la théorie des nombres obte- nues par des considérations géométriques (Association française pour l'avan- cement des Sciences, Lille, 1909, p. 101,^107).

Les liaisons de toutes les parties île la Science mathématique entre elles sont telles que fréquemment des pro|)riétés des nombres sont la conséquence de formules algébriques, lesquelles proviennent de considérations géomé- lri(iues.

*

C'est ainsi qu'étudiant l'épicycloïde engendrée par un ceicle de rayon 2a, roulant extérieurement sur un cercle de rayon a, et comparant les équations paramétriques et cartésieimes, on tiouve les théorèmes suivants :

I —B' 1" L'expression i3 — 12^ où l = ^, est la somme de deux carrés.

222 ŒUVHES DE FEHMAT. - COMPLEMENTS.

2° 26 peul, (l'une inliiiiié île manières, être décomposé en une somme de quatre carrés, divisée i)ar un cinquième carré de nombre eniier.

3° Tout nombre de la forme (6- H- 1)' est un rapport de ileux sommes de quatre carrés, etc.

[Comme Fermât était passé maître en géométrie analytique, on peut se demander s'il n'a pas utilisé de semijlables procédés pour la démonstration de quelques-uns de ses théorèmes. H.]

\\V.

SUR L'HISTOIRE DU CALCUL INFINITESIMAL PENDANT LES ANNÉES 1638-1639.

Paii m. a. AUBRV.

Diiliamel a donné, en 1864, dans le Tome 32 îles Mrmoircs de l' Académie des Sciences une élude historique de la célèbre controverse qui eut lieu en i638 entre Fermât et Descaries, au sujet «le la méthode de maximis. Ees importants manuscrits de Fermai découverts par M. Cli. Henry et publiés par lui d'abord dans le Bulletin Boncompagni 1879, ont permis de reconnaître quelques erreurs dans l'exposé de Duhamel, assez prolixe d'ailleurs. Aussi, pour ces deux raisons, et pour ne pas cependant perdre le fruit de ce con- sciencieux travail, il semble utile de reprendre ce récit en s'en inspirant et de le continuer pendant les deux années i638 et 1689, les découvertes c|u'elles ont vu naître ne le cédant guère à celles dont Duhamel s'est occupé.

Dans la Géométrie de Descaries, on voit pour la première fois une cons- truction générale de la tangente à une courbe ; il coupe la courbe en deux points dont l'un est déterminé au moyen de son abscisse a, par une circon- férence ayant son centre sin- l'axe des x, et il cherche la relation qui définit les abscisses a el a- de ces deux points : le rayon de la circonférence sera une normale à la courbe quand ces mêmes abscisses seront deux racines égales de la relation dont il vient d'être parlé. C'est à la lecherche de telles racines que se réduit donc la construction des normales aux courbes, ce que Descaries détermine en égalant cette relation, supposée de la forme

NOTES MATHEMATIQUES. 223

\.v" + H.r'' 4- ..., à un produil de la forme

(}..i-"-^ -+- p-r/"-' ■+-... ){.r — a)\

)., fi, ... élanl indéterminés. De là, en développant et comparant les valeurs de À, fi, . . . (Ml fonction de jt et de a, faisant ensuite .r = a, on a la position (lu centre du cercle tanj,'enl, c'esl-à-dire la normale au point d'abscisse a.

Descartes donne plusieurs a[)plications de cette construction et remarque que, par la projection sur deux plans, elle peut s'appliquer aux courbes de l'espace.

A noter aussi, du même Ouvrage, celte reniar(|ue que la connaissance de l'équation d'une courbe algébrique suffit presque toujours pour permettre d'en déterminer la surface, ce qui fait penser (|ue Descaries savait quarrer les courbes du getue |)araboli(|ue f^^Lx' -h Mx'" -h .. .. Il avait aussi, comme on le voit par la découverte de ses ovales, le sentiment de la possi- bilité de définir une courbe par les propriétés de ses tangentes, et des mé- tliodes pour déduire, dans certains cas, l'équation de la courbe de la relation définissant la langenle.

L'année i638a été particulièrement féconde en acquisitions nouvelles à la science de l'iulini. Bien que ces résultats n'aient été publiés que beaucoup plus tard, grâce à l'heureuse initiative de Mersenne de centraliser et com- muniquer aux savants les problèmes, les méthodes, les discussions et même les essais qui occupaient alors les cs[)rits, leur infinence sur les i)rogrès futurs a commencé à daler de leur divulgation manuscrite et, en bonne jus- tice, ils devraient figurer à celle date dans l'histoire de la science.

La théorie des tangentes de Descaries comprenait bien implicitement celle des maxime et des minima; toutefois ce cas particulier, intéressaiil en lui-même, était, comme beaucoup de cas particuliers, susceptible de siuiplilications notables, qui en faisaient une théorie à part. Aussi Fermât crut-il devoir faire communiquer à Descartes une méthode générale sur ce sujet qu'il possédait depuis plus de sept ans et dont il déduisait une méthode des tangentes iiieii plus sim|)le, en théorie et en prali(|ue, que celle de Descartes.

La iiu'thoile (le ina.iiniis de l'ermat revient ii substituer à la variable, dans la fonction considérée F {x). cette même variable augmentée de h; ces deux expressions comparées constituent une presque égalité en x ei li (|ui, déve- loppée et réduite, contiendra // dans tous ses termes, ce qui permettra de la sim|)lifier en divisant tous les termes par k. A cause du théorème d'Oresme-

224. ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

Kepler (') peul-èlre connu de lui, la supposition li — o donnera l'équation de conililion ilu maximum. On voit que Fermai considère comme égales deux quantités qui ne diffèrent que d'un infiniment petit, idée qui a ré^né longtemps et empêché le principe de la méthode infinitésimale d'être admis par nomhre de bons esprits.

Ainsi Descartes crili(|ue la comparaison de V(x) avec F(j?h-/(), qui ne peut s'accorder avec la rigueur niathémaiique, et il propose de la remplacer par la recherche de la valeur de ar qui soit une racine double ; au fond, les calculs sont les mêmes, parce (ju'il ne s'agit (pie d'infiniment petits du pre- mier ordre; mais Descartes les présente correctement, car, comme l'a plus lard démontré Huygens, sa méthode revient à considérer deux valeurs égales de part et d'autre du maximum (') et à les faire rapprocher l'une de l'autre jusqu'à ce que leur différence s'annule. Descartes dit être en posses- sion de celte méthode depuis plus de vingt ans.

La méthode de Fermât était d'ailleurs mal présentée, et Descartes montra (pie, prise à la lettre pour la recherche des tangentes aux courbes, elle pou- vait donner lieu à des absurdités. Aussi Fermât a-t-il fait connaître de quelle manière il s'en servait pour la même question, laquelle consistait à chercher le maximun du rapport de l'ordonnée de la courbe à l'ordonnée correspon- dante de la tangente en un point voisin du point de contact supposé donné, ce qui détermine l'inclinaison de la tangente. Il ajoute qu'on peut s'en ser- vir pour reconnaître la concavité ou la convexité d'une courbe ainsi que pour la détermination des points d'inflexion.

Descartes, voulant également corriger la méthode des tangentes de Fermai, en proposa deux autres, indépendantes de la théorie des maxinia : la première fait tourner une sécante autour d'un point de l'axe des x et l'on examine ce que devient, d'après l'équation de la courbe, l'inclinaison de la droite joi- gnant les deux |)oints sécants quand leurs abscisses tendent vers une valeur commune ; la deuxième est celle qui a été adoptée depuis pour la définition et la recherche des tangentes, c'est-à-dire qu'il cherche la position limite vers laquelle tend une sécante tournant autour d'un point fixe de la courbe, à mesure que le deuxième point sécant se rapproche du premier : la solution consiste donc à considérer la sous-sécante s définie par la relation

s _ Y A.r A/'

(') Aux environs du rnaximinii d'une fonction, l'accroissemenl et le décroissement varient infinimcnl peu. (2) Peut-être était-ce une réminiscence tlu jjiova/oç Xoyo; x» iXa/iaxo; de Pappus.

NOTES MATHÉMATIOUES. 225

d'où, Ui-aiil la valeur (le Ay elle mettant dans l'équalion F (x -h Ax, y + Aj) — o et simplifiant à l'aide de cette autre équation F (x,/) = o, il vient une éga- lité contenant A.r dans tous ses termes; divisant par A.r et faisant ensuite Ax=o, on a la valeur de la sous-sécante correspondant à celle valeur parti- culière de Ax, c'est-à-dire celle de la sous-tangente t.

C'est à propos de cette méthode que Descartes proposa la recherche de la tangente du folium, ce qui montre bien qu'il savait appliquer sa méthode aux courbes déterminées par des équations implicites.

Enfin Fermât présenta sa méthode de la manière qui suit : sa première idée, remontant à 8 ou lo ans avant, avait été de chercher le maximum de la distance d'un point donné à la courbe, ce qui lui donnait la normale, mais nécessitait, comme celle de Descartes, la réduction des asymétries (radicaux); aussi il l'avait remplacée par une autre consistant à comparer les coordonnées du point de contact et celles d'un point de la tangente très voi- sin, c'est-à-dire d'égaler F ^j; -^dx,y + ^\ à V(x, y). Il semble admettre ainsi, comme Kepler et Cavalieri, l'existence réelle des infiniment petits, et ce principe que deux quantités ne différant que d'un infiniment petit sont égales; tandis qu'au contraire Descartes se fonde sur la théorie des racines égales, c'est-à-dire, au fond, sur celle des limiles.

Une autre controverse suivit de près la précédente : bien qu'il s'agît alors d'une courbe particulière, la cycloïde qui paraissait alors pour la première fois sur la scène mathématique, son étude soulevait des questions impor- tantes, d'ordre général, et d'un genre nouveau. Roberval avait trouvé la qua- drature de cette courbe, en la déduisant de celle de la sinusoïde ('), déduite elle-même de la sommation faite par Arcliimède des sinus d'arcs en progres- sion arithmétique. Descartes proposa le tracé de la tangente à la cycloïde, tracé au sujet duquel il imagina sa célèbre théorie du centre instantané de rotation ('), et Roberval, celle non moins remarquable des mouvements com- posés (3). Fermât, qui avait déjà trailé,dés i636, de courbes transcendantes, «ntre autres de la spirale p-=(^, qu'il avait quarrée probablement d'après la méthode d'Archimède, savait apparemment déjà utiliser sa méthode de

(') Descaries et Torricclli oiu délermino l'aire de la cycloïde à l'aide de considéralions qui revienneiil à ramener celle (juadrature à celle de la sinusoïde, laquelle est immédiaie, à cause de la forme même de la courbe.

(') Publiée en i(')49, dans la première édition laline de la Géomctrie de Descartes.

(3) Publiée en 1O44 eji même temps par Mersenne (Co^'. phys. math.) el par Torricelli {Op. Geoin.) qui l'avait irouvcc également de son côté.

Ff.rmat. — IV. 2Q

226 ŒUVUKS Itl-: FERMAT. - COMFLKMKNTS.

maximis poiii' mener lies laiigenles à de telles couibes; toulelois, si son procédé, |)oiii- la tangente à la cycloïde, est celui des Varia Opéra, il a dû être remanié on Inui au moins lédigé après coup, car le résultat seul a été communiqué \\ Descai'les, sans indication du piincipe utilisé par Fermai, la suljsliliition d'infiniment petits, par exemple des cordes aux arcs; cette méthode de Fermât n'a guère servi aux i)i-ogrès de la méthode et n'appar- tient pas à l'époque indiquée en lêlc de la |)résefile Noie (').

D'autres découvertes importantes mar(|uenl aussi celle même année i(>i)<) : parliculiérement la reclilicalion de la spirale logarithmique, la déterminalion de la logarithmique à l'aide de son équation ditrérenlielle, et les |)icmiéres discussions sur la nature de l'intini mathématique.

Descartes, consulté par Mersenne sur la véritable forme du jjlan incliné, répondit qu'il a pour génératrice une spirale formant [)arioul avec ses vec- teurs des angles égaux et des arcs croissant proportionnellement à ces mêmes vecteurs. C'est une nouvelle preuve de riiahileté de Descaries à re- venir des propriétés des tangentes à celles des courhes qu'elles définissent.

Dehoaune avait demandé à Descartes la couilx! telle que la sous-tangenle soit définie par une relation qu'on écrirait aujourd'hui (y ~ x) dy =z du-. L'iiliislie philosophe répondit eu détcrminaiil celle courhe par une délinilion cinématiciue analogue à celle des logarithmes d(î Neper. Il ajoute (lue le pro- blème de déierminer une courbe par les propriétés spccifupies de ses tan- gentes n'est pas toujours possible, et annonce avoir trouvé plusieurs Ihéo- l'èmes sur ce sujet ; il observe que de semblables propriétés ne conviennent |)as à des courbes clitrèrentcs, ce (jui revient à dire qu'une courbe est aussi bien caractérisée par une équaiioii dilVérenlielle que par sou équalion en termes finis.

C'est également eu i<)3<j que fui publié le lirouillon prnicci do Desargues, qui semble avoir le premier, parmi les modernes, essayé d'uliliser en géomé- trie la considération d(î rinlini. X'oici du reste ses paroles : a ... la raison es- saye à connaître des (|uaiUilés infinies d'une pari, ensemble de si petites que leurs deux extrémités opposées sont unies entre elles et (pie rentendemenl s'y [jcrd, non seulement à cause dl' leur inimaginable gramieur ou [jelilesse, mais encore à cause que le raisonnement ordinaire le conduit à en conclure des propriétés dont il est incapable de comijrendre comment c'est qu'elles sont.

(') A signaler le défi do Descartes à Fermât de cuiislruire la tan!,'enle à la courbe lieu des poiuts ddiii la ^Olnnle des dislances à iiualro points fixes donnés est constante, tan- gente que Fermai coiistruisil facilement par sa méllwido, que Descarlcs finit du reste ])ar reciiniiaiire comme |j1us commode que la sicMll(^ pro|irc'.

NOTES MATHEMATIQUES. 227

» Icvlimlc ligne droite est enteiuliie itllongée au besoin à l'infini de pari el d'autre

» Pour donner il entendre l'espèce de |)osilion d'une ou plusieuis «Iroilcs en laquelle elles sont toutes parallèles entre elles, il est icy dit (jue toutes ces droites sont entre elles d'une même ordonnance, dont le but est à dislance infinie, en chacune de part el d'autre ('). »

Descartes avail pleinement apiirouvé ces idées de Desargues; mais il se sépare de lui (|uand il raisonne sur l'infini géométrique ou numérique. Ainsi Desargues lui ayant l'ail demander s'il était d'avis (|u'une boule roulant sur un |)lan, la ligne décrite sur le i)lan après un lour complet ne peut être égale ;i la circonférence de la boule, puisqu'elle; est formée des points de contact successifs et pai' suite <|u'elle est discontinue; Descartes répondit (]u'il ne saurait comprendre ce fiu'on entend par points séparés d'un arc quand on le divise en ses parties. Une autre fois, Mersenne lui ayant fait remarciuer que s'il y avait une ligne infinie, elle aurait une infinité de pieds el de toises, el que, par conséquent, le nombre des pieds étant six fois plus grand fiue celui des loises, ce dernier ne serait pas infini, car un infini ne peut être plus grand qu'un aulre, Uescarles répondit (|ue rien ne s'oppose à cela et(]u<; l'in- fini cesserait de l'être si l'on pouvait lu comprendre.

On peut conclure de ce (|ui précède, d'une pari, (pie les idées sur l'infini étaient alors loin d'ètr^i élucidées, même dans ses propriétés les plus sim- ples; en second lit-u, (|ue si Fermai a bien mieux compris que Descaries l'utilisation el la pratique du calcul de l'infini, ce dernier a sur lui l'avantage d'en avoir beaucoup mieux pénétré le principe el aperçu les écueils qu'on risque de rencontrer à chaque pas, quand on veut expliquer l'infini.

( ') Kepler avail déjà dit la môme chose Irenle-cinq ans aufiaravaiil. C'est à lui qu'on doit \(i principe de contiiiuitr, qu'il appli(]uc au foyer do la parabole limite de l'ellipse el de riiyperhole.

2-28 ŒUVRES \)E FERMAT. - COMPLEMENTS.

XXVI.

MÉTHODE DE EERMAT POUR LA QUADRATURE DES COURRES,

I'ah m. a AUBRV.

La première meiilion de la quadrature de la parabole j = a-" se voit dans les Cogitata de Merseniie; elle est de Roberval, qui se servait vraisembla- blement des formules

I I l" H- -i" -H. . . -H (/" I

- H > -— > ,

a II + 1 rt""*^' /; -+- 1

d'où

liin

n + 1

relations déjà données par Archimède pour n = 2, et que Roberval » énoncées le premier dans sa lettre à Fermai du u octobre i636 ('). Des- cartes et Fermât (-) en possédaient l'équivalent. Cavalieri découvrit celte quadrature peu après et en donna une démonstration peu élégante dans ses ExercUaliones geomelriccr. Wallis la démontre par induction, dans son Arilhmetica infinilonim et en tire d'importantes découverles. Pascal la démontre rigoureusement par la sommation des puissances semblables des termes d'une progression aritbméli(|ue. Enfin Fermât (') donne la quadra- ture de la courbe j = .t" d'après une méthode d'un genre nouveau, laquelle s'appuie sur cette propriété entrevue par Torricelli et mise dans tout son jour par Pascal : dans une opération e.ccciiice sur des infiniment petits, on peut remplacer ceii.r-ci par d'autres infiniment petits rpii soient dans un rapport fini avec les premiers. Celte méthode a l'avantage de

(') Œuvres de Fermât, l. IF, p. ■y'i. {-) Œuvres de Fermât, l. I, p. aSj; I. III, p. ■i\li.

(') Fermai a'ulilisait-il pas dans ses premières recherclies une formule de la théorie des nombres figurés, telle que la suivante :

I . z . . . « -+- 2 . 3 . . . ( n -f- 1 )

,Q/ / . , , , , , (a — i)a. , .{ Il -h n — 1),

NOTES MATHÉMATIQUES. 229

pouvoir s'appliquer à un exposant fraclionnaire quelconque supérieur à l'unilé; elle se réduit en principe à insérer des moyennes géométriques entre l'origine et une abscisse donnée; les rectangles élémentaires formés par les ordonnées correspondantes forment une progression géométrique aisée à sommer. Peut-être Fermât fut-il amené à cette considération d'abscisses croissant géométriquement par la découverte qu'avait faite peu auparavant G. de Saint-Vincent de cette belle propriété de l'hyperbole a;>r= i, que, SI les abscisses croissent en progression géométrique, les rectangles niixli- lignes correspondants sont égaux. ( Voir t. II, p. 878 et t. III, p. 582.) On a ainsi la formule fondamentale

x" dx -.

Ceci posé, à l'aide de la méthode ^'intégration par parties due à Pascal et par des substitutions convenables, on ramènera les équations des courbes à celles d'autres courbes connues ou inconnues en évitant les embarras des radicaux.

Soit le liait Y- ^x"^— x""; en posant 7 i=«x, d'où (/'-t- j'= 1, il viendra

2 / ydx = 2 / uxdx = x^ u — x^-du = x^u— j [i — u'') du (').

Cette courbe est donc absolument quarrable.

Pour le foliuni x'^+ y^T^xy, on posera y — ux"^, d'oii u^x^=u — \, et de là

3 fy dx = A u x^ dxz^ Çud{x^) = u x^— Çx' du — ux'-f "~/ du (» ) .

Conclusion analogue.

Dans la versiera v^x + x = \, changeons x en «*et >-en -, d'où i'--H(r = i ; il viendra

/ ) dx = 2 / f du .

(' ) La même siibstilulion. dan.s l'équation de Vangui/ien j (t -+■ j,') = x, donne

2 / 1 d.i = iix- — / du.

J ' J «

La quadrature do celle courbe s'obtient donc au moyeu de celle de l'hyperbole. (-) Celte substitution, dans l'équation de la piriformc y"- = .t^ — x- , montre que la quadrature de colle courbe se ramène à celle du cercle «--(- .<■- = r.

230 ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

L:\ quadrature de celte courbe, qui lui avait été proposée iiroljablemeni par Laiouvère, se ramène donc à celle du cercle i'+ "^= i. Fermât a.joule que la même mélhode convient à la dioclea (' ).

La substitution ,r — - dans j' y- = x — i conduit à ycix-= — y/ 1 — a- du (-). u

Pour jr'j' — .r' = y', il écrit j = j;-«.

Il enseigne de même à traiter l'expression / (' — •'■")■ '^■^•

.Jean Bernonlli a Irailé de même les courbes .r ' h- ) ^ =r jj, .r\>'2— j;'= r^ (il y'' — 6/^+ /i.c-.v' 4-1 = 0, à l'aide des subslilulions

y=— , »-=^ — et V — u -^\Ju''^- \;

•' it ^ u

et le marquis de l'Hospilal, \t'/ofiuni, en posant y = ua:'.

A vrai dire, celle métbode de Fermai est plutôt propre à la recliercbe de courbes dont la (piadralure se rattache, par des relations simples, à d'antres courbes données. Elle n'en est pas moins reinar(|uable, et il est à croire que cel ingénieux ])rocédé de subslilulion de variables, ainsi ()ue le souci de Fermai d'éviter les radicaux, aussi bien dans le tracé des tangentes que dans les intégrations, ont eu une ceriaine iniluence sur Leibniz, et sur la mise au jour de sa Noiu inelliodus.

(') La cissoide. La solution de Fermai esl probabletnenl la siiivanle : Dans j'ii — x) = .j=,

faisons r=''^i'-'; il viendra .v — .c'- = v'^ , d'où, on difîcrenlianl, innUiplianl par x el

rempiaçanl r — x^ par i-',

.r' dx = i'2 dx — M'.r dx,

d'où

• dv.

I ) i/x = / '' '/"<; — 2 / xdf = l'.r — i I .1

La quadrature esl ainsi ramenée à celle du cercle x — x'= c'.

(-) Si l'on pose x = u'", y = vii~"'+', il viendra r dx = mvdu. De là le moyen de déterminer une infinité de courbes dont la quadrature se ramène à celles de courbes

connues.

NOTES MATHKMATIOUES. 231

\ \ V 1 1 ,

LISTE DES PKINCIPALES l^VENTIO^S MJMÉKIQLIES DE FERMÂT (",

l'AH M. A. Aumn.

Du Cnninierciuin cpislo/iciim, de Wallis.

Tioin-ar. en nuire de 3 (3, iiit cube, lc<iuel ajouté à ses ditiseiiis, fasse tut carré [voir I. Il, p. 333 el t. III, p. 3r i cl S^i)-

Troiner un carré, lequel, ajouté à ses diviseurs, fasse un cube {]d.\

L'érf nation x"- — ay- ^= i a une infinité de solutio/is. si a //'est pas un carré. Les déterminer (I. Il, p. 334, ^j;, ^o.'j, 433; I. III. p. 3i:>, ',17). Cello célèbre éf|ualioii, ionglemps appelée du iiojii «le Pell ipii ne s'en esl jamais occupé, a élé résolne ponr la première lois par Lagrange. Lejenne Dirichlel a donné une démonstration 1res siiniile de sa solubililè (voir Note XVIII).

Partager la somme de deux cubes en deux autres cubes {fractionnaires) (t. I, p. 297; t. II, p. 344, 346, 376; I. III, p. 247, 345. 417 )•

Le seul carré i/ui, augmenté de 2, fasse un cube est 2") ; les seuls carrés qui, augmentés de ^, fassent des cubes, sont .\ et 121 (I. 1. p. 334; I- H. !'• 345, 434; t. III, p. 269). Démontré pai- Eulcr.

( ' ) L'éUide (les iiunibros, comme celle de toute autre brijnclie des Matliémaliiiues, comprend : d'une pari, un ensemble de lliéorcmes appelé arithmétique par l'Iaton, Tliéon de Smyrnc, Diopliante, Fermât, Gauss, Ed. Lucas, théorie des nombres, d'après Letrendre, ariihmolof^ie, arithmotechnie, ariUimonomie , etc. par d'autres; et d'autre part, des ap|)lica- tions el dos problèmes dont la solution défiend de certains procédés particuliers consti- luanl la logistique et \'annl)se indéterminée.

Fermai, qui a excellé dans ces deux sciences, ne les a pas distinguées dans ses écrits; d'autant plus que ses lliéorcmes étaient, à ses yeux, non des buts immédiats, mais des moyens de recherche destinés à perfectionner la solution des problèmes numériques, et que ceux-ci ont amené couxd.'i. Aussi, (|uel ipie soit l'avanlaije qu'il pourrait y avoir à donner séparément ces deux i;enres <le questions, on les indi(iuera ici simplement suivant leur ordre do divulgation imprimée, faute du pouvoir leur assigner leur ordre de découverte ou même de divulgation inanuscrite.

232 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLÉMENTS.

// n'y a aucun triangle (rectangle) dont l'aire soit un carré (1. I, p. 8/40; t. II, |). 3i3, 376, 431; l. m, p. 271) Id.

Aucun cube ne peut être la somme de deux cubes (L I, p. 299; t. II, p. 376, 433; l. III, p. 247) M. Ce théorème ôlail connu des Arabes.

Le théorème admis par Diopliante et énoncé par Bachet (sur la possibilité <le décomposer lin entier quelconque en une somme de quatre carrés au plus) est exact (t. 11, p. 4o3, 433; t. III, p. 3i4). Démontré par Lagrange.

Tout nombre premier de la forme l\x + \est (') une somme de deux carrés (") (l. I, p. 2g3; t. II, p. 2i3, 221, 4o3, 432; t. III, 243, 315). Ce théo- rème, le plus beau peut-être de tous ceux de Fermât, se tire, d'après Euler, des deux suivants : tout nombre premier de la forme 4-^ + i divise une somme de deux carrés premiers entre eux (^); les diviseurs d'une somme de deux carrés sont eux-mêmes des sommes de deux carrés ('). On a en outre les démonstrations directes de Legendre {^) et de Smilli, par les fractions conti- nues et la démonstration graphique d'Ed. Lucas, qui y emploie la théorie des satins carrés ( Voir Note XXII.).

Tout nombre premier de la forme 3a:' + i est en même temps de la forme y''-h 3c' (t. Il, p. 4o3, 43i; t. 111, p. 3i5). Démontré par Euler.

Tout nombre /iremier de l'une des formes 8x -h i ou 8x -t- 3 est en même temps de la forme j'-t- 2:;'' {Id.) Id.

Théorème sur les nombres polygones {l. 1, p. 3o5; l. H, p. 65, 4o3; t. 111, p. 252, 287, 3i5). Démontré en général par Cauchy (voir Note VII).

Tout nombre de la forme 2''-\-i est premier (t. I, p. i3i; t. 11, p. 206, 208, 212, 3o9, 4o4, 434; l. l'I, p. 120, 3i6). Reconnu inexact par Euler (voir la Note XiV).

Le double de tout nombre premier de la forme 8x — i est une somme de trois carrés (t. Il, p. 4o5; t. III, p. 3i6). Il n'est pas nécessaire que ce nombre soit premier (voir plus loin).

( ') Certains énoncés ajouleiil : d'une seule manière.

(') Certains énoncés ajoulenl : premiers entre eu.r.

(') Aulreinenl dit, — i esl résidu de tout nombre premier de la forme 4-r -t- 1. Fermât connaissait cerlaiiiemenl ce Uioorème, car il indique des propriélés analogues du résidu 2. Il a clé démonlré par Euler à l'aide de la théorie dos résidus et à l'aide du théorème de Fermât; par Lagrange, en utilisant le théorème de fVilson; par Legendre, en étudiant l'équation .r^ — ay''- = — i; par Gauss, au moyen de la descente infinie.

(') Ce théorème a été énoncé explicitement par Fermai (voir plus loin). Il a été démonlré par Euler; iucidemmeut par Lagrange, comme cas parliculier de sa méthode de recherche des diviseurs quadratiques ; el à l'aide des propriétés des fractions continues, par Hermite.

(5) Celle démonslration ne serail-elle pas celle de Fermai?

NOTES MATHEMATIQUES. 233

Le produit de deux nombres premiers, de l'une ou de l'autre des deux formes iox±o, est en même temps de la forme y-+5z^ (1. II, p. /lOf); l. JIl. |). 3i7).

Aucun triangulaire, sauf l' unité, ne saurait être un bicarré (l. I, |). S^o; I. Il, ]i. 4ot); I. m, |). 272, 317). Démontré par Euler.

Du Diopliantus, de S. Fermai.

Construire un triangle arec trois nombres en progression arithmétitjue (I. I, p. 291; I. III. p. 241).

Pour n supérieur à2,on ne saurait aroir x" -h y" ^z z" {/rf.). Non déinoiilré on général {voir Noie V).

Il élend à qualre nombres les problèmes III, 10 el r i de Diophanle (l. I, p. 292; t. m, p. 242).

Trouver, d'une infinité de manières, trois carrés tels que le produit de deux quelconques d'entre eux ajouté à leur somme fasse un carré. Même question pour quatre nombres quelconques (t. I, p. 292; t. III, p. 24i).

Si p désigne un nombre premier de la forme 4^' -H 1, les équations

X- + y^ = p^"-' el .r'-+- j-2 = />-"

ont chacune n solutions. Le produit (a''-h b^Y""'' {c- -i- d-)'- est, de 2/t manières différentes, la somme de deux carrés (') (l. I, p. 294: I- II. p- >. i3; l. III, p. 243).

Déterminer de combien de façons un nombre donné peut être hypoténuse (somme de deux carrés). Trouver le plus petit nombre qui soit hypoténuse un nombre donné de fois {i.\, p. 294; I. Il, p. 2i4, 24i; l. III, p. 244)-

Trouver deux cubes (fractionnaires) dont la différence soit égale à celle de deux cubes donnés (1. I, p. 299; t. III, |). 248).

Résoudre x' — y^=i x — y (l. I, p. 3oo; I. III, ]). 248).

Lesdii'iseurs non carrés de tout nombre x- -h xy -h y- sont de la forme S z -r i (l. 1, p. 3oi ; t. III, 249).

Il donne de nouvelles démonstrations, en les étendanl le plus souvenl, des problèmes suivanls de Diophanle : IV. 17, 18, 20, 21, 23, 3.5, 44; V, 3, 9, 19, 24, 20 ('), 3o, 3i ; VI, 6, 7, 8, 9, 10, 11, i3, i4. i-J, 17, 19 ( l- I, p. 3o2 ; l. III, p. 25o el sef].).

(') Connu de Fibonacci cl peut-iHre de Diophanle, pour n = k = \. (le cas particulier a été généralisé d'autres manières par Euler, Lagrange et Caylcj .

(*) Ce problème a été résolu par P. Tannery et S. Roberts (voir Noie VI 1.

Kkrmaï. — l\. 3o

23V ŒUVRES DE FERMAT. — (.OMl'LEM ENÏS .

On peut déterminer une infiiiilc de triangles de niêine surface ( I. I, |). Sog; t. II, p. 248; 1. III, p. 2:V|).

Aucun nombre de forme g.r ± 3 ne peut être somme de deux carrés, soit entiers, soit fraction itaires (I. I, p. 3i2; t. III, |). 256).

Pour que l'équation .r^ -f- j- ^ 2 « -+- 1 soit résoluble, il faut que les dii'i- seurs non carrés de a soient de la forme l\z -\- \ ( I. I, p. 3i4 ; t- III, !>• 25C).

Il donne (le même les coiidilions que doit leinplii- a |)Our que l'éqtKi- lion j;'-(- j^+ ;-= 3a + I soi! possible (l. I, p. 31/1; I. III. p. 257 ).

Trouver trois triangles dont les surfaces forment un triangle (I. I, |>. 32i; 1. Il, p. 93, 229, 249, 277; I. III, p. 261). (]e problème parnîl dû à Sainle- (Iroix ( voir I. II, p. 63).

La somme de deux bicarrés ne peut être un carré (I. I, 027; I. III, p. 2614).

Si p est une somme de deux carrés, on peut écrire px^ — v' -zr 1 (t. I, p. 328; t. III, p. 263).

Trou\'er un triangle dont l'hypoténuse soit un carré, ainsi que la somme de ses catliètes (côtés de l'angle droit) (l. I, p. 336; t. II, p. 261 ; I. III, p. 270). De Billy, Euler el Ed. Lucas ont retrouvé la solution même de Format; Lagrani;e a fait voir, par la deseenle inlinie, (joVdle est bien celle (jni de- mande les pins petits nombres {voir aussi I. IV, p. 82).

Méthode de la descente infinie pour la dénionstiation des théorèmes et la solution des problèmes (t. I, p. 3'|o; t. III, |). 272) {voir Note XXI).

Formule donnant le /,'«">'• nombre (ignré du n''""' ordre (t. 1. p. -mi; t. II, |). 70, 84 ; t. III, p. 273, 291). Otte expression avait été donnée antérieurement par Briggs, et Pascal l'avait ensuite déniuntrée, sans savoir ce (|ui avait été flécouvert sur ce sujet avant lui.

La somme des cubes des n premiers entiers est supérieure au quart de n'' (t. I, i>. 3/42; I. III. p. 27'|). De là probablement l'idée de la lorinnle

i

^ n-\-\

(•" dx —

5/ l'on a trouvé une solution x = a d'une équation indéterminée, on en déduira de même une suite indi' finie en changeant dans celte équation x en X + a (I. III, p. 32- ) [voir t. II, p. 72, renvoi ( ' )].

Des Varia opéra.

Tout nombre composé de trois carrés ne peut l'être de deux, même en frac- lions (t. Il, |). 58).

Ae nombre i{x''- + y- ->r xy) ne peut être un carré {l. II. p. <)2).

NOTES MATHEMATIQUES. 23.Ï

Noiiibics jiliqiiolaiics (I. Il, p. 72, 179, a/jS. 255, 207 el seq.; t. IV, |). 65 el seq., 8/4, I 17).

Aucun iiomhie de la forme [\.c — l n'est composé de deux carrés ni entiers, ni fractionnaires (t. 11. |i. 20.>).

La sommation des puissances seml/tables îles termes d'une progression arithmétique s'obtient à l'aide de celle des nombres figurés (t. Il, p. 84). Jacques Bernoiilli a agi df iiiênit- pour trouver l'expressiou de i.j".

Aucun di\-iseur d'une somme de deu.c carrés premiers entre eux ne peut être de la forme f^x — 1 (I. Il, p. 201). <>n |)eut tirer de là une niéliiode de recherche des diviseurs d'un nombre donné.

Si. p étant premier, a' est la plus petite puissance de a i/ui soit = i (mod/j), / est un diviseur de p — 1 C).Si t est impair, aucun nombre de la forme a^ + 1 n'est multiple de p. Si t est un nombre pair ar, o// a : rt^+ 1 3e 0 ( (. Il, p. 209). Si p est de la forme [\x — \, et que «="■*-' = 6^ (mod /?j, on pourra écrire : «y = I ( inod p ) avec y impair: et par suite il sera impossible de trouver z tel que «=-M = o (mod/)) (•') (t. Il, p. 210).

Aucun diviseur de «7-— 2 n'est de la forme x'- -f 2 (I. Il, p. 211). Déterminer un nombre r/ui soit la somme des catliètcs d'un nombre donné lie triangles, et de combien de triangles un nombre donné est la somme de leurs cathèles (1. Il, |). 221, 226, 2^1, 238).

Tnniver trois carrés en progression arithmétique (I. Il, p. 65, 234). Connu (le Fibonacci el probablement des Arabes.

Éludes et extensions diverses sur les carrés magiques (I. II. p. i8<j. 197, passini ) .

Les nombres do la forme 2'-'' — 1 sont composés (I. 11, p 198). Si p est premier, les diviseurs de 2''— 2 sont de la forme ipx, et ceux de 2''— I. de la forme ■3.px + \ (') (I. 11. p. 198). Démonlré |iar Euler, éleridii par E<1. Lucas.

Divers ()ri)blémes sur les triangles (I. 11. p. a65, passim).

(') De là le théorème de Fermât (voir Noie XII). L'exposant / s'appelle, d'après Gauss, le nombre appnrlenaut à a (inod p), el, d'après Ed. Liicas, le gaiissien de a (mod p). On voit que celle deinicre dènominalion est injuste envers Fermai.

('-) Ce qui revient à dire que, a étant résidu de/3 = .i-r— 1, on ne saurait avoir

Fermai sail donc que si a est lésidu de p on a y/o/'-'s 1; et ipic, si pour n impair on a a"^ I, on ne peut avoir a''=.— i pour // < «.

(') C'est précisément à l'aide de ces théorèmes qu'Euler a démonlré l'inoxactilude de l'assertion de Fermai relative aux nombres de la forme ■/.'' -t- i .

236 ŒL'VKES l»E KEf^MAT. - COMPLEMENTS,

Des Oliuvies de Pascal.

Le théorème des polygones est une conséquence de ce que tout nombre pre- mier ^x + i est une somme de deux carres (I. II, p. 3i3).

p désignant un nombre premier de la forme .'\x-\-i, résoudre l'équa- tion x'^ + y'^^ p (I. II, p. 'f.i-i, 3i3). Soliilioii due à (iauss et à Jacohi.

Des liecherclies, de M. (^,li. Henry.

[j'rijtiation 'xx"- — i=:(2j' — i )- a une seule solution, laquelle est A' ^ 5, 7 = 2 (l. II, p. 434. 441) {voir Note \XIII).

Le nombre f.a -v-i représente une différence de deux carrés autant de fois qu'il est décomposablc en deux facteurs; et si les carrés sont premiers entre eux, les facteurs le sont aussi. De là une méthode générale de décomposition des nombres en leurs facteurs (t. II, p. 256). Retrouvé par Monlferrier ou peut-être par Wronski, comuie l'a remarqué M. CM. Heuiy (.4 <;.•,. fr. pour

iav. des se, 1880, p. 202).

■2'' ■+■ I p désignant un nombre premier, le nombre — |t — est de la forme ipx -t- r .

IjC nombre 2* -|- i est composé si k n'est pas de la forme 1^ (t. Il, p. 2o5).

La descente infinie sert pour démontrer : qu'aucun fadeur de n'+ ib- n'est de la forme S.r — i ; que tout nombre premier 4a' -h i est une somme de deux carrés; le théorème de Bachel ; la solution de l'équalion x- — ay-^i ; l'impossibilité de l'équalion .r^-i- r'^ z^\ la solution des éc|uatious j-- -f- 2 =j/' et x' + 4 = /' ". le théorème faux relatif au nombre 2"-+- 1 ; la solution de l'équalion ix"-— \^ (2/'— ')• (t. H, p. 43 O-

Il annonce diverses règles pour la solution de ré(|uation a.t-'-t- b=iy'', ou la démonstration de son impossibilité. De même pour le système

ax-\-bz=y-, a^'-+- c rr 3',

pour la décomposition des nombres eu leurs facteurs, etc. (t. H, p. 434)-

Il propose de définir quel est le polygone que représente un nombre donné, et de trouver un nombre qui soit polygone un nombre donné de fois, et le plus petit de ceux qui satisfont à la question (I. II, p. 435).

Des OEuvres de Fermai.

Tout entier de forme 8a: — t est une somme de quatre carrés, en entiers et en fractions (t. II. [). 66; I. III, [). 287).

NOTES MATHÉMATIQUI^S. 237

// n'y a pas de nombres parfaits de vingt ni de vingt et un chiffres (t. II, p. 194).

(an)-" 4- I représente un nombre premier lorsque cette expression n'est pas divisible par un nombre de la forme •?'" -^ i (I. H, |i. 2i3).

Trouver combien de fois un nombre donne est de la forme :r — " — (t. II, |i. 2l6).

Tout nombre premier de l'un des quatre groupes de formes \ix±\, i'ix±ô, lo.cdrt, io^±:3 divise une expression de l'une des quatre sui- vantes 3y — I, S'-f- 1, !')>' — I, 5^-1-1 ( l. II, p. 22o).

En outre divers problèmes (t. II, p. 216, 2'>.3, 226, 252, 258, 263; t. IV", p. 56, 64 et seq.. 70) (').

WMII.

NOTES BI0-BI15LI0GRAPH1QUES SUK FERMAT.

Termat (Pierre), iiiatliéniaticien français, est né à Beaumonl-de-Lomagne en août i6or (baptisé le 20), mort à Castres le 12 janvier i66j. Fils de Dominique Fermât, bourgeois et second consul de Beaumont, et de Claire de Long, qui appartenait à une famille parlementaire, Pierre, après avoir reçu sa première éducation chez les Cordeliers de Beaumont, termina ses études à Toulouse en se destinant à la magistrature. Installé comme commissaire aux requêtes le i4 mai i63i, il épousait, le i" juin, Louise de Long, cousine de sa mère. Sa nomination comme conseiller de la Chamijre des en(|uétes est du 3o décembre i634; il obiiut, assez diflicilement, de passer dans la Chambre de l'édit en août 1648, et mourut à Castres, deux jours après y avoir

(') 11 serait intéressant, au point de vue historique, de donner ici une liste des travaux aritliinéliqnes de Freniclc ; on citera seulement le théorème et le problème suivants :

Tout nombre premier île la forme 8.f ± i est la somme des deux catlicte.t d'un triaii'^le, c'esl-à-dirc ()u'il est de la forme .'- — y"- — 2x_r, ou do la forme «' — ïv''.

Décomposer en ses deux fadeurs un nombre donné de jornic 4 f -I- i , qu'on a pu mettre, de deut manières, sous la forme d'une somme de deux carrés. La solution de ce pro- blème est probablement celle qu'Euler a proposée jwur la décomposition des grands nombres en facteurs {-voir, par exemple, A. Arimv, L'œuvre arithmétique d'Euler, dans VEns. math., 1909; et sans doute celle à laquelle il est fait allusion dans la Préface des Divers Ouvrages de messieurs de l'Académie (Paris, i<i<)3 ). ainsi que dans Y Hist.de l .4cad. det Sc/cnc.. 1705, p. 81.

-2:î8 (EUVHES de FERMAT. - COMPLÉMENTS.

rapporté un procès. Il laissa cini] enfants : (llérnent-Saiiuiel; Jean, archi- diacre (le Fimarens; Claire, dont un pctit-lils, Jean Gailhard, succéda comme conseillera Jean-François, (ils de Clément-Samuel; enfin Catherine et Louise, (pii furent toiiies deux religieuses. (>'esl seulement comme conseiller à la <;our (|ue Fermai prit, suivant l'usage, la particule nohiiiaire, qu'on ajoute assez souvent à son nom.

Tandis (|ue sa carrière de magistral s'écoulait obscurément, par sa corres- pondance avec quelques savants de son temps et par la communication en manuscrit de traités composés en latin, il s'accpiil, dès 1G37, le renom d'un géomètre hors de pair. Ses principales relations fin-eiil d'ahord avec Despagnet (le fils), conseiller au parlement de Hordcaux; Carcavi, qui, d'abord sou collègue à Toulouse, le mit en rapport, une fois à Paris, avec Beaugrand et Mersenne, et qu'il lit le dépositaire de ses écrits. Le minime fui un des agents les plus considérables de la propagation des travaux de Fermai; il l'engagea en 1637 dans une dispute célèbre avec Descaries sur l'explication <le la réfraclion, dispute (|ui s'étendit bienlAl à la méthode de maxitnis et ininimts dont Fermai était l'inventeur, et qui se termina [laruiie réconcilia- lion apparente. C'i'Sl également [)ar Mersenne que Fermai connut fîobei-val et Frenicle. Plus tard, Carcavi le mil en rapport avec Biaise Pascal el proba- blement aussi avec Dighy, le(|uel lui dotina l'occasion du défi et du procès mathématique dont les pièces sont réunies dans le Commercium epistolicuni de VVallis. Fermât, a|)rès avoir plusieurs fois entretenu Carcavi du projet de publier ses œuvres, sans y mettre toutefois son nom, mourut, n'ayant fait [)nblier qu'une seule ilissertation sous les initiales M. I'. E. A. S., en 1G60 (à la suite du traité de Lalouvère sur la cycloide), où il démontrait, à la façon d'Arcbimède, la rectification de courbes géométriques. Pour une de ces courbes, il avait été devancé, sans (ju'il le sùl, par Neil el N'an Heuraet; la rectification d'une autre (dévelo|)pèe de l'hyperbole équilalère) lui a|)|)ar- lient sans conteste. Son fils Samuel s'occupa de publier les écrits de son père, mais il éprouva les |)lus grandes diflicultés, car, d'un côté, il n'était nullement mathématicien, d'aiilre part. Fermât n'avait pas l'habitude de conserver de papiers, même de co|)ies de ses travaux, et Carcavi montra une mauvaise volonté peu explicable.

Samuel commença en tous cas par réimprimer, en itiyo, l'édition gréco- latine ilu Diophanle i\c Bachet de Méziriac, en y insérant les célèbres obser- vations (|ue son père avait consignées en marge de son exemplaire el le Doctrinœ analylicœ invenlum novum, rédigé par le P. de Billy sur les lettres (perdues) que lui avait adressées Fermai à |)ropos ties problèmes d'analyse

NOTES MATHEMATIQUES. 23!>

iiidétenniiiée. Neuf ans plus lard, Samuel élait enfin parvenu à réunir la plupart des écrils ialins de son [)ére el un n(uul)re suffisanl de lellres inédiles; laissant de côté celles (|ni avaient déjà été publiées par Clerselier dans la correspondance de Descartes, il fil imprimer l'in-t'olio connu sous le litre de Varia opéra. (|ui a été, jilsqu'à nos jours, le seul Volume où l'on ail pu étudier les travaux de Fermât, el dont les incorrections sont mallieii- reus(;ment excessives.

Le nom du géomètre de Toulouse est inséparable de la théorie des nombres dont il jeta les fondements en étudiant Diophante. Comme, de son temps, rallention se portait beaucoup plus sur les solutions de problèmes (|ue sur les tbéorèmes, el qu'après lui riuvenlion du Calcul infinitésimal absorba les esprits, ses propositions, généralement énoncées sans démons- tration dans sa correspondance ou dans les observations du DiopUante, restèrent infécondes jusqu'à Euler, et l'on ne peut être encore assuré d'en savoir sur ce sujet autant fpie lui. Si une de ces propositions (que 2-" -h i soit un nombre premier) a été reconnue fausse, il en est surtout une autre (que x" -H y" := c" soit impossible en nombres entiers, si /(>?.) iju'on suppose vraie, sans avoir pu, jusqu'à présent, la démontrer dans toute sa généralité. Quoiqu'il déclare rormelleinent posséder la démonstration de celte dernière proposition (ce qu'il n'a jamais fait pour la première), eu égard à sa mélbode de travail de tète, une erreur de sa pai't n'est pas impossible (ses écrits, même les [tins travaillés, pourraient en donner des preuves). Elle ne diminuerait pas en loul cas la gloire d'un bomme qui a le premier abordé des questions de cet ordre et trouvé des mélbodes pour les résoudre. On fait aussi honneur à Fermai de l'invenliou du Calcul différentiel à propos de sa inélliode des maxima cl minima et des tangentes, qui, des procédés antérieurs, est en réalité le plus voisin de l'algorithme de Leibniz; on |)ourrail, avec autant de justice, lui attribuer l'invention du Calcul intégral; sou traité de /Eqaalionum localiuin iransniulalione, etc. dotine de fait la uiètliode d'inlcgration par parties, eu même temps que des règles pour intégrer, en dehors des puissances quelconques des variables, leurs sinus el les puissances de ceux-ci. Il faut toutefois remarquer qu'(jn ne trouve pas dans ses écrits un seul mol sur le |)oint capital, la relation entre les deux branches du (Calcul inliuilésimal. Mais ce que l'on néglige d'ordinaire de remarquer, c'est (|ue Fermai |)arlage avec Uescarles l'invention de la Géométrie analytique; il l'a courue à la même épo(iue, d'une façon toute indépendante et sous une forme (|ui se rapproche pins de la classique (juc i;elle de Descartes {Isagoge ad locos pianos el solidos). Il a corrigé son rival

240 ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

sur un point essentiel, la classification par degrés. 11 a d'ailleurs le premier tenté de l'étendre à trois dimensions, dans un essai d'ailleurs malheureux (hagoge ad locos ad super ficiem), où, essayant de classer les surfaces du second degré, il ne reconnaît comme réglés (|ue les cônes et les cylindres. En Algèbre pure, on lui doit en particulier la première méthode générale d'élimination. Il peut être regardé avec Pascal cimmie l'inventeur du Calcul des probabilités. Enfin, il a laissé, en Géométrie ancienne, des travaux remarquables, eu particulier une restitution des Lieux plans d'Apollonius.. En dehors de ses aptitudes mathématiques, Keituai possédait une érudition singulière; la philologie grecque et latine lui doit diverses corrections imporlanles, et il se plaisait à composer des vers latins. Son caractère, d'après sa correspondance, se montre affable, peu susceptible, sans orgueil, mais avec cette pointe de vanité que Descaries, son contraire à tous égards, caractérisait en disant : « M. de Fermât est gascon; moi, je ne le suis pas ( ') ».

(') Cet article substantiel a été publié par P;mi1 Taniieiy dans la Grande EncycJoprdie Nous le compléterons par ces indications bibliograplii(pics :

Observations sur les mélhodes de maximis et ininimis, oii l'on fait voir l'identité et la dilîorence de celle de l'analyse des infiniment petits avec celle de MM. Fermai et Iludde, par Guisnée (Mémoires de Motliéinaliqucs et de Physique de l'académie des Sciences, tome .\, 1(166-1699 [ 1730 1; Histoire p. ji-55; Mémoires p. 7.4-ii. 1 pi).

L'influence de Fermai sur son siècle, relativement aux progrès de la haute Géométrie et du Calcul, 61 l'avanlage que les Mathématiques ont relire depuis el peuvent retirer encore de ses Ouvrages : discours qui a remporté le prix double à l'.Vcadémie de Toulouse en 1783, par l'abbé Genly.

Des manuscrits inédits de Fermât, par Guillaume Libri (Journal des savttnts. iSSg, p. 54o-5Ci; 1841, p- 267-279; 1845, p. 682-G94). Fermât, par Guillaume Libri (Revue des Deux Mondes, i845, p. 679-707). Précis des œuvres mathématiques de Fermât, par E. Brassinne, iu-S, 88 p., Tou- louse, i853.

Pierre Fermât, par Louis Taupiac (Biographie de Tarn-et-Caroune. p. 468- 'jij, Mon- tauban, 1860.)

Gallen .\rnoult. Polémique de Descartes et de Fermai durant les années i(j37 et i638 ( Mémoires de l'Acade'mie des Sciences, Inscriptions et Belles- Lettres de Toulouse, -' sé- rie, l. 11. 1870, p. 383).

ADDITIONS ET CORRECTIONS.

Ï'>:RMat.

3i

ADDITIONS ET CORRECTIONS. 243

ADDITIONS ET CORRECTIONS,

Tome I.

Page XI, note i. Ajouter . D'autre part, dans l'édition de lôig de la Geometria de Descartes, Sctiooten (Commentarii in Librurn II, p. 253) a appliqué la méthode de Fermât à la recherclic de la normale à la conchoïde :

« Beneficio Metliodi de Maximis et Minimis, cujus Author est Vir Claris- simiis P. de Fermât, in l'arlamento Tolosano Consiliarius, quam Herigo- nius in supplemenlo Cursus sui Matliematici exemplis aliquot illustravit atque ibidem eliam ad inveniendas tangentes adhibere docuit. »

» XVII, note 1 : Après le n" 74, ajouter 73.

» XXII, ligne 23. Ajouter en note : Ce manuscrit Arbogast-Boncompagni est actuelle- ment à la Bibliollièque Nationale de Paris (français nouv. acq. O862).

» xxvfi, ligne i r : Au lieu de 28, lire as bis [cf. T. II, xii].

» XXX, ligne 2 : Au lieu de 38, lire 3S bis.

>> XXX, ligne 17 : Au Heu de 28, lire 25 bis.

n 34, ligne 7 : Après latiludinem, lire rectum.

» 46, ligne 16 : Au lieu de quodlibet, lire quotlibet.

» 87, noie 1 : Le portefeuille 1848 I de la Collection Ashburnliam est aujourd'hui le ms. fr. Nouv. acq. 2339 de la Bibliothèque Nationale.

» 88, ligne 4 : Au lieu de varia, lire divcrso. Ms. fr 9556 Bibl. Nal., Paris.

» 89, ligne 3 : Au lieu de reliquœ, Wv^ rectœ Ms. 9556.

Pages 87-89 :

Loci ad très lineas demunstratio. — M. H. Brocard a trouvé de celte pièce une copie dans le ms. fr. 9556, f° 69. Cems. provient d'Antoine Lancelot, érudit (1675-1740), et les copies qu'il renferme paraissent dater du commencement du xvii' siècle. M. 11. Brocard, qui avait transmis une copie de cette pièce à Paul Tannery, nous communique les réflexions suivantes de Paul Tannery :

« Celte copie, qui contient plusieurs fautes, doit même avoir été directement faite sur la pièce qui m'a servi pour la publication et (;ui est actuellement dans le ms. fr. nouv. acq. 2339.

u Du moins il y a l'indice suivant ; à la place d'un mol manquant en lacune dans le 2339, j'ai restitué page 88 (voir noie 1) le mot vario : le n" 9556 porte diverse souligné, ce qui

2kk ŒUVKES DE FERMAT. — COMPLÉMENTS.

indique probaljlemenl que le mot est douteux. Or cliverso est la restitution naturelle qui m'était venue à respril et, si je l'ai écarté pour varia, c'est que la lacune est trop peu étendue pour dwerso. Je crois qu'il est suffisamment prouvé par là que la pièce AvLCjVid a été copiée sur l'original, où le mot était déjà illisible, ou bien sur la pièce du -li'ii).

» Si l'on lient compte des variantes (fausses leçons) que J'ai indiquées (OEiu'res de Fermât, l. I, p. 419), la coïncidence des textes des n'" 2339 et 9556 est si complète que la seconde hypothèse parait |)resque certaine.

» .le vous renvoie, suivant votre désir, la copie de M. Omonl. Mais je crois la question élucidée : d'ailleurs, je considère la pièce du iiSg comme une copie faite par Beaugrand (ou par ses soins) pour Carcavi sur l'original de Fermât.

» Je remarque que, cette pièce portant les lettres de figure en minuscules, j'ai imprimé U alors que d'après les habitudes du temps pour les majuscules, habitudes que je no connaissais pas encore bien, j'aurais dû imprimer V. »

Page i2'2, ligne 5': Au lieu de paraùotœ. Vue paraboles.

« l'iS, ligne 16 : Au Weu de Jamiiii'entarum, Wre inventarum jamjuncturuin (Corr. Je Huygcns, n° 848).

11 iî6, ligne 12 : Après ita, ajouter esse {Corr. de Huygens, n° 848).

» i3i : Un extrait fait à Paris, le 9 mai 1661, de ce Traité par Huygens porte la men- tion : Carcavius accepisse haecscribil 28 Marlii iGGo, autographum dédisse Marchioni de Sourdy.

» i44, ligne 7 : Au lion de residani, lire residuuin.

Pages 173-179, pièce IX : Leçons du ms. 7050, n" 460, de la Bibliothèque impériale de Vienne : Envoi par .M. Fermât à M. de la Chambre en février 1C62.

Page 173, ligne 0 : himinis (om/^).

Page 174, ligne 9 : tempus] rationom temporis.

» 175, ligue 7 : proposuit] proponit ligne li : pure] pêne.

» 176, ligne 4 : NV] NR ligne 12 : MN] NM ligne 17 : MNJ NM ligne 18 : lau- quam] tamquam ligne 20 : QuumJ cum.

« 177, lignes 14, 17 cl 18 : <sub> HN <in> NV] HNV.

11 178, ligne II : erit] ita erit ligne 12 : et vicissim ut .MN ail NO, ita erit NI ad NV {omis) ligne 24 : NR] M.

11 191, note I : PoggendorlT cite d'autres travaux de Fluygens publiés avant i(J6i.

» 214, ligne > : Au lieu de demonstrationes, lire deinonstrationcm.

» 232, ligne 2 : Au lieu de quo, lire quod .

Tome II.

Pages 116-125, pièce XXIV :

Ms. 7o5o, n" 452 de la Bibliothèque impériale île Vienne.

1, 1 M.] Monsieur .'> garant] garand 8 M ] Monsieur 3, 1 M.] Monsieur 5, 10 de haut en bas et de celle (|ui l'a fait aller [omis] 6, 6 ItlJ BJ BG] BI 10 faisoit] ne faisoit 7, 3 voici] voyez G a mis] avoit 9, -4 par exemple (omis) 8 un (omis).

ADDITIONS ET CORRECTIONS. 2W

Pago 121, ligne j; composé (omit) 10, 9 moiivoment (ootiV) 14 DJ B 11, 3 comme aupa- ravant place aprcs d'heure 4 saj la.

Page \-i>-, ligne 4 : conclurons] concluons ligne 14 : la ligne (omit à la fin de la ligne).

Page r23, ligne 17 : conclurez] concluerez. 15, 3 les liirnes] la ligne.

Page 176, noie i ; Au lieu de XXXIll, lire XXXll.

Page 193, au i' carré magique de 5 : 1 1, 24, 17, 10, 9 : Au lieu de 9, lire 3 (H. Brocard).

Pages 221-226, pièce XLVIH: Ms. 7049, II" 195 de la Bibliolliéque impériale de Vienne. 2, 10/11 seconds] premiers UijlS parenl/icse omise 4, 5 16] 18 5, 1 5J 1.

Page 224, ligne 6 : entiers [omis).

6, 1, 6] 2 4 à la somme des] aux S tout] total 7 est] vient 8 20] le petit posé 20 10 qui sera : 119, r2o, 169 (omit) 16 à l'infini] et ainsi à l'infini 7, 1 7] 3.

Page 225, ligne 10 : cettui] celui.

8, 1 8] 4 3 Pour les former] De les trouver 9, 1 9] 5 10, 1 10] 6 4 a et b] AB 7 et 10 seront] sont 11, 1, 1 1 ] 7.

Pages 221-226, pièce .XLVIII :

Ms. fr. Nouv. acq. 3252 de la Bibliothèque Nationale de Paris, Fol. 117. Fermât [Ecri- ture de Mersenne].

Page 222 :

2, 5 qui le composent] que l'on compose 7 12] double 11 qui sera par conséquent] qui est ainsi composé 14 sont] font.

3, 3 cette question] votre question se réduit] se résout.

Page 223, 3 que de tâtonner et l'ordre de la proposition] ([ue le taslonner et la démons- tration.

4, :2 sous] sur r> i5] 18 11 le] la 12 parce que] soit que 13 en] y approcher] app!i(|uer 20 approcher] appliquer.

5, 1 (jui se peuvent diviser en deux et subdiviser] qui se forment d'une avec (?) 2 et subdivisent 2 en 4.

Page 224 :

1 et ainsi tant] et aussi loin 1 des divisions] de division 2 commensurables] mesu- rables 4 se peut] on peut G entiers (omis) 8 soudre] faire.

Page 224 :

6, 2 lesquels] ceux-cy 3 un des termes] un d'eux trouvés 4 à la somme des] aux deux autres costés 5 fait le côié moindre] fait le moindre costé 7 je double 29, vient 58 cotéspetits 8 savoir 41 (otow) auquel] à quoi ajoustez le petit costé 20 9 deux (omw) 10 qui sera : 119, 120, 169 (omis) 11 se fait] se forme. 13 autres (omis) IG et de celui-cy on peut en tirer un autre et ainsi à l'infini 17 Mesme méthode pour trouver au triangle le dernier des moindres costés duquel 18 J'omets, etc. iomis) 7, 1 d'autres triangles.

Page 223 :

1 ainsi composé 4 la qualité requise 7 Et s'il n'a pas les qualités dernières reciuises par la précédente 10 après satisfera, ajouta en marge : à la proposée, car 3, 4, 5 ne

246 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

satisfait qu'à la précéiicnlc et non à cello-cy, le pi'Pinier, etc. 29, 20, 21 cctlui-ci] celui-cy 8, 3 former] faire 11 seront] sont 9, 2 et un plus.

Page 226 :

10, 7. seront] sont 8Carsi]quesi leslla 12, 1 en toute progression] en tonte liypo- itièse 2 les puissances] la puissance.

Page 332, ligne 7-10 : On trouve dans VVallis {Jlgebra, 418) les leçons suivantes : numerica au lieu de mal/iematica; insoluhilia au lieu de indissoluhilia. Au lieu de Régis Consiliario... il y a in suprema Tolosatuin Curia Senatore; enfin Parisios est omis. Boreel, d'après Wailis (Ib.) aurait tout d'abord communiqué ces questions à Frenicle en lui écrivant : « Monsieur de Fermât a voulu écriie ces questions qu'il n'a encore propo- sées à personne et vous êtes par ainsi le premier qui les pourra proposer ù tous les mathématiciens de Paris, d'Hollande, d'Angleterre, etc. «

Pages 3S4-359, pièce LXXXVI : Ms. 7o5o, n" 451 de la Biljiiolhèque impériale de Vienne.

I Le paragraphe est omis.

Page 355 :

14-15 parent/lèse omise 19 cela] de là 21 ce cas] cela trouvent] trouveront 2.'i qu'elle pratique] qu'elles pratiquent 31 m'étendrai] m'attendrai.

Page 356 :

5 Après préparés, ajouter : L'illustre M. Hobbes en a fourni depuis peu un fameux exemple en nous donnant une géométrie que le raisonnement tiré des mouvemens com- posés a rendu méconnaissable à tous les géomètres.

Page 357 :

6 et 8 fuit] fait 13-16 du rayon ... au passage (omis) 17 espaces] espèces 20 par la ligne CB, soit à la résistance au passage du rayon par la ligne (omis) 29 ajouter après CB : sera à la résistance par BA comme la ligne BC.

Page 358 :

II jointes (omii) 19-20 ou bien que . . . pareillement prises (omis) 31 sa] la

Page 359 :

7 autre (omis) 11 insi)iré] infirmé 15 par l'intérêt] pour votre intérêt que vous y avez (omis) 18 et très affectionné (omis).

Pages 365-367, pièce XC : Ms. 7o5o, n" 453 de la Bibliothèque impériale de Vienne.

Page 365, 9 M.] Monsieur 13 hais] hay.

Page 366, 14, 18 M.] Monsieur 23 (lieu et date omis).

Page 367, 4 < lettre >] lettre.

Pages 367-374, pièce XC bis :

Ms. 7o5o, n" 454 de la Bibliothèque impériale de Vienne. 1, 2 M. ] Monsieur.

Page 368, 1 différend] différent 2 et 10 M.] .Monsieur 3, 6 terre] toile.

Page 371 :

7-8 comme . . . reste (entre parenthèses) 9 tout y] tout 26 temps] à temps 27 et 30 M.] Monsieur 5, 1 guet-apens] guet a pan.

ADDITIONS ET CORRECTIONS. -Ikl

Page3-:5, 18 M.] Monsieur.

Page 371, "2 et 7 M.] Monsieur 8 ma iogiciiie] et ma logique 11 ayez] aurez.

Pages SSa-Sgo, picee XCIII ; Ms. /oio, 11" 455 de la Bibliollièque impériale do Vienne. Réponse de M. Clerselier ù la ditte lettre A Paris, le i5 mai i6J8.

Page 383, IG M.] M' 18 M. ] Monsieur 30 M.] M'.

4, 3 M.] Monsieur 0 M.] M' 22 changer ou] rien 21 M.] M' 25 au point B (omis) 26-27 en ce point-là {omis} 27 auparavant (omis) 32 ce côté (omis).

Page 386, l-3co . . . accorder (pare.ntlièses omises) 3M.] Monsieur -Ide temps] du temps.

5, 1 raisonnement] faux raisonnement 4 et 5 .M.] Monsieur.

Page 387, 13-14 car . . . toile(^rt/M parc/ii/iése) li pour faire (omis).

23-25 oii elle visoit ... qu'elle eût fait remplacé par : droit à laquelle le toile n'est aucunement opposé en ce sens là et laciuelle se doit et se peu accouimodor la vitesse qui reste en la balle (car autrement la balle rejalliroit au lieu de pénétrer pour faire en sort que sans déroger à la perle qu'elle a souflcrt et qu'allant moins vite elle ne laisse pas d'avancer autans vers le côté droit qu'elle eut fait.

26 après vitesse, addition : Mais peut-on dire la mémo chose de la détermination d'une balle, que l'on suppose tomber perpendiculairement sur la même toile à savoir que la superficie sur laquelle elle tombe ne lui est aucunement opposée en ce sens là et qu'en perdant la moitié de sa vitesse, il ne perd rien du tout de la quantité de la détermination qu'elle avoit à avancer vers le côté où elle visoit et que la vitesse qui lui reste se doit et se peut accommoder avec cette détermination, pour la faire avancer en un tem[)s égal sur la même route autant qu'elle eut fait, si elle n'eut rien perdu de sa vitesse.

6, 1 du raisonnement (omit) 2 \ient] revient.

Page 388 :

5, Il .M.] Monsieur 15 il dit] il a dit 29 que sa vitesse a reçue en B, et selon le rap- port {omLi ).

7, 3 Révérend père] R. P. 5 M.] Monsieur 14 Père] P. 14, 15, lit M.] Monsieur 19 autrefois contesté] contesté autrefois 20 dites vous] disio.

Page 390, 8 j'ai] ai 20 entièrement ( omis) 24 lieu et date (omis).

Pages 391-396, pièce XGIV : Ms. 7o5o, n" 456 de la Bibliothèque impériale de Vienne.

Page Sgr, 6 par M. Uohault] du i5 May i65H par M. llohault.

3, 21 plus ou (omis) 22 en cette troisième façon] dans cette troisième façon.

5, 3 de l'exemple (omis) 8 [étoit] garnis) 9 [en cela] (omis) Il que la première, de même que dix écus sont une autre (omis). •

6, 2 comme (omis) 5 dit-il (entre parent/icscs ) 7, 2 ici (omis) 8, 2 môme (omis) 14, 2 sa] la.

Page 396, 4 sa] la 16, tiendrai] tendrai.

Pages 397-402, pièce XCV :

Ms. 7i>5o, n° 457 do la Bibliothèciuc impériale do Vienne.

Copie de la lettre que M. do Fermât a écrite de Toulouse le 2 juin iG58, à M. Clerse- lier, en réponse de la sienne du 1 j may i658.

Page 397, 1, (i M.] M' 8 sa] la 2, 11-12 on] dans.

'2i8 ŒUVRES DE FERMAT. - COMPLEMENTS.

Page 398, "26 .M.] M' 3, I sa] la.

Page 399. 4 M.] Monsieur I:î balle] balle AB 16 Car celle supposition esl possible {entre parenthèses) 17-18 comme ... Yean {sans parenthèses).

Page 400 :

2 M.] Monsieur 18 AC] à AC 21 ce poinl peut être désigné par la lettre 0 (entre parenthèses).

Page 401, 5, 8 M.] Monsieur 7 vouliez] vouliez 4, 10, CB] CE 1 1 vers la droite (omi'.f). Page 4o')6M.] Monsieur.

Pages 408-411, pièce XCVII :

Ms. 7050, n° 458 de la Bibliothèque impériale de Vienne.

Copie d'une seconde lellre que Monsieur de Kermat a écrit de Toulouse à M. Clerselier le lO juin i6J8. Envoie en rcf)onse do la sienne du i5 May ifnS.

Monsieur ("«»>) 2, 2 laisse |)as de('W!(.t) à angles] pas moins ii angles 4[vue] (om/i) 10 la balle étant au point B se réllécliil] so rélléchit la balle étant au poinl H.

Page 4 r I, 7-8 ce que ... se rédécliit (entre parenthèses).

Pages 4i4-4'9t pièce XCIX :

Ms. 7o5o, n° 459 de la llibliolhèque imi)6riale de Vienne.

A Paris, le 21 août i658.

Copie de la lettre écrite par M. Clerselier à M'^ de Fermât, en ré[)onse des siennes des 2 el 16 juin iCJS.

2, 1 tous trois] loutefois ;{ veulejit] voient 4,8 dA vers B] vers AB (entre paren- thèses) 12 D] BD 13 mais qui ne s'oppose point h sa vitesse, sont incompatibles] sont incompatibles, mais qui ne s'ojipose point à sa vitesse.

7, 7-11 mais ... perdre! (entre parenthèses).

Page 421, 8 renoonlre] rencontre un 22 [suivant| (omit) 23 [el y arrivcroil] (omis).

Page 422, 7 gDK] GDK BUG] BOL 10, ri à droite] à la droite.

Page 424, 0 [do réflexion] (omis) 12 ni (omis).

Page 425, 5 [CBE] (omis). U suivant] selon 14, 5 laisse] reste 7 [vue] (omis).

Page 428, 10-11 pourvu que ... en cela (entre parenthèses) 16, 12 visibles] légères. 17, 1-2 qu'a faites ici M. Petit (soulignés) 3 M.] Monsieur.

Page 454, noie i : Au lieu de p. 27, lire p. 87.

Pages 457-4<i3, pièce CXIl : Ms. 7o5o, n" 4<Ji de la Bibliothèque impériale de Vienne. A Toulouse, le i de l'an 1662, à M. de la Clianibrc.

1, 7 n'a jiimais démontré son \'innc\\te ( soulignés ) car outre) qu'outre 10 durs] denses apparemment] a|iparamnient 13 lettres à M. Descaries (soulignés) H écrites, à M. Cler- selier (.ïo«//);/;éf) M.] Monsieur.

2, 9 M.] Monsieur 10 trouver] découvrir 12 commun et si établi (soulignés).

Page 459, 2 0 est moindre que celui qui les conduit de 0 en G (soulignés).

15 de C(J, jointe à la totale contient plus (soulignés) 16 CF jointe à la totale (soulignés) 18 la mesure du temps de ces deux mouvements (soulignés).

4, ,S fqu] 'il] il.

Page 461, 16 [de] (omis).

ADDITIONS ET CORRECTIONS. 2W

Pages 462, 7 crois] voy 8-10 M.] Monsieur.

6, 6 rendre] rendre à lui 8 M.] Monsieur 9 les merveilles que M. Descartes a fait espérer avec raison de ses lunettes {soulignés).

Page 463 :

8 [et] (omis) 17 à mesure que les milieux changent. Car cette facilité ou celle résis- tance étant plus ou moins grande (omis) -![ lomber] toutes 24 tout] fort.

Tome III.

Page 49 : Le traité des contacts sphériques a été traduit par HacUelie (Journal de l'École Polytechnique, l. II, 7* et 8= cahiers, 1812, p. 279) [H. Brocaro].

» 3ii, ligue 6 remonlant : Au lieu de cube, lire carré.

» 428, ligne 8 remonlanl : Au lieu de cuhe, lire carré.

Pages 433 et suiv.. Fermai n'a pas su comprendre celle idée de VVallis, aussi simple qu'ingénieuse, d'atlribuer des valeurs non entières à la variable d'une formule trouvée el habituellemenl utilisée pour des nombres entiers, dans l'espèce, la formule des nombres figurés ('), idée qui devait ouvrir tant de vues nouvelles sur les propriétés de l'infini, et même trouver son utilisation dans la théorie des nombres (').

De même, la découverte, par Fermai, de la célèbre équation ,1- — ay^ = r, laquelle, bien que dans un champ en apparence plus restreint, n'en est pas moins remarquable, fui méconnue par Wallis, qui crut l'avoir entièrement résolue (*) en indiquant comment une solution pouvait en amener une infinité d'antres, puis en fournissant le moyen d'arri- ver à une solution, et en donnant diverses abréviations que Lagrangc a montrées illusoires. Il manquait à ces procédés la certitude qu'on doit ainsi arriver à une solution, que cette solution sera entière et celle qui demande les plus petits nombres; eniin que de celte so- lution primordiale se tirent toutes les autres : c'est ce qu'a démontré Lagrange de la façon la plus heureuse, en môme temps qu'il signalait la haute importance de l'équation de Fermât.

Toutefois, il faut reconnaître que Wallis a donné la marche à suivre, el imaginé dans ce but la décomposition des racines carrées en fractions continues.

La différence des génies de Fermât et de Wallis se reconnaît dans ces deux produc- tions : celui-ci, tout algébrique, se plaît tellement au milieu des symboles, qu'il oublie ou croit inutile de démontrer les théorèmes qu'il a découverts, d'autant plus que le fil de l'induction ne l'a jamais trompé, même dans ses conceptions les plus hasardées. Fermât, au contraire, arithméticien pur, dédaigne le symbolisme machinal de l'Algèbre ; et, habitué aux pièges qu'il trouve à chaque pas dans ses recherches numériques, il marche prudemment, de déduction en déduction, de manière à présenter non seulement des résultats exacts, mais encore des méthodes sûres.

De même, la quadrature des paraboles, traitée au moyen de la simple induction par Wallis, l'a été par Fermai de deux ou même peut-être trois manières différentes. Aussi

(') Stirling et Euler ont étudié de même les expressions 11^ (série harmonique), x I, C„ ^, etc., où X est fractiounaire. De là aussi, dans un autre ordre d'idées, los expressions e*, e" .

(^) Par exemple, les formes énumérant les nombres premiers jusqu'à une limite donnée.

(■') Voir t. III. p. '^ii, 4^7i 464, 479, 49", la traduction de la inéthode de Wallis, reproduite dans son Algèbre et dans le t. II de ses Opéra.

Iermat. — IV. 32

250 ŒUVRES DE FERMAT. — COMPLEMENTS.

Wallis n'éprouve-l- Il aucune difficulté à généraliser la formule

/

n + i

en l'élendanl à des exposants quelconques et à des polynômes de la forme ( Xx" -^ HxP -i- . . .)cLc : tandis que Fermât se contente des généralisations dont il peut prouver la légitimité. [ A. Aubry.]

Page 577, ligne i : Au lieu de XXVIII, lire XXXVIII.

Tome IV.

Pages 39-47 : M. Ch. Adam a publié la lettre de Desargues à Mersenne (Œuvres de J)escartes, t. XI, 1909. Errata pages ii-vtii). Il imprime z où nous avons à tort par- fois imprimé s dans les terminaisons des pluriels et lit drete au lieu de droite.

Page 4o> ligne 3 : supérieure au lieu de supra.

n il, ligne 2 : Intercaler « dernière » entre « cette » et «façon ».

Pages 55 et 59. Descarles parait avoir, probablement par suite d'une lecture trop hâtive, mal saisi une question, qu'avait envoyée Fermai ù Mersenne. Selon toute vraisemblance. Fermât demandait de démontrer les théorèmes relatifs à la décomposition en carrés des nombres premiers des formes 4-1^-+- ' et Sx-hi. Descarles et Gillot ont cru qu'il s'agissnit simplement de démontrer l'impossibilité, pour les nombres de forme 4.C — 1, d'être des sommes de deux carrés, et le théorème analogue pour les nombres 8.r— i, impossibilités déjà connues des Anciens, comme on le voit chez Théon de Smyrne. f A. Aubry. j

Pages 66-67. L'un des nombres 9363584, 4363 584 (fin des articles 1 et 2) est faux, probablement le second. [A. Aubry.]

Page 67. La suite du n° 2 se trouve reproduite dans les Recherches de M. Cli. Henry, pages 5o-5i. On y voit la première mention des nombres dits de Mersenne, c'est-à-dire des nombres de la forme 2" — i, lesquels, jusqu'à n =; 257, sont premiers, affirme-t-il, |iour n = I, 2, 3, 4, 8, 10, 12, 29, 61, 67, 127, 257, ce qui est à peu près prouvé aujourd'hui. Cette proposition semble due à Frénicle, qui le premier s'est occupé de la recherche des nombres parfaits de degrés élevés (voir t. II, p. i85 et 194).

Les nombres sous-lriples et sous-quadruples donnés dans ce même n° 2 sont dus à Descartes (voir Lettres de Descartes, t. II, p. 388, ou Œuvres de Descartes, t. Il, p. 247).

[A. Aubry.]

Page 73, fin du renvoi. Il y aurait lieu d'ajouter : voir Cavalieri, Exercitationes Geometricœ, pages 3i4 et suivantes. Celte expression àe fuseau est due à Kepler (Sterco- metria Doliorum).

Page 76, fin de la page. Pour la méthode de Beaugrand, ou plutôt envoyée par lui, voir les Exercitationes Geometricœ de Cavalieri, pages 283-296 ; ou, si l'on veut, l'Histoire des Sciences mathématiques, de Marie, Tome IV, page 85, ou le Tome II, page 771 de la Geschichte de M. Cantor.

Mersenne fait allusion, dans ses Cogitata (Phœnomena mechanica, Prœfatio), à cette

ADDITIONS ET CORRECTIONS. 251

question de Cavalier! et donne la quadrature, la tangente, le centre de gravité des para- boles quelconques, ainsi que la cubature des connides qu'elles produisent par leur révolu- tion. D'après une Note des errata, c'est Roberval qui lui aurait communiqué ces résul- tats; il y a lieu de remarquer que Descartes les lui avait également fait connaître, dans la lettre citée plus haut. [A. Aubrï.]

Page 80, ligne i3 : Au lieu de quidquein, lire quidquam.

» 80, ligne 17 : Au lieu de ininucunduin, lire iniucuiidunt.

Page 84. Dans une des préfaces des Cngitata {Pliœnomena liydraulica), Mersenne, après avoir parlé de sa solution du nombre de Platon, indique le nombre 5o4o comme ayant 59 diviseurs, dont la somme est 29344. Il ajoute que le nombre 3779 i36oooooo a mille diviseurs, et que le plus petit nombre ayant cent un diviseurs est 1267650600228229404 196703205376, d'où il tire la manière de déterminer le plus petit nombre ayant un million de diviseurs. Ces résultats sont dus à Fermât, ce que ne men- tionnent pas les Cogitata.

On voit que la question du nombre et de la somme des diviseurs des nombres était déjà posée et résolue, ainsi que la question inverse de la détermination des nombres ayant un nombre donné de diviseurs. Descartes connaissait également la formule

fiab)= f(a)J{b)

relative aux sommes des diviseurs et fondamentale dans celte théorie (voir Cii. Henry, Recherches, p. 189).

Schooteii (Exercitaliories mathemaucœ, Leyde, 1657) donne la liste des plus petits nombres ayant respectivement i, 2, 3, 4, • • ., 100 diviseurs : il tenait probablement sa théorie des géomètres français. r^. Aubrv.1

Page 1 19, note (2) : Les problèmes en question, qui étaient au nombre de deux d'après la lettre de Carcavy à Huygens du 20 mai iG5G, dont nous ne publions qu'un fragment, étaient sans doute, si l'on se réfère à la lettre de Mylon à Huygens du i5 avril 1(556 (p. 118) : trouver un carré qui ajouté à ses parties aliquotes fasse un carré et trouver un carré dont les parties aliquotes fassent un carré.

Pages i5i-i52. Sur loriginecle Ut versiern. Roberval a imaginé une transformation des courbes, qui revient à poser

d'où

\d\ =y dx.

La quadrature de la courbe transformée se ramène ainsi immédiatement à celle de la courbe proposée. Aussi Roberval l'appelait la quadratrix Aa la première, nom queTorricelli a changé en celui de linea robervalliana.

Il est aisé de voir que la robervallienne du cercle est une affine de la versiera, et cependant Roberval ne signale- pas celte application, pourtant bien naturelle, de son théorème.

Dans son livre Quadratura circuli (Toulouse i65i) où l'on trouve les premières notions de géométrie infinitésimale, Lalouvère généralise la méthode par laquelle Archimède a découvert la quadrature de la parabole. La distance g du centre de gravité d'une aire

252 ŒUVRES DE FERM\T. - COMPLÉMENTS.

plane se détermine à l'aide d'un calcul qu'on représenterait aujourd'hui par l;i formule

g j jdx= I xfiix,

de sorte que la transformée X = ^, Y = .rj, définie par sa quadrature A = / YrfY, donne la relation de la quadrature de la courbe proposée et de son centre de gravité. Il appelle également quadrairix cette transformée : la quadratrix du cercle / = /' — ''^ est le huit Y2 = X- — X*, déjà remarqué par G. de Saint-Vincent.

Probablement que peu après Lalouvère aura trouvé la transformée Y = — ^ — - du

cercle ) = \/i — .<'-, laquelle est une versiera.

11 est vraisemblable que Fermât aura été sollicité par Lalouvère de quarrer ces deux courbes et que c'est ee dernier qu'il désigne par les mots « érudii géomètre u (l. I, p. 281, et t. III, p. 234). Toujours est-il que Lalouvère donne dans son De Cydoide (Toulouse 16C0) la définition géométrique de la versiera, qu'il appelle locus asymptolicus. On sait que c'est à la suite de ce dernier Ouvrage que Fermât a publié son De lin. curi\ cum redis comp., qui semble avoir éié écrit par suite de la découverte, alors récente, de la rectification de la semi-cubique, par Neil et Van Heuraet. Le De JEq. Inc. transm. est la suite du précédent traité qui y est du reste rappelé (I. I, p. -.{(iî et «Si ; t. III, p. 222 et 2I4); il a été certainement écrit après 1657, date de publication des Ex. mutli. de Schooten, qui s'y trouve cité (t. I, p- 276; t. III, p- 23i); et les découvertes qu'il contient pourraient bien avoir été provoquées par la demande de Lalouvère, car nulle part auparavant. Fermai ne fait allusion à cet important perfectionnement des quadra- tures analytiques des courbes (t. I, p. 2C6; t. III, p. 224).

On terminera l'histoire de la versiera en rappelant d'abord que James Gregory (Gcom. pars unii.'., Padoue, 1668) l'a donnée comme application au cercle de la transformation de Roberval, retrouvée par lui, en montrant que la quadrature de la versiera se ramène ainsi à celle du cercle; et qu'ensuite Ozanam et Leibniz en ont déduit la relation

\d\ = -^^. = 2rfX - 2X'rfX -h aX'dX - . . ., I -t-.X'

d'où la célèbre série de Leibniz représentant la valeur du nombre it.

|A. Aiiiinv.]

l'ages 1 53- 154. A propos de cet article, volontairement sans doute incomplet et déjà ancien de M. Mansion, on doit observer que Legendre a seulement ébauché la démon- stration du dernier Ihôorème de Fermât dans le cas de « = 5 (la démonstration rigoureuse étant due à Lejeune Diiichlel) ; le même Legendre (Théorie des nombres, 1' supplé- ment, 1816) a montré que si l'égalité r" -(-/" = ;" est possible, elle ne jieui être vérifiée que pour de très grands nombres; il s'appuie sur ce théorème insuffisanunent démontré de Sophie Germain : si x'^-^y" = z", l'un au moins des trois nombres .»■, y, z est mul- tiple de //.

Euler proposait de substituer à l'énoncé de Fermât celui-ci : pour n > >, x" ne peut être égal à une somme de moins de n puissances n'""". •

Pages 155, i58 et 162. Les Mémoires de S. Realis, de T. Pépin et de L. Schlesinger n'ont que des rapports lointains avec le théorème de Fermât; en raison de leur intérêt, nous les avons groupés sous celte rubrique.

ADDITIONS ET COHRECTIONS. 253

Page 166. l.e BuUeiin de lu Lil)rairie Gauililer-Villars, ujii, V iriniestre, meniioiine : E. LussAN, Kssai de déinonstralion généride du théorème de Fermât ( c" H- > " ^ ;" ) /; > 2.

Pa'je i«2. Le Poggendorff (l. IV, page i6ï.i) cite de G. Weriheim ces deux travaux : Schlômilcli, Zeitschr. Math. : Schliissaiifg. in Diophanl's Schrift ijl>er l'ulygonalzahlen

6 p. (W, 1897). — PieiTo Fei-mal's Sireit mil John Wallis, zuiGeschiclile der Zalilentheorie,

■21 p. (ii Siippi. 1S99).

Pages 201 et 208. La formule de H. Le Lasseur est due en réalité à Euler (Correspon- dance math, et plijrs., tome L p. i4i, lettre à Goldbach); Euler n'en indique d'ailleurs aucune ap[)lication.

Pages 2o3 et 204, lire « facteurs complexes « au lieu de « facteurs composés ».

Page 204. La Note citée de .1. ('.. Morehead sur les facteurs des nombres de Fermai et une nouvelle Note du même et do A. E. Western, communiquée à la même Société le 9 avril 1909, traduites par Fitz Patrick, ont paru au Sphin.i: Œdipe de M. A. Gérardin, Nancy, 191 r, pages /l'J-^S.

Pages 2o')-207. Le P. Pépin a traité par la difficulté la jolie question de Frenicle (t. II, p. 229). Il est peu probable que Frenicle ait procédé ainsi. 11 s'agit de trouver deux triangles

F-^ + (-,2, p _,;2, .,,FG el /^ +g\ f^ - ^^, -ifg,

dont les dcu.v grands côtés de chacun différent autant que les deux petits de l'autre. On ppul supposer le triangle primitif, ce qui veut dire que les côtés sont des nombres premiers entre eux. Aucune des plus petites cathètes n'est paire, car on aurait dans ce cas

2G-^ = (F-^ + G-^) -(F^ -G') = rb [(/^_..5)_ (2/^.)] :

./ el g seraient donc de même parité et les côtés f^ -\- g^ , fi — g-, i/g seraient tous pairs, contre l'hypothèse. Il faut donc écrire

(F2-HG-^)-(-.FG) = (2/i.)-(/^--2) et 2FG-K---HG2 =/2 + o-i_.^/^,

d'où, en additionnant et réduisant,

G =g, d'où ( F + f)i — ■>. F/ = 2 (i ( F -+-/) ;

ainsi F/ est divisible par F -t-/. Soil/= OF, il viendra

F/ /■

= 0y,

F -hf I) d'où successivement

F = Y(ft+i), f='!<i(D -h i\, G=g = "-^(6»+ I),

Y et 0 pouvant être fractionnaires, pourvu que 7O soit entier. L'application 0 = y donne les triangles 1(19, i>o, 119 el 61, Oo, 11, de F'renicle.

[A. Al'Brï.] Page 224, ligne G, lire " .■/u.isi « au lieu de " .Vm»7 ».

a ligne 19, lire « maximum » au lieu de » ma.zimun ».

TABLES DES MATIÈRES ET DES AUTEURS CITÉS

DANS LES TOMES I a IV.

INDEX. DES MAÏIÉKES. 257

TABLES DKS MATIÈKKS ET DES AUTEURS CITÉS

DANS LES TOMES I a IV.

INDEX DES MATIÈRES.

Accords (musiciiux'). II, 4-

Adégalite (égalité à la liinilc). 11, iSy.

ADÉQUArio>- (éfîalisalion), II, i5").

Analogies i>k Neper, IV. 74.

Analyse ini)éter.>iinée, I, ^Sg el suiv.: H, 434; IV, 220. Voir Carrés, Cubes,

Décomposition, Equations, Fermât, Nombres, TniANfiLEs rect.ingles, elc. Anastrophe (de Vièie), I, 147. AniîLe de direction, II, 7G. Angles ini;réi)Ients, II, 280. Antiris, IV, 1.3.

.Apagogiquës (démonstrations), III, 439. Apotome, 11, 62.

AsY-MÉTRiEs (radicaux), I, i84; II, 161, 178, 282, 284; IV, i45. Asymptotes, I, 147.

Attraction (fonction de la distance). II, 4o. Axiomes de statique, il, 76 el suiv.

Barlong (lélragone). 11, 63. Binôme (coefficients du), II, 70.

Calcul (des probabilités). II, 3i2, 3io et suiv.; IV, 120. Voir Parti, Règle

des PAIITIëS.

Canal des deux mers, IV, 135.

Carrés égaux a des polynômes, III, 876 el suiv.

Carrés manques, II, i83, 190 el suiv.; IV, 186-190.

Fehmat. — IV. 33

258 (EUVRES DE FERMAT. - TABLES.

CeNTiNOMiF.s (polynômes), II, 17S.

<',KNTRF.s i)F. (iiuviTf:, I, (36, 167, igf»; 11, 25, 166; 1\ , 3-io, 77, 107.

» Kl! l'ARABOLOiUE, 11, à.*).

("iRCONFÉRENCEs (licux géomélri(]ups ) , 1, 3i, 33, 37, 48.

(jssoïDE, I, i')9, 280-288; IV, l32, 23o.

("iLAVicri-E (de Salonioii ?), il, iSi.

(".i.iMATisMF. (de Viéte). I. '^^^

Coefficients vv ihnome, II, 70.

r.oi.ONNE (produit par n du polygone de côlé n), I, 3/|i.

Comparaison des spirales et des i'araboi.fs, 1, 208, 209.

('oMI'OSITMlJi des forces. II, 86, 123, ^|8l. ("ONE IIVSC.KIT DANS L\ SIMlftllK, II, 56.

(^ONeiioïDE (du cercle). 11, ()4 ; lH, j83 et suiv.

CoNOiDES, 1, 112; IV, 127, 128.

Construction des cercles tangents, 11, 3 1 6-3 18.

» DE LA PARABOLE (par 4 poiiils doniiés), 1, 8^-87.

» DES PIIOBI.ÈMES PAR LES COliRBES, 1, 120 el SUiV.

» DES PROBLÈMES CUBIQUES ET BIQI'AIIRATIQIIES, ], 107.

» DU QUADRILATÈRE DE ROBERVAL, II, 17/).

» DE LA SPHÈRE (pap f] poliils doniips), I, 02 el sniv.

» DES TANC.ENTKS DES l.lliNES COI BBES, I, lof\.

Contacts spiiériques, I, 52-70; IV, io8. Correspondance des figures, I, 10, 11, 12 et suiv. (jOrps pesants sur in arc de cercle. 11, 33, 46, 52. (>ouRBE DE IhocLEs, 11, 454; IV, l32, i34, 23o.

» DE ROBERVAL, I, 162.

CUBATURE DU PARABOLOÏDE, II, 55.

)) DU TRONC DE CONE, II, 407.

(]UBES ÉGAUX A DES POLYNOMES, III, 386.

Cvclo-cylindriques (courljes), 1, 209-210, (^.vcLOïDE, I, 2o3; II, 445; IV, 128. Voir Roulette. Cylindre inscrit dans la sphère, 1, 167-169; 11, 56.

Décomposition d'un rapport en un produit de K rapports de même forme. 1, 397;

IV, 182-18',. Décomposition des nombres de diverses formes, H, 65 el suiv., 332-335, f\02;

III, 417. 423, 428, 457, 5o2, 53o, 537, 555; IV, 121, 122, i23. i3S-i4o, 210, '31. Décomposition d'u.ne puissance en deux puissances semblables, I, 291; IV, 1 52- 168.

INDEX DES MATIEHES. 259

Décomposition uf.s cbaniis nombres, II, 2.">5; iV, 208-209.

" DES NOMBKES l'OLYliONES KN .NOMBRES SEMBLABLES, I, So").

Défi aux mathéyiaticiens, II, 332, 334 el suiv.

DEtiRfis DES i:oiRBES, I, i2i; IV, 128, 129. i3o, i3i.

Détkrminuio.n (direcUoii de la vitesse) et force, II, 1 17.

Diérèse, I, aliy.

Dioftrique. I, 173, II, 107 el suiv., 391 el suiv., 42.5 el suiv. Voir Défraction.

Diviseurs d'un xombre, II, 211-212.

Doubles équaiio.ns (solutions des), 111, 328, 33o.

ÉyiATioNs (doubles el triples), I, 334; IH, 328, 36o. Élimination (mélliode d'), I, 180, i84, i85 el suiv.

» DES RADICAUX, II, 285; IV, Il3-ll.i.

Ellipses (« question » des), II, 216. Equations bi.nomes, I, i3o.

» CUBIQUES ET BI-QUADRATIQUBS, I, I o4 .

» RÉDUCTIBLES. I, l3o.

Equilibre du levier, II, 8, 25.

» A LA SURFACE DE LA TEHBE, II, 34.

Equipo.ndérants, II, i8.

Fermât (proposition connue sous le nom de théorème de), II, 209; IV,

191-200. Fermai (principaux iliéorèines et problèmes aritbinéliques de), I. 291, SaS,

341, 397; II, 21, 72, 188, 2o5, 206, 23i, 3.56, 335, 43i-434; IV, 88, 121, 23i. Figures isopérimètres. II, 56, 83.

FOLIUM DE DeSCARIES. I, 276; II, l5l.

Folk m; sa quadrature, I, 276; sa tanuente, H, 161; IV, i4'.

FUSEUX HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE, I\', 73. 77.

(ialand (voir FoLiuw).

(iÊosTATiQUE (proposition), 11,6-9, 17-20; IV, io3, lo.î.

Hélices, II, .">, i3, 85. Hélice (de Haliani), I, 73, 4'7. Hélice ou spirale, 1, 207. Hexagramme (de Pascal) (?), II, 3î8.

HOMOTHÉTIE, I, l3.

260 ŒUVRES DE FERMAT. - TABLES.

HvPEKBOr.E, SA ylADRATllKE. II, 347-348; IV, 2 1I-2I-Î. HïlT.RBOLES IM^INIES, III, 4o5 Cl SUiv., 426, 442, 582; IV, 89.

Insertion de moye.nnks i-roportionnelles emre deux données, 1, 128.

l.>TÊIiRATION l'AR l'ARTlES, I, 27 I.

n l'AR CIIANC.KMENT DK VARIABLES, I, 27 I Cl SUIV.

Iris, IV, .3.

Jeu de dés, II, 288.

Levier ciRviEHiNE, II, 44 t't suiv.

Lieu a trois droiiks, I, 88.

Lieux plans, I, 4-5 1, 93 et suiv.; Il, 100; IV, 83, 90, 93, 1 16, 1 17, 124.

1) solides, 1, 102, io3.

» EN surface, I, Il i-i 17; II, 174, "78; IV, 1 10. Ligne admirable (île Ménéiaus), II, i3, i5. LiCNE DE DIRECTION (de la puissance), II, 76. Ligne dhoite (lieu géométrique), I, 24, 27, 3i, 93. Loi de la chute des corps, 11, 268 et suiv. » DE LA réfraction, 1, 173.

Maxijia et MiMsiA, I, i34 61 suiv.; 11, 6, 127 et suiv.

Maximum des volumes, 1, i4o, 149.

Mécanique (ihéorèmes de), II, 23.

Mésolabe (problème du ), 1, 110.

Méthode de maximis et minimis, 1, 133-179; II, 154-162; IV, 25-64, 85-86, 89, 91.

97. 99, 102, io5 et suiv., 124, 143-145, 222-227. Méthode des tangentes, I, i34; H, i54; IV, i44-'45, 222-227. Méthode topique de Fermât, 11, 171.

» DE LA descente INFINIE OU INDÉFINIE, II, 43i; IV, 2I7-218.

Moyennes proportionnelles, 1, io5; 11, 29, Multisection de l'angle, 1, 190. Musique grecque, I, 395 et suiv.

Nombres abondants, III, 404-

» ALIQUOTAIRES, II, 187; IV, 65, 84, 1 17.

■> AMIABLES, II, 21, 72; IV^ 66, 67, 68, |85.

» DÉFICIENTS, III, 4o4.

INDEX DES MATIEHES. 261

Nombres négatifs, 1, SSg.

» PAHFAITS, H, ig/i; 111, 4o4.

i> F'LANÉTAIRK.S, 11, ig^.

» l'I.ANS SEMBLABLES, II, 3o.

» POLYGONES, 1, 341 ; II, 84, 23o: IV, 180-182.

» PItKMIERS, 1, l3l ; 11, 176, 2o4, .iOÔ, 206, 432; IV, 201-202, 2>i2-205, ',18-220.

» sommes l)e trois carres, ii, 29, 58.

Ovale ue Fermât, 11, 172.

Parabole cubique, II, -3.

" semi-cubiqi;e, I, 218.

Paraboles conjuguées, I, 243 et siiiv.

» DE DEGRÉS quelconques, IV, "5, 89.

Parti des dés. II, 290.

Parti des parties, II, 290.

Parties aliquotes. II, 20, 72, i65; III. 4o4, 546, 55i, 5()5 ; IV, 65-68, 69-70,

83-84, I 17, i4o. Pesanteur, II, 36; lll, 421. Plans inclinés. II, 35; 1\', loS. Pleure, II, 63. Poids et force, II, 27. Point d'appension, II, 76.

Polynômes égaux a des carrés et a des cubes, III, 376 el siiiv. PoRisMKS, 1, 70-84; II, 4o6; lll, 3i7-3i8; IV, 213-217. Principe géostatique, II, 36, 4' : IV, 184.

Principe ue la moindre action, I, 173; II, 356, 458; IV, i33, 146-147. Problème d'Adrien Domain, 1, 189.

» DES contingentes (tangentes), II, 128, i3j ; IV, 26 ei suiv.

» DE DiOPIlANTE, 1, 294.

» d'Etienne Pascal, 1, 70-73. » inverse des tangentes, ii, 162. Problèmes de maxima et de mimma, I, f53etsuiv.

» DES tangentes, 1, i58 et suiv.; 11, 139; IV, 26 et suiv., 39 et siiiv.,

98 et suiv el suiv.

Propriétés des progressions, 11, 66 et suiv. ; 111, 5i5.

» spécifiques (des courbes), II, i55.

Puissance (iTiécanicjin'), 11, 75.

262 ŒUVRES DK FERMAT. - TABLES.

Puissances ^uMÉRlQu^:s (voit- (Jaurès, Cubes, Nombres, Décomposition ). Pyiiamides numériques, IV, 69-70.

Quadratures, I, igS, 255-288; IV, 228-230. Quadrature du cercle, I, 281 ; 11, 348.

» DE LA cissoïde, I, 281.

» DE l'hvi'erbole, I, 256; 11, 378.

» DE LA l'ARABOLE, l, 201, 2l4) 261.

» DES PARABOLES DORDRE SUPÉRIEUR, I, 202.

Questions surabondantes, I, 187.

n déficientes (proljlèmes de lieux), I, 187.

Rapport de la circonférence au diamèire, III, 409. Rayon diaclastique (lérraclé), I, 170. Recherche des asymptotes, I, 167. Rectification de la cycloïde, I, 2o3.

» de la développée de l'hyperbole équilatère, I, 237; III, 2o3.

Réduction des équations, 1, 124, i25, 198. Réfraction, I, 173; il, 336, 370 etsuiv.; IV, 9/4 el siiiv., 100, io3 et suiv., 109,

I 12, 134. Règle des parties. II, 289. Règles de quadrature, 1, 267. Roulette (sa (|uadralure), 11, i35; IV, 106, 108.

Sections planes, I, 112, 11 3.

» CYCLIQUES DU CONE, I, l88.

» CYLINDRIQUES, I, I l3.

Série de NVallis, 11, 348; III, 445-

Solide de la roulette, II, 191.

Solution indéterminée d'un problème de Uiophante, I, 3o2

Sommes de cubes égales entre elles, III, 4'9. -'i^ô.

Somme des cubes des termes d'une pro(;ression, II, 66.

Somme des hasards, II, 3 12, 323.

Sous-tangentes, I, 238 et suiv.

Sphéroïdes. I, ii3; IV, 127.

Spirales, I, 207; II, 438; IV^ i25, i3o.

Spirale d'Archimèiie, II, i3.

Surfaces du second degré, I, 11 5.

INDEX DES MATIÈRES. Hii

SvNr.iiiSK((le Viè'le), I, 147; II, 180, i.s-. SynShèsk, I, 269.

Table ues fautifs, II, 294.

fANGliNTE A I.A ClSSOinF,, I, 109.

» A I.A CO.X'.IlOÎDi;, I, 161 ; II, 72, 87.

» A I.A CVCUIÏI.K. I, 1(52; il, 171 ; iV, 108.

» A I.A C.yCLOiDR AI-LONCÉR OU RACCOUHCIE, I, i65.

» DU (iALAM) PAHALI.ftl.E A I.'aXE, II, iCh); |V, I09.

» A LA l'AKAIlOLK, I, l3.ï; II, I27.

» A LA l'ARAIlOLK SEHI-niBIQUE, I, 2 I 8 ; II, Si.

» A LA yi ai)Uatrii:k, I, i(i.>; 11, 301.

TfilHACIIORUKS, I, 399.

Tétrac.omsmk (qiiadralure), I, 266.

Tra.nsf(.r>iati<).n Gf:o>iÊTRiOLF, 1, 201, 263; lli, 173,202; IV, 147-1.Ô1. Triangle ARiiuMfiriQiE i)K Pascal, II, 3o8.

Triangles RKriA.vGi.Es (en nombres), 1, 291, 320; II, 222, 23i ; III, 337 cl suiv.; IV, 82, i32, 139-1 io, 168-iSo, 20.5-207, 209-210.

» l'RIMITIFS, II, 322.

» COMPOSÉS, 11, 22-2.

» SURPRIMITIFS, 11, 235.

Tkii'lks équations (sohaion des), III, 36o. Tuisegtiox de l'angle, 1, 110; II, 29. Trochoïdk, IV, 83. Voir Cvcloïdk.

Vkrsiera. sa quadrature, I, 281; III, 234; IV, i.5i-i')2. Volume du tronc de c.onf, III, 4 16, 024.

\

INDEX DES NOMS.

265

INDEX DES NOMS ^'K

Abkl (Niels-Heiirik), 1802-1829, IV,

1 53. XuxM (Charles) (né en 1857) {'-), IV,

2-5, 65, 90, 25o. .\riÉ.siLAS, Sgg-SBi av. J.-C., I, 067. ÂLCiBUDE, 45o-4o^ av. J.-C, I, H77,

378. Alexandre lk Grand, 356-323 av. J.-C.,

1.369. Alexandre de J^hërès, morl l'an 397 av.

J.-C, I, 3-0. Aliiazi;n, Savant arabe, atileiir d'une

Optique, mon en io38, II, 107. Anderson ( Alexander), Malliématicien

écossais, né en i582, I, 4. Anglus (Thomas), voir Whitk, II,34o. Ai'ollodork, I, 370. Apollonius de Pkage, Mathématicien

alexandrin, aooav. J.-C., I, x, 3,4, 02,

76, 102, ii5,i5i, i58, 171,250,356,

4i3; II, 3, io4, 106, i3o, 174, 378;

III, 3 et suiv., 85 el suiv., 108, 127,

I 34, i4o, 3o2, 3r9; IV. io4, 1 16, 1 T7,

118, 1;

12S, 240.

Arbogast ( Louis-François-Anloine), 1759-1803. I, xvni-xx, xxMi el suiv., i53, 167, 4i8, 423, 427; II. XI, 137, i54; IV, 243.

.\rchiuède, 287-212 av. J.-C. 1, 107,

1 I I , 137, I 38, 195, 2 1 3, 21 4, 222, 220,

255, 259, 346, 364, 38i, 382, [\oh, 432; II, 18, 53, 68, 73, 87, 94. 260; 111, 102, 125, i65. 169, 178. 182 el suiv., 218, 277 elsiiiv.. 3i5ei >uiv., 321. 439, 4-4o; IV, 79, io5, 107, 108, 118, 145, i5i, 225, 228, 25 I.

Argoli (André), Astiononie , 1570- 1657 (»), IV, 79.

Aristée, iv siècle av. J -C, I, 91, 1 16;

III, 85.

AiusroTE, 384-322 av. J.-C, 11, 166;

IV, .09. AunAGii, voir UsSHEK. Arnoult (Catien), IV, 240. AsuiiLRMiAM, 1, XXI, 87, 91; H. xii: IV,

243. Atiiènée, Sophiste grec, du m' siècle après J.-C, I, xii.

(') Les Indications biograpliiques sont tirées, en général, sauf mention contraire, de la Grande Encyclopédie ; quelques-unes sont dues aux auteurs eiix-mènu'S.

(') Qui éiei-vous ? Vav'\s, Delagrave, 1908.

(') J.-C. Pogge.ndoukk, Dio^^rnpliiscli-Lilcrarisclics liandwurterbuch, 2 vol.; le 3' est de B.-VV. Feddersen el A.-J. von ÛEitingen; le \' de A. von Œttingen. Nous désignerons, dans la suite de cet Index, ces sources par [P.].

Fermât. — IV. ■ 34

266

ŒUVUKS DR FERMAT.

TABLES.

Albry (Auguste) (i856), IV, i'i5. lôa. 0.00, 2T1, aSi, 287, 25o-9.53.

AlGEAKI) (l»'), IV, l5, I 7. AURIFKI ll.LE. IV. SOI, 208. AUTOI'HHAUATE, 1, 87 I .

AiiviiAY ( LiicIl'ii ), II, XII, 336. AuzoLT (Adrien), 1680-1691, II, 5i4; III, xv.

Bacchics I'anciem, imisico;;raplie fj;rec. 1,374.

Baciiet ((îaspard), i5Si-i638, I,xiv,xv, i33, 291-342, 345, 435; II, 65, S/,, iS3, 192, ig3, igo et siiiv.. 203,207. 4o3, 435; 111, 241-274, 2S7, 3i4, 325 el siiiv., 342 el siiiv., 600 ; IV, i4o, 16S, 173, 282, 286, 288.

Baco.n (François), Cliancelier, i56i- 1626, 11, 85. 283, 36o, 864, 486.

Baii.laiu (Benjamin) (iSIS), III. xiv.

I l'-'] Baki.;k (A.), IV. 200. |l».]

Bai.iam (.leaii-Ua|>iist(i), ver.s i582, —

vers 1660, 1, 73, 417; I^'. 78- Banc; (A.-S.), IV, iSg, 162. Ban.mus (Jean- Albert), diî Haarlein,

inoil en 1644, II, i65. Bahca (.losepli), de Mil.ni, IV, 78. lÎAitiMKN (E.-N.) (i854), IV, 221. Bayle (Pierre), Critique français, 1647-

1706, IV, II. Beaugram) (.leaii de), mort en i64o,

I. 195; II, 4, 7, i4, 17, 20, 26 et

suiv., 72, 86, 94, io5, 106, III, i33,

218:111, 169; IV, 47. 58,78,74,76,

80, io5, 238, 244, 25o. Bealne (Floiimond ni:) ou Debeaune,

i6oi-i()5-2. IV. 1 10-111, 226.

Beeckmann (Isaac), Malliématicien Iiol- landais, mori en 1677, IV, 47-

BKiiUEi.iN (Nicolas de), i7i4-'789, IV, 209. [P.]

Bernoui.1.1 (Jacques), 1654-1705, IV, 159,235. [P.]

Behnoci.li (.lean), 1667-1748, IV, 280.

Behtiiani) (.Insepii), 1822-1900. IV, ix-

Best(L.), IV, i63.

Bettini (Marie), Jésuite, 1582-1657,

IV, 7S.

BlANCiii, voir WlllTE.

BiERKNs DE HAA^ (l)aviil ), 1822-1S95, I,

\ix, xxxvii. [ p. J

BiLLY (Jacques de), Jésnile, 1602-1679,

I, XV, XVII, XVIII, XXlll, XXV, XXXIV, 81 I,

029, 887. 849, 357 ; II, '|8<); III, IX, XI, 825 et suiv.; IV, i3S-i4o, 284, 288.

BoMBEi-Li (Bapiiaël), Ingénieur hnio- iials, xvr' siècle, I, 348.

BoNcoMi'AGNi (Ballliazar), 1821-1894,

I. XXI el suiv., xxxvi; IV, 177, 201, 243. [P.]

BouEEi. (Willem), .Vmhassadeiir de Iloilamle (jii France de i65o à 1668,

II, 882, 845; III, 555; IV, 246. lioitEL (Pierre), Médecin du roi, i6'.o-

16S9, 11, 341, 345.

ItOItl.ETTI, IV, i5S.

BossuT (Charles), Jésnile, 1780-1814, 1, XVIII, 70, 71, 75, 4'"; 11, '2, 36.

BouLi.iAU (Isniaël), Asirononie, i6o5- 1696, 1, XII, xn, XV, XVII, XXVI, 72, 77, 200, 074, 38o; 11, XII. 265, 336; III, xv; IV, 1 17, 125.

lîoiiiidN ( Pierre), Jésuite, i595-i653, IV. 112.

INDKX DES NOMS.

•207

Roussi.xESQ (VakMiliii-Joseph) (1843), IV, i46. [1>. I

lîOLTI.N- (A.), IV, 211.

BRASsi>Nc(Fliilip|),;.Émile), iSoJ-rSi)',, IV, i53, 240. [P.]

Hkicari) (Uaoul) (1870), IV, 199. [['.]

lÎRiiiGs (Henri), i556-i63i, IV, 234.

Hrocaku (Ik-mi) (i845), IV, 39, 4;,

i4'^, 211, 243, 245, 249.

[P-]

Brosse (Guy di: la), mort en i64i, 11.

III. Broinckeii, Chancelier, 1620 -1684, I,

\ii; 11, IX, 332, 342, 376, 402,434;

III, 3i4, 4oi, 409,411,414, 427, 437, 4Ô7, 48o,4S6, 489, 5o6, 5 1 1 , 538, 073, 590, 596, 601 ; IV, I v2.

Hrtlaru (Pierre de), do// uk Saint-Mar- tin.

HiiYENNE (Miinuel), Musicien grec, vers j32o, 1, XVIII, 3-4, 394-409.

BliCKINGHAM (l)llC DE), II, 36o.

BiiciiELER, I, 38i el suiv.

Ikll.llANN, I, XXXII.

Campang DE XovARE (Jeaii), Mir- siècle,

IV, 218.

Camusat, Lilieraleiir, i()9.-)-i732, I, xvii.

<:a>uido ((;.) (1871), IV, 200.

Ca.ntor (Moritz-Uenedici) (1829), IN', 230. [!> 1

Carcavi ou Carcavv (Pierre dk). Con- seiller au Parlemeni de Toulouse, mon en i684, I, xvii, xix, xxii, xxiii, XXV, 87, ni, 184, 210, 2S5, 359; 11, IX, 3, (i. 33, 5i, 90, loô, 116, 343, 247, 230, 261, 289, 3i5, 328, 3ô6,

4"7, 4-^6, 4')o, 452; m, XIII, xiv, 319, 422, 43o, 6o3; IV, 88, 89, 11 5, 117, 118, 119, 120, 123, 124, 12.5, 126 et suiv., i34, i38, 139, 238, 244, 2.5i.

Cardan (Jérôme), 1501-1076,1, 191; II, 192; III, i65.

Casalron (Isaac), i559-r(;i4, 1, 366, 370, 387.

Castelli (Benedetto), Bénediclin du Monl Cassiii, 1.577-1644, I, xiii, xiv, 358, 36o, 362; 11, 8, 26, 496; IV, 79.

Catalan (Eugène-("lia ries), 1814-1894, IV, 155,217. [l'.|

Catel (Guillaume), Historien el Ma- gistrat, 1060-1626, IV, 17.

(^uciiv (Augustin-Louis), 1789-1857,

IV, 180, 232.

(Cavalier! (Boiiavcnlure),.lésuate, 1598- 1647, I. X, XXVI, 78, 195,200, 429; II, 337; III, XII. 169, 44o, 445; IV, 71 et suiv., 220, 22S, 25o-25i .

Cavlev (Arthur), 1821-1890, IV, 233.

CazkC (Pierre de). Jésuite, 1589- i664(').I,xxvii;Il,268,2-6;III,42i.

CiiAMRRE (Ciireaii de la). Médecin, 1594-1669, 1, 170, 170; II, 116, 244, 246, 201, 261, 278, 354, 389, 4 12, 456, et suiv., 480 el suiv., 483, 486;

IV, 244,248.

(JIAMPBON (de). 11, 244, 246, 25l.

CiiANLT, Ambassadeur, né vers i6o4, —

1667,11,484. CiiANUT (Martial), Ahhé d'Issoire, mort

en 1695. Il, 484. Chapelain (Jean), 1595-1674, IV, i35,

i36.

(') SoM.MERVOGKL, Bibliographie île lu Compagnie de Jésus.

268

ŒUVRES I)K FERMAT. - TABLES.

Chahmakdre, I, 19.

Chasi.es (Michel), 1793-1880, 1, 82, 83,

8^. Chiustine de Suède, 1626-1689, I, 78. Claudikn, Poète, iV siècle ap. J.-(]., I,

387. Ci.ausen (Tliomas), iSoi-i885, 1\', 195.

Il'-] Cléarque, 406 av. J.-(]., I, 368. Clêomène, Roi de Sparte, I, 867. Clerselier, Avocat au Parlemeiil, i6i/)-

1686, I, XVI, XXXI, 171, 178; II, XII,

i46. 3(33, 386, 462, 488; IV, 3o, ii3. 239, 247, 248.

COLBERT, 16 19-1683, I, XIV, 345.

CoLONNA ( Egidio), Docteur scolnsliquc, i247-i3i6, IV, 19.

CoMîBANDiN (Frédéric), Médecin, iSog- 1375, I, 3, 6, 24, 48. 5o, 139, 142; m, i3i; IV, io3.

CoNOx (de Saiiios), Aslroiionie et géo- mètre, 300-260 avant J.-(^,.. I, 199; II, 4o5; III, 3f5 et suiv.

Copernic (Nicolas), i473-i543, I, xx.

CoRooNE (Girolamo) (1867), IV, 196.

CossALi (Pierre), 1748-1815, IV, 168. Croix (de Sai.nte-), H, 29, 57, 63, 98,

1.54, i85, 255, 4o3 ; III, ^.86, 3i5;

IV, 56, 57, 177, 234.

CULI.EN, IV, 2o3.

(]unni.\(;ha>i ( Allaii -.losepli -Cliauip-

iieys), IV, 202, 2o3, 204. CuRTZE (Miiximilien) (1837-1903) ('), • IV, r4ô. Cyr-us, 600 av. .I.-C, I, 370.

Dalêchami's (.Iac(|ues), né en i5i3,

mori en i588, I, 879, 887. Darboux (dastou) (1842), W, ix. [P.] Darils, Roi des Perses, mort en 621

av. J.-(!., I, 871 .

DaST DE lîOISVILLE, III, XV.

l)i;DEKiNi) (Julius - Willielm - Richard ) (i83i). IV, 198. [P.]

Dei.isle (Léopold), 1826-1910, I. XXII, xxxvii; II, 287.

Df.wÉrRius, II, i5.

Deodati (Elia ), II, 17.

Desarijues (Gérard), 1593-1662, I, xi; II, î 1 1, i33, i5o, 186, 218, 821 ; IN", 89 et suiv., 1 12, 226, 227, 25o.

Descartes (René), 1596-1650, 1, xi, xiii, XIV et suiv., 117, 118 et suiv., 124, 175; II, viii, IX, 29, 106, 1 12, 1 16, 124, 182 et suiv., i38, i46 et suiv., i65 et suiv., 200, 248, 285, 820, 354 et suiv., 364. 866, 868, 883 et suiv., 4o8, 4 i4 et suiv., 4^7 et suiv., 462 et suiv., 485; III, X, XII, 109 et suiv., 142, i5i et suiv., 3i4, 529; IV, 25, 3o et suiv., 89 et suiv., 5i, 53, 60, 65, 82, 83, 90 et suiv., 129, i33, i43 et suiv., 222-228, 9.38, 289, 240, 248, 248, 249-251 .

DESi>A(;NEr (Etienne), II, 71, 94, io5, i33, i36, 196, 219, 221; III, xv; IV, 288.

Despeybous, i8i5-i 883,1, xx, xxi, xxxi; II. 116, 363; IV, 70.

Detto.nville (pseudonyme di^ Biaise Pascal), I, xii, 2o5, 207, 211; II, 43o, 438, 44 1 et suiv.; 111, 178; IV

120, 127.

(') Bibliotlieca inat/ieiiiatici, ('.i), IV, igoS, p. O'i (Giiio Loria).

INDEX ])

Dickson (Léonard-Eiijrène) (iS;^). IV, i6i, iç)S!. |-p -j

DiniON (général), I, xx. DiijBv (lord Georges), 1612-1677 ('), II, 3Si.

DicBY (sir Keiielm), i6o3-i66o, I, xii, XVI, XXIII, 357; II, IX, 332, 342, 347 elsuiv. 38i; III, 3i2, 4oi,4i6, 419, 420, 42.5, 5o3. :)28, 563, 569, 601 , 6o3; IV, 123, i3i, 238.

DiNosTRATE, 36o av. J.-C, 1, i65; III, 145.

DiocLÈs, II" siècle av. J.-C, 1, 159; II,

454; IV, .32.

DiopHANTE, au m" siècle de l'ère chré- tienne, 1, XIV, i33, i4o, 285, 291 el siiiv.; Il, 65, 2o3, 207, 249, 260, 263, 335, 4o3, 435, 437: 111, 121, 218, 241-274, 3i2, 3i4, 320 el suiv., 348 el siiiv., 369 el suiv., 432, 6o5; IV, 102, iSg, i4o, 168 et suiv., 173. 170, 23 1, 233, 239, 253.

DiRiciiLKT (l'ieiTe-Giislave Lkjeunk-), iSo5-iS59,IV, 154,218, 23i, 252. [P.]

DoNNEviLLK (le présidenl DE), II, 267.

DosTOn (Georges-J.), IV, 2i3.

DouNOT, mort vers 1640, II, 179.

DuiiAMKL (Jeaii-iMarie-Conslant), 1797-

1872, IV, 143, 222. [P.]

Dlhem (Pierre-Maurice-Marie) (1861),

IV, 184. [P.]

DuroRDOiit, IV, 159.

E(;oROFF (C). IV, i65. EiSKNSTEi.x ( Ferdinaiul-Gollliold-Max ), 1823-1802, IV, 200. [P.]

KS NOMS. 269

EN.\iiis(Quinlus), Poète latin, 229-169

av. .I.-C., IV, 1,0. EsTiEN.M! (Henri), 1, 377. EucLiDK, 3oo av. J.-C, I, 5o, 76, 82, 84,

4i8; 11,63, 491 elsuiv.; III, 73, 104,

i54, 3i2, 317, 3i9, 493, 5.4, 567;

IV, 1D9, i85, ai8. Elle» (Léonard), 1707-1783, 1, xxxi,

i3i; II, 206; IV, i53, i54, i85, 193,

195, 2o3, 2i3, 218, 219. 23 1-235, 237,

239, 249, 202, 253. EiiTocius, 540 après J.-C, I, 107, iSg,

161; 11, 87; 111,99, '42, 294.

F. (lelK), 111, 572, 573, 575.

F. G. M., IV, 216.

Faiirv (Honoré), Jésuite, 1606-1688, 1,

XWII.

FAUîfAxo (Jules-Charles ue), 1682-1766,

1, XXXI.

Faukar, III, 536.

FAVARo(Anlonio)(i847), I, xix,x\xvii; III, xv; IV, X. [p.]

Fermât (Pierre), I, ix et suiv., 77, 78, 87, 359; 11, 10, 15-17, 20 et suiv., 126, i38-i46, 182 et suiv., 322-33i, 391-396; 111, 325 et suiv., 4o3-4o9, 4 11 , 4 1 5, 4 1 7-420, 422, 425-

429,431,432,436,439,442,447.449. 455, 457, 480, .;82, 483, 486-489, 496, 5o2-5o9, 5j2, 5i3, 524, 529-532, 537, 539, 541, 542, 547, 552, 554-559, 563, 564, 568, 569, 572, 574-584, 58-, 592, 599-602; IV, 3, 11, i5, 17, 20, 21, 25 et suiv., 3y el suiv., 58 el suiv., 71, 82 et suiv., 90 et suiv., ii3 el

(') l>ictionan of national Bihliograpln

270

ŒUVUES DE FEKMAT. - TABLES.

siiiv., 122 et suiv., 143 el siiiv., 22.5-

232, 234-24o, 243-248, 249-253.

Feiimat (Samuel), Ris de Pierre Fermât (1 632- 1690), I, XIV, XVI, XVII, 171 , 293, 38-: II, XI, 453: IV, 233, 238, 289.

Ferrari (Louis), 1522-1565, L 191 ■

FiBONAf.ci ( Léonard), xiii'= siècle, I\', 218, 233, 235.

FiEUBET (daspard île), III, xiy.

Fji.i.on (Benjamin), II, 299.

FirZ-l'ATRICK, IV, 203.

Frem(:!.edf.Bes<v( Bernard), 1605-1675, 1, XII, XVI et suiv.. 357, 359; II, IX, i65, 182, 186, 188 el suiv., 2o3, 2o5, 212, 216, 218, 221 el suiv.,. 232 el suiv., 247 el suiv., 255, 260, 160, 344, 36o, 374, 433, 434, 437, 44i; III, 401, 4o5, 4i I, 4i9i 436, 480,487,

4yO, 5o2 el suiv., 020, 528, 532,536- 57S, 58 1, 592-59S, 600, 6o3, 607 el suiv.; IV, 65, 69, 121, 177, 200 el suiv., 209, 21 1, 237, 238, 25o, 253.

Froidmom (Liberl), i587-i653, II, 112.

Fromondds, voir Froidmont.

Fro.ntin, i"' siècle ajirès J.-("., 1, 376, 38o el suiv.

FuRSTEXBERi; (Prince de), 1626-1688 ('), I, 35o el suiv.

(ÎAIGN1ÈRES (Aimé dh), II, 287.

Galilée, i564-i642, I, ix, xix, xxviii, 173; II, 12, i5, 17, 112, 166, 176, 255, 268, 275, 359; III, XIII, XIV, i52, 3o2, 809, 4'i, 422; IV, 65, 79, 108, 109, III.

(ÎAMBIOLI (D.), IV, 162.

(ÏANDAIS, II, l65.

Gahcilaso dk la Vega, i5o3-i536. 11,

38 1. CiASSEND (Pierre), i592-i655, I, xii,

357; II, 267; III, 421, 529. TiAuss (Charles-Frédéric), 1 777-1 855,

I\', i53, i54, 211, 23 1 , 282, 235, 286. (lE.NOccHi (.\ngelo), 1817-1889, IV, 211,

21 7, 220. [ P. ]

(ÎE.NTV (abbé), IV, 240. Gérardin (André) (1S79), IV, 164, i65,

185, 202, 253. Germain (Sophie), 1776-1831, IV, 209,

211, 252. [P. I

Gerono (Camillo-Ciiristopiie), 1799-

1891,1V, 218. [P.]

(jUktalui ( Ma ri no ), 1566-1627, I, 4, 76;

II, 1, i3o; 111, 73. 819. Ghinaspi, IV, 89. GiANM (L.), IV, 195. Gilbert (William), Physicien anglais,

i54o-i6o3, 11, 24. GiLi.oT, 11, 64; 1V^ 56 el suiv., 59, 9.5o. Girard (Albert), mort en 1682, 1, xx\i. Gi.ORiO'îi (.lean-Cainille), 1572-1640,

IV. 78. [P.]

GoLDBACH (Chrisiian), 1690-1764, IV,

253. [P.]

GoLius (Jacob), érudil, 1596-1667, 11,

882; 111, XV, 555. (îossET (Tliorol), IV, 200. GRA«(Jorgcii-Pedersen)(i85o),lV,22i. Grerorv (James), 1688-1675, IV, 252.

GuiDOBALDO delMote, i545-i6o7, II, a6. Glisméi;, IV, 240.

( ' ) All^emeine dculsclie ISiographie.

INDEX DES NOMS.

•271

Hachettr (,Ie;in-Nirolas^-l'ierre), 1769- ■ 834, IV, 2^9. [P.]

Hai.i.ey (Eilniond), 1606-1-42, I, 3.

Haiiuy ((^laïuie), iivncal au Parlement de Pai'is, 1600-1678, II, 126, 2G1 ; IV, 48, 62, 98, 100, 107, 111.

IIaiii.ay (m), IV, I-, 18, 19, 20, 21.

Hai.n (F.-J.), iV. i63.

Haye (dk la), H, 473.

HEiUEH(;(.Ie;iii-Lonis) (i854), 1,83. [P.]

Hf.inscus (Nicolas), 1620-1681, I, 78;

III, XV.

Henry (Charles) (1859). I, xviii, \xi, XXII, XXXI, wxii, xxwi, 147, 167, 170, 189; 285, 38 .. 386, 388, 433; II, xii, 137, iS'j, 176, 2o5, 2.56, 278, 279, 280,

284, 31.5,328, 43 1,43s, 44 1,44^.446,

432, 454- 435; 111, xiii: 1\', ix, x, 3,

88, 145, "54, 177. 208, 210, 211, 217,

220, 222, .i3G. 25o, 25 1. Hensel ( Kurl-Willielin- Sehaslian )

(186.). IV. ly.j. [P.]

HÉnuio.NE (Pierre), xvir ~iècle, 1, xi,

XIV, XV, xwi, 171, 356; 11, 438, 4*j3,

487; m, i.5o; IV, 72, 81,243. Heiuiite (Cliarles), 1822-1901, IV, 232. HfiRON le Jeune, I, 366. Hkss (AV.), IV, i63. Heukaet (Henri van), né en 161 5, 1,

2 I 1 ; IV, i3o, 208, 2Ô2. Hevelil's (Johann), 1611-1687, I, 170. HiLnKRT (David) (1862), IV, 167. [P.]

HiLLER, 1, 375.

H1PPIAS, né vers 460 av. J.-(L, I, i65. HoRiiEs (Thomas), 1588-1679, I, xxviii; II, 244; m, 4 m; IV, 246.

HOCHART, III, XIV, XV.

IIoL>iBOE (l{ernill-Mi(.liael), 1795-1850, IV, i53. [P.J

Horace, 65 av. .I.-C. — 8 ap. .].-(].; II. 363.

Hospitai. (Guillaume-François, mar- (juis deL'), 1661-1704, IV, 210, 23o.

[^■] HûBJvER (H.), IV, i63. HuDiiE (Johann), 1633-1704, I, .'-76; III,

559; IV, 124, 2^0.

IIlet (Daniel), Evê(|ue, 1630-1721, I,

xvm, 386, 388. HuLiscH (Frédéric) (1833-1906) ('),

1, 3, 9,4. lU'RwiT/, (Adol|)lie) (1859), IV. i63.

HusBERi; (N.-G.-K.), IV, i63.

lliYGKNS (Conslanliii ), i5y(>-i68-, IN", i36, 244.

HtiV(;ENs(Chrisliaaii), 1629-1695, l.xviii, xxviii. 189, 191, 285; II, IX, 3i5, 320, 3'.5, 441, 448; III, XII, 166, 554,563, 566, 569, 570; IV, toi, 1 16 et suiv., 143, 224, 244, 25i .

Hl'vgens (Louis), l\ , i32, i34.

Hypatie, morte en 4 '3, I, 362.

Jacobi (Carl-Gustav-Jacoh), i8o4-i85i, IV, 236.

Jeans (J. -H.), IV, 197.

Jf.RÙME (saint), III, 573.

JOFFROV (J.), IV, i65.

JoNQLifïRES (Jean-Phili[jpe-Ernesl de Falqie be), 1820-1901, I\', i54, i55, 162. [P.]

(M Bihliolhecn iimtlwinntic/i, (,3), VIII, 1908, |). 3)5.

27-2

ŒUVRES DE FEHMAT.

TABLES.

Jordan (Camille) {i838), IV, ix. [P.]

JuRiscH (K.-W.), IV, i63.

JiiSTEi, (Henri ), Erudil, 1620-1693, I,

XVII.

Kantor (Seiiginanii) (1857-1902), IV,

19^, 198. Khplrr ou Kei'Plkr (Jean), lôyi-iôSo,

IV, 143, 22.'i, 225, 227, 25o.

KEULEN(LlldoirVAN), I 539- I 6 I o, III, /409.

KiRCHER (Ailianase), Jésuile, 1602-

1680, IV, 78. KocH (J.), IV, 164. Rom:n (Heinricli-VIathias) (1^74), IV,

2M. [P.]

KORNECK (G.), IV, 161. KOSSETT, IV, 197.

KiBLER (J.), IV, r64. KuMMER (Eriiesl-Édouard), 1810-1893, IV, i52, i54, 166, 200. [P.]

Lagrange (Joseph-Louis), i736-i8i3, I, xxxi; IV, i53, 218, 281-234, 2^9.

Laisant (Charles-Auf^e) (i84i), IV. ix, '92. [P. I

Lai.ouvère (Aiiloine de), Jésuile, 1600- 1664, 1, IX, 199, 202, 429; II, 4i3, 43o; III, 172 et suiv.; IV, 118 el

Slliv., 230, 238, 25l, 252.

Lamé (("labriei), 1 79.5-1870. IV. i54.

La.ncei.ot (Aiiloine), 1675-1740, IV,

243. Landry (I'\), IV, 201, 202, 2o3, 208. Langrain, i6o9-r658, 111, 5i2. LAURKNDiÈRKiClaiide-Marlin), Docleur

médecin. II, 332; 111, 555, 6o3. Le Besgue ( Viclor-Amédée), 1791-

1875, IV, 181, 218. [P.]

Lkoemdre (Adrien-Marie), 1752-1833,

IV, i53, i54, 2o5, 218, 23i, 232,252. Leibniz ( (joltfried - Wilhelni ), i646-

1716, IV, I9.J, 23o, 289, 252.

Le Lasskur (H.), IV, 201, 200, 208, 209,

253. Lelong ( Jac(|ues), Érudil, 1665-1709,

IV, II. Léonard de Vinci, i452-i5i9, IV, i46. Le Paili.eir, voii- Paillkur (le). Lerch (Malliias) (1860), IV, 200. [P.] Letennel'r, 1, XXVII. LiBRi ((luillaume), 1 808-1869, I, xviii,

xi\, XX, xxm et suiv., 87; II, i46;

III, xiii; IV, 240.

Liorri ( Forluiiio), Erudil, 1577-1607,

IV, 79-

Lindemann ( Cliarles-Louis-Feriliiiand ) (i852), IV, 162. [P.]

LiNDr (1$.), IV, i65.

LiONNET ( François - Josepli - Eugène ), i8o5-i884, IV, 214, 217. [P.]

LiPSciiiTz (Hodolpli-Ollo-Sigismiinil ), (1882), IV, 196. [P.J

Lockhahï, (sir William), 1621-16760, 11, 365.

LoRiA(('.ino)(i862),IV, i47-i52. [P.]

Lucas (Edouard), 1842-1891, IV, ix, i53, i5^, i85, 1S6, 191, 198, ig5, 198, 201, 2o3, 218, 281, 282, 284, 235. [P.]

Lucrèce, Poêle, vers 45av.J.-(]., 1,076.

LussAN (E.), IV, 253.

(') Dictionarj of national Biograp/ij .

INDKX DKS NOMS.

273

Mahiietti (IJeiioîl), IV, 78.

Magnas ( of.), III, xii. Voir MAIG^A^.

MAiiiNAN ( lùmnariiK'l ), Trèrc tniiiiiin',

i6oi-i()76, II, /,-),S; IV, 11. Maii.i.i-t ( Kdinoiid -Théodore) (i86;j),

IV, iGi, iSo, iSi. |P.J

Mansion (Paul) iiS',:^). IV, i5:i, lî;,

[P.] MA^/.()Nl (Giaconio), I, x\iii. Maiuk (("Jiarles-François-Miixiiiiilien),

181 9- 1891. IV. 177, a.m. I P.l

MaUIIIKSSE ( DE), II, 9,jl .

Makhi; (Eiiyotie-Aiistide) (i8?,3), I\', aie. [P.]

Mautiai., Puèle latin, mori en 102 après .I.-C, II, 3ÔG.

Mahtin (ni; Saint-), I, xxx; 11, './i;, 249, 2")i, 2.J.1, 208, 260, 2(i3, 26.J; l\',

6;»' 7'-">. <77. '^o- Maiitone (M.), l\, K)8. Massii", i\ , I I . Matiiews (Cicorgo-IJallard) (1861), IV,

i55, 159. [1>.1

Mauduit ( Aiiloiiie-Kené), 1731-1815,

I,XXIX. [P.]

Mauroi.ico (Fiancesco), i494-'575, II,

108. Médicis (Léopold du), III, xv. Médon (Hornard), Conseiller au prési-

dial lie Toulouse, 1, 78. MKiiioMiU'.(Marc), 1630-171 '^ '- ■^7^.'^7">- Ménechmë, iv"^^ siècle av. .!.-<:., 1, 107. MÉNfii.Aus, vers 98 après J. -(',., Il, i3,

.5; IV, 118. Mf:iiÉ ((ieorges Hhossin, chevalier de),

1610-168.'), Il, 290, 2()5.

Meiisenne (Marin), l'rère niiniiiie, i,")8,S- 1648, I, i\, \, XI. XV, \xiii et siiiv..

Fkiimai. — I \ .

i33, i36, 167, 169, igS; II, ix, 3, 7,

10, i5, 20, 57, 63, 8.5, 98, 96, 106, 126 el suiv., 1.52 et siiiv., 164 et suiv., 200, 20S, 226, 248, 389, 391;

III, XII, 277; I\'. 39, 47. 5i, 53, 60, 65, 66, 69, 70, 71, 82 et stiiv., 89, 90 et suiv., 1 1 1 el suiv., 116, 119, 145, 177, 180, i85, 202, 223, 225-228, 288, 245, 25o, 25 I .

Metz (J.-E. von), IV. 164.

Mever ( Kiiedricii-Wilhelin-Fraiiz )

(1806), IV, 199. Meuiisius, Pliilologiie hollandais, 1579-

1689, I, 366. MiuEMONT (le |)résideni de), H, 46i. MiRiMAiNOFK (1).), IV, F 54, i58.

MlllMONT (DE I.A \ ILLE DE), I. XXXVIl.

MoNTciiAL (Charles de), i589-ifi5i. Ar- chevêque de Toulouse, I, 365,394;

11, 266.

MoMEiiRUNi (François), IV, 79. Moi\'rEEi(iiiER(Alexaiidre-.\ndré-Victor-

Sarrazin de), 1792-1863, IV, 208,

2.86. I P. I

MOiMEERï (Jean dr), III, 587. MoNTHoi.oN (de), Conseiller, II, 108. .MoNT.MORT (Pierre IUikind de), 1678-

1719, 11,472- MooRE (FJiakiui-Haslings) (1862), IV,

196. [P.]

MoilEllEAI) (.l.-C.), IN'. 2o4, 253.

.MoRiN (.lean- lîaptiste) , Aslionouie,

1 583-1 656, 111, 529. Mlusi.n.nk (Samuel), 1, 366. .MviiORfiE ((Claude), i585-i647, II, p25

el suiv., i33, 142, i5o, 186, 201, 889;

IV, 25, 89, 48, 4'i. 46, 59, c)8, 100, 104.

35

21k

(EUVHES DE FERMAT.

TABLES.

MvLON (Claude), .lurisconsiilie, 11, SaS, 366; 111, 563 et suiv., 6o3 ; IV, 1 17, 118, 119, 121, 2.5 1 .

Nai'ier (JoIiii), 1550-1617, IV, 74, 226.

Nardi (Anioine), IV, 79.

Neil (William ), 1637-1670, 1, 21 1,^36; IV, i3o, 238, 252.

Nrttesheim (.\grippa de), i486-i535, 11, 192.

NiCERON, Frère minime, i6i3-i646, 11, 264; iV, 71.

NicoMAQiE, IMiilosoplie pythagoricien, I"'' siècle de notre ère, I, BgS.

NicoMÈDE, Géomètre grec, ni'" ou 11" siè- cle av..l. r... 1, 161; II, 94; 111, i4j, .46.

NiEuwENHuis (l)omela), 11, 112.

Oddi (Mulius), i569-i63i, IV, 78. Omont (Henri) (1867), 1, xviii, xxxvii; IV, 244.

Oresmk (Nicolas), environ i323-i382,

IV, 145, 223.

OzANAJi (Jacques), 1640-1717, IV, i38,

l40, 252.

Padoa (Alexandre) (1868), IV, i83.

Paii.leuh (le). 11, io3, 4'3.

Pammène, I, 369.

Pappus, iv" siècle apr. ,I.-C., I, 3,4,6, 18, 29, 36, 48, 5o 76, 77, 82, 84, 87, 91, 116, 142; 11, i3, i5, 87, 106, i3o; 111, 3 et suiv., 73, 78, 85, 127, i3i, i34, i4o, 142, 294, 3i9, 571 ; IV, 91, 2>4.

Pascal (Biaise), 1623-1662, 1, ix, xn, XIII, xvii, 70, 73, 202, 210, 357; H,

IX, 58, 62, 70, i32, i5o, 200, 288, 299, 3oo, 307, 3io, 3i5, 329, 43o, 438 et suiv., 445; 111, 67, 70; IV, 228, 229, 234, 236, 238, 240.

Pascal (Etienne), i588-i65i, I, xvii, 70, 417; 11, ■'>o, i5o; IV, 39, 53, 102, 1 15, 123, i85.

Peiresc (Nicolas-Claude Fabri de), i58o-

1637, m, XIV.

PELL(Jolin), 1610-1685, IV, 210, 23l.

PF.LLET(Auguste-Éliacin-Clauilc)(i848), IV, 194, 198. [P.]

Pellisson (de), 1, XV, 373.

l'ÉNA (Jean), i528-i558, I, 53.

Penkmever (H.), IV, 164.

Peudiccas, 321 av. J.-C., I, 368.

Pépin (Jean-François-Thèophile), Jé- suite, 1826-1909, IV, i5S, 180, 2o5,

209, 220, 252, 253.

Perott (Joseph de) (1 854), IV, '99- [P-]

PERVOLlCniNK (P.), IV, 2o3.

Petau (Denis), Jésnilc, i583-i652, 1,

36o, 362. Petit (Pierre), 1598-1667, 11, i35, 428,

460, 473, 486; IV, 102, i33. i35, 248. Phii.on, II. 71, 355. Picard ( Charles-Emile )(i856K IV, 161.

Li'-] Picot, 1, xxvi.

PicQUET (Louis-Didier-lIenry) (i845),

IV, >92, 193, .94, 198. [P.]

PlETZKER (F.), IV, 164.

Plana (Jeaii-Antoine-Aniédée), 1781-

1864, IV, 202. [P.]

Platon, 429-348, I, 355, 076; IV, 23 1,

25 I .

Plempil's, 1601-1671,11, 112. Plutarque, !'='■ siècle av. J.-C, II, 46i.

INDEX DES NOMS.

275

PoGGENDOiti-K (Jolianii-Cliiisliaii), 1796-

1877, IV. 2/,/i, 253. [V.]

PoiNUARfi (Jules-Henri) (1854), IV, 161.

|D.] F01.EM. 1683-1761, 1, 38i. l'oi.YKN, II'' siècle ap. J.-G., Il, 366. PoMPiscus, 1, 370. Poterie ( uk la), III, 422. Poudra (Noel-(ii'iiiiiiial) (1794), I, xi.

Phauks, II, 5, 71.

PuocLUS, Phiioso|ilie alexandrin, 4'2-

485 api'. J.-(L, I, i5y, i65. Pijos, I. XXX : II, 218.

QuETELET (Eriiesl), 1S25-1878, IV, 208.

Il'-] QuiNiii,iiiN( Aristide), 11" siècle ap. JC,

I, 375.

Ramus (Pierre), i5i5-i573, IV^ ii4- Uanchin (de), I, XV, 3G6. Ravaisson'-Moi.lien ( Charles), IV, 146. Rawson (R.), IV, 202. Ke*lis (Saviii), 1818-1886, IV, i55,

2 18, 220, 252. [P.]

Renieri (N'iiiceiit), Astronome, inorl en .648, IV, 79. [P.]

Ricci (Michel-Ange), 1619-1682, IV, 86,87. [P.]

RiCHTER (J.-P.)> IV, l46.

RivAi.TUS (David), 1571-1616, I, i38. RoA.NNÈs (de), (touveriieiir iln Poitou,

II, 45i.

RoitERTS (Samuel) (1827), IV, 172-180, 233. [P.]

RoBERVAi. ((îiiles Pkhsomeu de), 1602- 1675, I, \i. wii, XXIX, 73, 87, i3('),

170, iy5, 3J7; II, 8, 28, 3o, 35, 59, 83, 87, 89, 92, 100, 126, i33 et suiv., i58, i65 et suiv., 169, 199, 201, 219, 243, 248, 252, 3io; III, 70, 123, i3o, i44. "46, 169, 294 et suiv., 528 et suiv.; IV, 3-io, 3o, 39, 43, 5i, 58, 82, 85, 86, 87, 89, 90, 100, 102, 107, 110, 112, 1 14, m5, 123, i85, 225, 228, 238, 25 1.

RoiiAui.r (Jacques), 1620-1675, II, 120, 389, 391 et suiv.; IV, 247.

Romain (Adrien), i56i-i625, 1, xviii, 189-193, 429; III, 164-168, 347.

Rossignol (de), IV, 19.

Ruiiissov (K.), IV, 164.

RiiiiL (II.), IV, 164.

Sageuei (E.), IV, I 64. Saguens (Jean , IV, 1 1. Saint-Maiitin, voir Martin. Saint-Vincent, voir Vincent (de Saint-). Sainte-Choix (de), noi/- Croix ( de SAiftTE-). Salvandy (Narcisse-Achille de), 1795-

i856, I, XXI. Santini, IV, 83, 84. Saporta, I, xin, 362; II, 496. Saumaise (Claude), i588-i653, II, 497- Scaliger (.Fnles-César), i484-i558, II,

38o. ScARRROUiiii (Scahburgh), 1 6 I 6-1694, 1 II,

546. Schlesinger (Louis) ( i864), IV^, 162, 202.

SciiciNEMANN (Tlieodore), 1812-1868, IV, 198. [P.]

Sciioote.n (van), né vers 1570, mort en 1660, I, \i, XII. 107, 276, 356; II, 321, 332, ù'i".; m. 554, 558, 564

276 ŒUVRES DE FERMAT. - TAHLES.

et suiv., 56<S, 571, 378, 590; IV, 1 16, 117, r20, 122, 127, 129, 243, 201,

232.

ScnuLTZ (Ollo), 1782-1849, 1, 323; IV,

,69. [P.]

Schwenteh (Daniel), i585-i636, II, 182. SciPioN, Général romain, ni'= siècle av.

j.-c, 1,37..

Sf.elhof (Paul- Pierre -Henri ) , 1829-

1896, IV, 2o3. [P.]

SEGRAis(Jean Regnauldue), 1624-1701,

I, 386, 388.

Séguieii (Pierre), Chancelier île France, 1588-1672, 1, xviii; II, 278, 280, 455.

Seldkn (John), Humaniste, i58.)-i654,

II, 38o; III, 5i2.

Serres (Jean de), 1540-1598, I, 376. Serrét (Joseph-Alfred), 1819-1885, IV,

•X, .94.198- [I^]

Sextus Emi'iricus, Médecin, vers 200 av.

J.-C, I, 377, 387. SiMsoN (Robert), 1687-1768, I, 29. Sluze (René-François de), 1622-1685,

I, 21 1 ; IV, 125, 126. Smith (Ilenry-John-Slephen), 1826-

i883, IV, 232. Snellius (Willehrord), 1591-1626, 1, 4,

76; II, i3o; III, 73, 819. SoRBifcRE (Samuel), 1615-1670, II, 268. SouRDY (Marquis de), IV, 244- Spinula (Francisciis), II, 182. Staudt (Karl-fieorg-Clirislian, von).

1798-1867, IV, 195. [P.]

Stkvin (Simon), 1548-1620, IV, io3. Stewechius, I, 38 1 . SriKELius (Michael), 1487-1567, II, 182,

188, 190; IV, 187.

Stirling, IV, 249.

Sully (Duc de), II, 456.

SvLVESTER (James-Joseph), 1814-1897,

IV. 200. [P.]

Synésils, Evèf]ne, mort vers 43o, I,

\iv, 36o, 362 et suiv.

Tannerv (Paul), 1843-1904, 1, XIX, xxwi;

II, xi; III, xv; IV, ix, x, 11, 25, 47.

65. 90, 168, 172, 175, 176, 182, 212,

22 1 , 233, 240, 243. Tartaglia ( Nicolô ), i5o5-i557, 11,85. Tasse (Le), i544-'595. 11, 867, 484- Taupiac (Louis), IV, 240. Teixeika (Friincisco-Gomes) (i85i), IV,

i5i. ' [P.]

Terquem (Olrv), 1782-1862, IV. 194.

Tevenel, IV, 85, 86.

ThABIT BEN KORRAH, IV, l85.

'riiEiMisTOCLE, 533-470 av. J.-C, I, 867.

TllEODOROFF (P.), IV, 164.

TiiftoiiosE DE Tripoli, 11° siècle av. J.-C, I, 53; III, 5o.

Théon DE Smyrne, Philosophe platoni- cien du 11^ siècle ap. J.-C, I, 36o, 373. 370; II, 265, 266, 387, 395 ; IV, 23 I , 25o.

Tiioi.NAHD, Érudit, I, xvii.

Thiiommjk, III, 554.

ToRKLLi (Joseph), 1721-1781, 1, 107.

ToRRicELLi (Evangelista ), 1608-1647, I, XXVI, 78, 200; H, 263, 338, 496; III, 4o8; IV, 71, 79, 82 et suiv., 220, 228, 25 1.

TozzETTi Targioni (G.), 1712-1783, III,

XV. [P.]

TlIRTSCHANINOV (A.), IV, l64.

INDKX DES NOiMS.

277

U.MF.UIRKR (J.), IV, 164.

UssHKR (J;iincs), Archevêque d'Ar- iiiagli, i58i-i6:)6, 111, 5i2.

Vacca (Giovanni) (1872), IV, 193, 212. Varisco (Bcrnanlino) (18Ô0), 1\'. i58.

Verdi-s (ud), IV, 8").

Vicy d'Vzvr ( Félix), 174S-1794. '. xxvii, 427; 11, .87.

ViÈTE (Frnnrois), i54o-i6o3, I, xxxi. xxxvi, 3, 4. 14, 4'. T'^, 61 76, io5, 107, I 19, 124, i4i, i47 184, i8(3, 189, 268, 297, 337, 337, 36o; 11, 92, i3o, i33, 1.57, 180, 18S, 249, -VA-; III, XV, 49, 32, 59, 66, 97, 100, 110 el siiiv., i3i, 164, 242, 246, 265, 271, 3i2, 3ig, 325, 327, 345 ot siiiv., 6o5; IV, 58, 98, 108, i35.

ViLLKMAiN (Abel-François), 1790-1870,

1, XX.

ViNCi.iNT (Grégoire de Saint-), i584- 1667; m, 584; IV, 229, 202.

Virgile (I*. Vergilius-Maro), Poète la- lin, 70-19 av. J.-C, IV, 1 10.

Viiei.lio, xnr siècle, 11, 107.

Vitruve, I" siècle, 1, 363.

Vlachos (C), IV, 164.

Wallis (John ), 1616-1703, I, xxxi, 21 r, 374; II. IX, 332 337, 342, 347. 874, 4o2, 433; 111. xn, 3ii, 3i4, 4oo et suiv.; IV, 121, 122, 123, 124, i3o, i3i, i34, i5o, 211, 212, 228, 23i, 288, 246, 249^ 25o, 203.

(') Dicttoiiari 0/ natioiiat liio^raphj.

NValslkben (A.), IV, 164.

Waru (Selli ), 1617-16S9, III, 4i I, 5o6.

Li'.J

Wkigki.in ((;.), IV, 164. Wkrkbrussow ( A.-S.), IV, 162. Wkuthkim ((iustave), 1843-1902. IV,

182, 253. [!>.]

WESTERN(Alfre(l-Ed\var(i),lV, 202,208,

253. Wesiern (F.-J.), IV, 2o3. WiiiTE (Thomas), 1598-1676 (' ), 1, xn,

XVI ; H, 244, 882, 882; III, IX, 4o3,

4o5, 407, 4t '. 4 '2, 422, 482 et suiv.,

5o6, 536,' 578.

WlEFERICII (A.), IV, 164.

NVii.KiNs (John), 1614-1672, III, 4'2>

4 1 4. 5o6. Wii.so.N (James), mort en 1829, IV,

195, 199, 282. [I>.]

WiTT (Jean de), graiiil Pensionnaire

(le Hollande, 1625-1672, IV, i24- VVcKi.cKK (Franz), 1S26-1864, IV, i85. Wolfskehl (Paul), 1856-1906, IV,

166. Wren (Sir Christopher), 1682-1723,

I, XIII, 202, 211. WitOiNSKi (Hoeiie), 1775-1858, IV, 286.

Xylander, 1582-1576, I, i38, 848.

Zeuthe.n (Jérôme-Georges) (1889), IV,

1 5o, 221 . [ r*']

ZuLir.HEM (de), voir Huygens.

FIN DE I, INDEX DES NO.MS.

PARIS. - IiMPRIMERIl? G A U T H I EK - VI IJ, A KS , 400'i'i Quai Hes GranHs-Aiii;iistiii?, ï").

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2003

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WELLESLEY COLLEGE LIBRARV

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Science qQA 3 . F35 1891a 4

Fermât, Pierre de, 1601- 1665.

OEuvres de Fermât

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